Twin-Prime - Twin prime

Eine Zwillingsprimzahl ist eine Primzahl , die entweder 2 weniger oder 2 mehr ist als eine andere Primzahl – zum Beispiel eines der beiden Primzahlenpaare (41, 43). Mit anderen Worten, eine Zwillings-Primzahl ist eine Primzahl, die eine Primzahllücke von zwei hat. Manchmal wird der Begriff Zwillings-Primzahl für ein Paar von Zwillings-Primzahlen verwendet; ein alternativer Name dafür ist prime twin oder prime pair .

Zwillingsprimzahlen werden immer seltener, wenn man größere Bereiche untersucht, im Einklang mit der allgemeinen Tendenz, dass Lücken zwischen benachbarten Primzahlen größer werden, wenn die Zahlen selbst größer werden. Es ist jedoch unbekannt, ob es unendlich viele Zwillingsprimzahlen gibt (die sogenannte Zwillingsprimzahlvermutung ) oder ob es ein größtes Paar gibt. Die bahnbrechende Arbeit von Yitang Zhang aus dem Jahr 2013 sowie die Arbeit von James Maynard , Terence Tao und anderen haben erhebliche Fortschritte beim Beweis gemacht, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt, aber dies bleibt derzeit ungelöst.

Eigenschaften

Normalerweise wird das Paar (2, 3) nicht als Paar von Zwillingsprimzahlen betrachtet. Da 2 die einzige gerade Primzahl ist, ist dieses Paar das einzige Paar von Primzahlen, die sich um eins unterscheiden; daher sind Zwillingsprimzahlen für alle anderen zwei Primzahlen so eng wie möglich beieinander.

Die ersten paar Primzahlenpaare sind:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 .) , 103), (107, 109), (137, 139), … OEIS :  A077800 .

Fünf ist die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren gehört, da jedes Primzahl-Zwillingspaar größer als die Form einer natürlichen Zahl n hat ; das heißt, die Zahl zwischen den beiden Primzahlen ist ein Vielfaches von 6. Als Ergebnis ist die Summe jedes Paares von Zwillingsprimzahlen (außer 3 und 5) durch 12 teilbar. ${\displaystyle (3,5)}$${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$

Bruns Satz

1915 zeigte Viggo Brun , dass die Summe der Kehrwerte der Zwillingsprimzahlen konvergent ist. Dieses berühmte Ergebnis, das als Satz von Brun bezeichnet wird , war die erste Verwendung des Brun-Siebes und trug zur Entwicklung der modernen Siebtheorie bei . Die moderne Version von Bruns Argument kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Anzahl der Zwillingsprimzahlen kleiner als N nicht größer ist als

${\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}$

für eine absolute Konstante C  > 0. Tatsächlich ist sie nach oben beschränkt durch

${\displaystyle {\frac {C'N}{(\log N)^{2}}}\left(1+O\left({\frac {\log\log N}{\log N}}\right )\rechts),}$

wobei , in dem C ₂ die ist twin prime konstant , da unten . ${\displaystyle C'=8C_{2}}$

Zwillings-Prime-Vermutung

Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist seit vielen Jahren eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie . Dies ist der Inhalt der Zwillings-Primzahl-Vermutung , die besagt, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, so dass p  + 2 auch Primzahl ist. Im Jahr 1849 stellte de Polignac die allgemeinere Vermutung auf, dass es für jede natürliche Zahl k unendlich viele Primzahlen p gibt, so dass p  + 2 k auch eine Primzahl ist. Der Fall  k  = 1 von de Polignacs Vermutung ist die Zwillings-Primzahl-Vermutung.

Eine stärkere Form der Zwillingsprimzahlvermutung, die Hardy-Littlewood-Vermutung (siehe unten), postuliert ein Verteilungsgesetz für Zwillingsprimzahlen ähnlich dem Primzahlsatz .

Am 17. April 2013 kündigte Yitang Zhang einen Beweis an, dass es für eine ganze Zahl N , die kleiner als 70 Millionen ist, unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die sich um  N unterscheiden . Zhangs Papier wurde Anfang Mai 2013 von Annals of Mathematics angenommen . Terence Tao schlug daraufhin eine gemeinsame Anstrengung des Polymath-Projekts vor , um Zhangs Bindung zu optimieren. Am 14. April 2014, ein Jahr nach Zhangs Ankündigung, wurde die Grenze auf 246 reduziert. Unter der Annahme der Elliott-Halberstam-Vermutung und ihrer verallgemeinerten Form gibt das Polymath-Projektwiki an, dass die Grenze auf 12 und 6 reduziert wurde. bzw. Diese verbesserten Grenzen wurden mit einem anderen Ansatz entdeckt, der einfacher war als der von Zhang und unabhängig von James Maynard und Terence Tao entdeckt wurde. Dieser zweite Ansatz gab auch Schranken für das kleinste f ( m ) an, das benötigt wird, um zu garantieren, dass unendlich viele Intervalle der Breite f ( m ) mindestens m Primzahlen enthalten.

Eine Verstärkung der Goldbachschen Vermutung würde , wenn sie bewiesen ist, auch beweisen, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt.

Andere Theoreme, die schwächer sind als die Zwillings-Primzahl-Vermutung

1940 zeigte Paul Erdős , dass es eine Konstante c  < 1 und unendlich viele Primzahlen p gibt, so dass ( p ′ −  p ) < ( c  ln  p ) wobei p ′ die nächste Primzahl nach  p bezeichnet . Dies bedeutet, dass wir unendlich viele Intervalle finden können, die zwei Primzahlen ( p , p ′) enthalten , solange wir diese Intervalle langsam wachsen lassen, während wir uns zu immer größeren Primzahlen bewegen. "Langsam wachsen" bedeutet hier, dass die Länge dieser Intervalle logarithmisch wachsen kann. Dieses Ergebnis wurde sukzessive verbessert; 1986 zeigte Helmut Maier , dass eine Konstante c  < 0,25 verwendet werden kann. Im Jahr 2004 zeigten Daniel Goldston und Cem Yıldırım , dass die Konstante weiter auf c  = 0,085786 verbessert werden kann… 2005 stellten Goldston, János Pintz und Yıldırım fest, dass c beliebig klein gewählt werden kann, dh

${\displaystyle \liminf_{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0.}$

Andererseits schließt dieses Ergebnis nicht aus, dass es nicht unendlich viele Intervalle geben kann, die zwei Primzahlen enthalten, wenn wir die Intervalle nur wachsen lassen, wie zum Beispiel c  ln ln  p .

Unter Annahme der Elliott-Halberstam-Vermutung oder einer etwas schwächeren Version konnten sie zeigen, dass es unendlich viele n gibt, so dass mindestens zwei von n , n  + 2, n  + 6, n  + 8, n  + 12, n  + 18 oder n  + 20 sind prim. Unter einer stärkeren Hypothese zeigten sie, dass für unendlich viele n mindestens zwei von  n , n  + 2, n  + 4 und n  + 6 prim sind.

Das Ergebnis von Yitang Zhang ,

${\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_{n})<N\;{\text{ mit }}\;N=7\times 10^{7}, }$

ist eine wesentliche Verbesserung gegenüber dem Goldston-Graham-Pintz-Yıldırım-Ergebnis. Die Optimierung von Zhangs Schranke im Polymath-Projekt und die Arbeit von Maynard haben die Schranke auf N = 246 reduziert .

Vermutungen

Erste Hardy-Littlewood-Vermutung

Die Hardy-Littlewood-Vermutung (benannt nach GH Hardy und John Littlewood ) ist eine Verallgemeinerung der Zwillingsprim-Vermutung. Es befasst sich mit der Verteilung von Primzahlenkonstellationen , einschließlich Zwillingsprimzahlen, in Analogie zum Primzahlsatz . Sei π ₂ ( x ) die Anzahl der Primzahlen p ≤ x so dass p + 2 auch prim ist. Definiere die Zwillings-Primzahlkonstante C ₂ als

${\displaystyle C_{2}=\prod_{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1) ^{2}}}\rechts)\ca. 0,660161815846869573927812110014\dots}$

(hier erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen p ≥ 3). Dann ist ein Sonderfall der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung das

${\displaystyle \pi_{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{ x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

in dem Sinne, dass der Quotient der beiden Ausdrücke gegen 1 strebt, wenn x gegen Unendlich geht. (Das zweite ~ ist nicht Teil der Vermutung und wird durch Integration von Teilen bewiesen .)

Die Vermutung kann begründet (aber nicht bewiesen) werden, indem angenommen wird, dass 1 / ln t die Dichtefunktion der Primverteilung beschreibt . Diese Annahme, die durch den Primzahlsatz nahegelegt wird, impliziert die Zwillings-Primzahl-Vermutung, wie in der Formel für π ₂ ( x ) oben gezeigt.

Die völlig allgemeine erste Hardy-Littlewood-Vermutung über Primzahl- k- Tupel (hier nicht angegeben) impliziert, dass die zweite Hardy-Littlewood-Vermutung falsch ist.

Diese Vermutung wurde durch Dicksons Vermutung erweitert .

Polignacs Vermutung

Polignacs Vermutung von 1849 besagt, dass es für jede positive gerade natürliche Zahl k unendlich viele aufeinanderfolgende Primpaare p und p′ gibt, so dass p ′ −  p  =  k (dh es gibt unendlich viele Primlücken der Größe  k ). Der Fall k  = 2 ist die Zwillings-Primzahl-Vermutung . Die Vermutung wurde noch für keinen bestimmten Wert von k bewiesen oder widerlegt  , aber Zhangs Ergebnis beweist, dass sie für mindestens einen (derzeit unbekannten) Wert von k wahr ist . Wenn eine solche Tat k nicht gäbe, dann für jede positive sogar natürliche Zahl N gibt es höchstens endlich viele n derart , dass p _{n + 1}  -  p _n  =  m für alle m  <  N und so für n groß genug haben wir p _{n +1}  −  p _n  >  N , was Zhangs Ergebnis widersprechen würde.

Große Zwillingsprimer

Seit 2007 haben zwei verteilte Computerprojekte , Twin Prime Search und PrimeGrid , mehrere rekordverdächtige Zwillingsprimzahlen produziert. Ab September 2018 ist das derzeit größte bekannte Zwillingsprimepaar 2996863034895 · 2 ^1290000 ± 1 mit 388.342 Dezimalstellen. Es wurde im September 2016 entdeckt.

Es gibt 808.675.888.577.436 Zwillings-Primzahlpaare unter 10 ¹⁸ .

Eine empirische Analyse aller Primpaare bis 4,35 · 10 ¹⁵ zeigt, dass, wenn die Anzahl solcher Paare kleiner als x f( x )· x /(log x ) ² ist, f( x ) für kleine x ungefähr 1,7 beträgt und abnimmt gegen ungefähr 1,3, da x gegen unendlich tendiert. Es wird angenommen, dass der Grenzwert von f( x ) gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung dem Doppelten der Zwillingsprimzahlkonstante ( OEIS :  A114907 ) entspricht (nicht zu verwechseln mit Bruns Konstante ).

Andere elementare Eigenschaften

Jede dritte ungerade Zahl ist durch 3 teilbar, was erfordert, dass keine drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen eine Primzahl sein können, es sei denn, eine von ihnen ist 3. Fünf ist daher die einzige Primzahl, die Teil von zwei Primzahl-Zwillingspaaren ist. Das untere Glied eines Paares ist per Definition eine Chen-Primzahl .

Es ist bewiesen, dass das Paar ( m ,  m  + 2) genau dann eine Zwillingsprimzahl ist, wenn

${\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}$

Wenn auch m  − 4 oder m  + 6 Primzahlen sind, dann heißen die drei Primzahlen Primzahltriplett .

Für ein Zwillings-Primzahlpaar der Form (6 n − 1, 6 n + 1) für eine natürliche Zahl n > 1, muss n die Einerstelle 0, 2, 3, 5, 7 oder 8 haben ( OEIS :  A002822 ).

Isolierte Primzahl

Eine isolierte Primzahl (auch als einzelne Primzahl oder Nicht-Zwillings-Primzahl bekannt ) ist eine Primzahl p, so dass weder p  − 2 noch p  + 2 eine Primzahl sind. Mit anderen Worten, p ist kein Teil eines Zwillingsprimepaares. 23 ist beispielsweise eine isolierte Primzahl, da 21 und 25 beide zusammengesetzt sind .

Die ersten paar isolierten Primzahlen sind

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS :  A007510

Aus dem Satz von Brun folgt , dass fast alle Primzahlen in dem Sinne isoliert sind, dass das Verhältnis der Anzahl der isolierten Primzahlen kleiner als ein vorgegebener Schwellenwert n und der Anzahl aller Primzahlen kleiner als n gegen 1 strebt, während n gegen Unendlich strebt.

Siehe auch

• Cousine prime
• Prime-Lücke
• Prime k - tupel
• Prime Vierling
• Prime-Triplett
• Sexy Prime

Verweise

• Bateman, Paul T. ; Diamant, Harold G. (2004). Analytische Zahlentheorie . Weltwissenschaft. ISBN 981-256-080-7. Zbl  1074.11001 .

Weiterlesen

• Sloane, Neil ; Plouffe, Simon (1995). Die Enzyklopädie der Integer-Sequenzen . San Diego, CA: Akademische Presse. ISBN 0-12-558630-2.

Externe Links

• "Zwillinge" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Top-20 Twin Primes auf Chris Caldwells Prime Pages
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Einführung in Twin Primes und Bruns Konstante
• "Offizielle Pressemitteilung" des 58711-stelligen Zwillings-Prime-Rekords
• Weisstein, Eric W. "Twin Primes" . MathWorld .
• Die 20 000 ersten Zwillingsprimzahlen
• Polymath: Begrenzte Lücken zwischen Primzahlen
• Plötzlicher Fortschritt beim Primzahlproblem lässt Mathematiker brummen