Twist (Mathematik) - Twist (mathematics)

In der Mathematik ( Differentialgeometrie ) ist Twist die Rotationsgeschwindigkeit eines glatten Bandes um die Raumkurve , wobei die Bogenlänge von und ein Einheitsvektor senkrecht zu jedem Punkt zu sind . Da das Band Kanten hat und die Drehung (oder die Gesamtdrehungszahl ) die durchschnittliche Windung der Kurve um und entlang der Kurve misst . Laut Love (1944) wird Twist definiert durch ${\displaystyle X=X(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U=U(s)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$${\displaystyle Tw}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi}}\int \left({\dfrac {dU}{ds}}\times U\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}} ds\;,}$

wo ist der Einheitstangensvektor zu . Die Gesamtdrehungszahl lässt sich zerlegen (Moffatt & Ricca 1992) in normierte Gesamttorsion und Eigendrehung als ${\displaystyle dX/ds}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle T\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in\mathbb{Z}}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi}}\int \tau\;ds+{\dfrac {\left[\Theta\right]_{X}}{2\pi}}=T+ N\;,}$

wo ist die Torsion der Raumkurve und bezeichnet den Gesamtdrehwinkel von längs . Weder noch sind unabhängig vom Ribbon-Feld . Stattdessen ist nur die normalisierte Torsion eine Invariante der Kurve (Banchoff & White 1975). ${\displaystyle\tau =\tau(s)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Tw}$${\displaystyle U}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

Wenn das Band so verformt wird, dass es einen Krümmungszustand durchläuft (dh einen Krümmungspunkt hat ), wird die Torsion singulär. Die Gesamttorsion springt um und der Gesamtwinkel macht gleichzeitig einen gleichen und entgegengesetzten Sprung von (Moffatt & Ricca 1992) und bleibt kontinuierlich. Dieses Verhalten hat viele wichtige Konsequenzen für Energieüberlegungen in vielen Bereichen der Wissenschaft. ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mp1}$${\displaystyle Tw}$

Zusammen mit der Krümmung von ist Twist eine geometrische Größe, die eine wichtige Rolle bei der Anwendung der Călugăreanu-White-Fuller-Formel in der topologischen Strömungsdynamik (wegen ihrer engen Beziehung zur kinetischen und magnetischen Helizität eines Vektorfeldes), der physikalischen Knotentheorie . spielt und strukturelle Komplexitätsanalyse . ${\displaystyle Wr}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$

Siehe auch

• Twist (Schraubentheorie)
• Twist (rationale Trigonometrie)
• Verdrehte Garbe

Verweise

• Banchoff, TF & White, JH (1975)Das Verhalten der Gesamtverdrehung und der Selbstverknüpfungszahl einer geschlossenen Raumkurve unter Inversionen. Mathematik. Scan. 36 , 254–262.
• Liebe, AEH (1944) Eine Abhandlung über die mathematische Theorie der Elastizität . Dover, 4. Aufl., New York.
• Moffatt, HK & Ricca, RL (1992) Helicity and the Călugăreanu-Invariante . Proz. R. Soc. A 439 , 411–429.