Universalität (dynamische Systeme) - Universality (dynamical systems)

In der statistischen Mechanik ist Universalität die Beobachtung, dass es Eigenschaften für eine große Klasse von Systemen gibt, die von den dynamischen Details des Systems unabhängig sind. Systeme zeigen Universalität in einer Skalierungsgrenze, wenn viele interagierende Teile zusammenkommen. Die moderne Bedeutung des Begriffs wurde in den 1960er Jahren von Leo Kadanoff eingeführt , aber eine einfachere Version des Konzepts war bereits in der Van-der-Waals-Gleichung und in der früheren Landau-Theorie der Phasenübergänge enthalten, die die Skalierung nicht korrekt einbezog.

Der Begriff wird in mehreren Bereichen der Mathematik, einschließlich der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie , langsam immer breiter verwendet , wenn die quantitativen Merkmale einer Struktur (wie asymptotisches Verhalten) aus einigen wenigen globalen Parametern abgeleitet werden können, die in der Definition vorkommen, ohne dass Kenntnisse über die Details des Systems.

Die Renormierungsgruppe liefert eine intuitiv ansprechende, wenn auch mathematisch nicht strenge Erklärung der Universalität. Es klassifiziert Operatoren in einer statistischen Feldtheorie in relevant und irrelevant. Relevante Operatoren sind diejenigen, die für Störungen der freien Energie verantwortlich sind, die imaginäre Zeit-Lagrange , die die Kontinuumsgrenze beeinflussen und auf große Entfernungen sichtbar sind. Irrelevant sind Operatoren, die nur die Kurzstreckendetails ändern. Die Sammlung skaleninvarianten statistischer Theorien definiert die Universalitätsklassen , und die endlichdimensionale Liste von Koeffizienten relevanter Operatoren parametrisiert das nahekritische Verhalten.

Universalität in der statistischen Mechanik

Der Begriff der Universalität hat seinen Ursprung in der Untersuchung von Phasenübergängen in der statistischen Mechanik. Ein Phasenübergang tritt auf, wenn ein Material seine Eigenschaften auf dramatische Weise ändert: Wasser kocht beim Erhitzen und wird zu Dampf; oder ein Magnet verliert beim Erhitzen seinen Magnetismus. Phasenübergänge sind durch einen Ordnungsparameter wie die Dichte oder die Magnetisierung gekennzeichnet, der sich in Abhängigkeit von einem Parameter des Systems wie der Temperatur ändert. Der besondere Wert des Parameters, bei dem das System seine Phase ändert, ist der kritische Punkt des Systems . Bei Systemen, die Universalität aufweisen, hängt der Ordnungsparameter umso weniger empfindlich von den Details des Systems ab , je näher der Parameter an seinem kritischen Wert liegt.

Wenn der Parameter β beim Wert β _c kritisch ist , dann wird der Ordnungsparameter a gut angenähert durch

${\displaystyle a=a_{0}\left\vert \beta -\beta_{c}\right\vert ^{\alpha}.}$

Der Exponent α ist ein kritischer Exponent des Systems. Die bemerkenswerte Entdeckung in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts war, dass sehr unterschiedliche Systeme die gleichen kritischen Exponenten hatten.

1975 entdeckte Mitchell Feigenbaum die Universalität in iterierten Karten.

Beispiele

Universalität hat ihren Namen, weil sie in einer Vielzahl von physikalischen Systemen zu sehen ist. Beispiele für Universalität sind:

• Lawinen in Sandhaufen. Die Wahrscheinlichkeit einer Lawine steht in einem Potenzgesetz proportional zur Größe der Lawine, und Lawinen treten auf allen Größenskalen auf. Dies wird als „ selbstorganisierte Kritikalität “ bezeichnet.
• Die Bildung und Ausbreitung von Rissen und Rissen in Materialien von Stahl über Gestein bis hin zu Papier. Die Variationen der Rissrichtung oder der Rauhigkeit einer Bruchfläche stehen im Potenzgesetz proportional zur Größenskala.
• Der elektrische Durchbruch von Dielektrika , die Rissen und Rissen ähneln.
• Die Perkolation von Flüssigkeiten durch ungeordnete Medien, wie Erdöl durch gebrochene Gesteinsschichten oder Wasser durch Filterpapier, wie in der Chromatographie . Die Skalierung nach dem Potenzgesetz verbindet die Fließgeschwindigkeit mit der Verteilung der Brüche .
• Die Diffusion von Molekülen in Lösung und das Phänomen der diffusionsbegrenzten Aggregation .
• Die Verteilung von Gesteinen unterschiedlicher Größe in einem zu schüttelnden Gesteinsgemisch (unter Einwirkung der Schwerkraft auf das Gestein) .
• Das Auftreten einer kritischen Opaleszenz in Flüssigkeiten in der Nähe eines Phasenübergangs .

Theoretischer Überblick

Eine der wichtigen Entwicklungen in den Materialwissenschaften in den 1970er und 1980er Jahren war die Erkenntnis, dass die statistische Feldtheorie ähnlich der Quantenfeldtheorie verwendet werden kann, um eine mikroskopische Universalitätstheorie zu liefern. Die Kernbeobachtung war, dass für alle unterschiedlichen Systeme das Verhalten bei einem Phasenübergang durch ein Kontinuumsfeld beschrieben wird und dass dieselbe statistische Feldtheorie unterschiedliche Systeme beschreibt. Die Skalierungsexponenten in all diesen Systemen lassen sich allein aus der Feldtheorie ableiten und werden als kritische Exponenten bezeichnet .

Die wichtigste Beobachtung ist, dass in der Nähe eines Phasenübergangs oder kritischen Punktes Störungen auf allen Größenskalen auftreten, und daher sollte nach einer explizit skaleninvarianten Theorie zur Beschreibung der Phänomene gesucht werden, wie sie anscheinend zuerst in einen formalen theoretischen Rahmen gestellt wurde Pokrovsky und Pataschinsky im Jahr 1965. Universalität ist ein Nebenprodukt der Tatsache, dass es relativ wenige skaleninvariante Theorien gibt. Für ein bestimmtes physikalisches System kann die detaillierte Beschreibung viele maßstabsabhängige Parameter und Aspekte aufweisen. Mit der Annäherung an den Phasenübergang spielen jedoch die skalenabhängigen Parameter eine immer geringere Rolle und die skaleninvarianten Teile der physikalischen Beschreibung dominieren. Somit kann ein vereinfachtes und oft genau lösbares Modell verwendet werden, um das Verhalten dieser Systeme nahe dem kritischen Punkt anzunähern.

Die Perkolation kann durch ein zufälliges elektrisches Widerstandsnetzwerk modelliert werden , wobei Elektrizität von einer Seite des Netzwerks zur anderen fließt. Der Gesamtwiderstand des Netzwerks wird durch die durchschnittliche Konnektivität der Widerstände im Netzwerk beschrieben.

Die Bildung von Rissen und Rissen kann durch ein zufälliges Netz elektrischer Sicherungen modelliert werden . Wenn der elektrische Stromfluss durch das Netzwerk erhöht wird, können einige Sicherungen platzen, aber insgesamt wird der Strom um die Problembereiche herumgeleitet und gleichmäßig verteilt. An einem bestimmten Punkt (beim Phasenübergang) kann es jedoch zu einem Kaskadenausfall kommen, bei dem der Überstrom einer durchgebrannten Sicherung wiederum die nächste Sicherung überlastet, bis die beiden Seiten des Netzes vollständig getrennt sind und kein Strom mehr fließt.

Um die Analyse solcher Zufallsnetzwerksysteme durchzuführen, betrachtet man den stochastischen Raum aller möglichen Netzwerke (also das kanonische Ensemble ) und führt eine Summation (Integration) über alle möglichen Netzwerkkonfigurationen durch. Wie in der vorherigen Diskussion wird jede gegebene zufällige Konfiguration so verstanden, dass sie aus dem Pool aller Konfigurationen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen wird; Die Rolle der Temperatur bei der Verteilung wird normalerweise durch die durchschnittliche Konnektivität des Netzwerks ersetzt.

Die Erwartungswerte der Operatoren wie Durchflussmenge, Wärmekapazität usw. werden durch Integration über alle möglichen Konfigurationen erhalten. Dieser Akt der Integration über alle möglichen Konfigurationen ist der Gemeinsamkeitspunkt zwischen Systemen in der statistischen Mechanik und der Quantenfeldtheorie . Insbesondere kann die Sprache der Renormierungsgruppe auf die Diskussion der Zufallsnetzwerkmodelle angewendet werden. In den 1990er und 2000er Jahren wurden stärkere Verbindungen zwischen den statistischen Modellen und der konformen Feldtheorie aufgedeckt. Das Studium der Universalität bleibt ein wichtiges Forschungsgebiet.

Bewerbungen in anderen Bereichen

Wie andere Konzepte aus der statistischen Mechanik (wie Entropie und Mastergleichungen ) hat sich Universalität als nützliches Konstrukt zur Charakterisierung verteilter Systeme auf höherer Ebene, wie beispielsweise Multiagentensysteme , erwiesen . Der Begriff wurde auf Multi-Agenten-Simulationen angewendet, bei denen das Systemverhalten des Systems unabhängig vom Komplexitätsgrad der einzelnen Agenten ist und fast ausschließlich von der Natur der ihre Interaktionen bestimmenden Beschränkungen bestimmt wird. In der Netzwerkdynamik bezieht sich Universalität darauf, dass trotz der Vielfalt nichtlinearer dynamischer Modelle, die sich in vielen Details unterscheiden, das beobachtete Verhalten vieler verschiedener Systeme einer Reihe universeller Gesetze folgt. Diese Gesetze sind unabhängig von den spezifischen Details jedes Systems.

Verweise