Bis zu - Up to

Oben: In einer Sechseck- Scheitelpunktmenge gibt es 20 Partitionen mit einer Teilmenge aus drei Elementen (grün) und drei Teilmengen aus einem einzelnen Element (ungefärbt). Unten: Davon gibt es 4 Partitionen bis zur Rotation und 3 Partitionen bis zur Rotation und Reflexion.

Zwei mathematische Objekte a und b werden bis zu einer Äquivalenzrelation R gleich genannt

  • wenn a und b durch R verwandt sind , d. h.
  • wenn aRb gilt, das heißt
  • wenn die Äquivalenzklassen von a und b in Bezug auf R gleich sind.

Diese Redewendung wird hauptsächlich in Verbindung mit aus Gleichheit abgeleiteten Ausdrücken wie Eindeutigkeit oder Zählung verwendet. Zum Beispiel x ist eindeutig bis auf R bedeutet , dass alle Objekte x unter Berücksichtigung sind in der gleichen Äquivalenzklasse in Bezug auf die Beziehung R .

Darüber hinaus wird die Äquivalenzbeziehung R häufig eher implizit durch eine Erzeugungsbedingung oder -transformation bezeichnet. Zum Beispiel ist die Aussage "Die Primfaktorisierung einer ganzen Zahl ist bis zur Reihenfolge eindeutig" eine prägnante Möglichkeit zu sagen, dass zwei beliebige Listen von Primfaktoren einer gegebenen ganzen Zahl in Bezug auf die Beziehung R , die zwei Listen betrifft, äquivalent sind, wenn eine erhalten werden kann durch Neuordnung ( Permutation ) vom anderen. Als weiteres Beispiel verwendet die Aussage "die Lösung eines unbestimmten Integrals ist sin ( x ) bis zur Addition durch eine Konstante" stillschweigend die Äquivalenzbeziehung R zwischen Funktionen, die durch fRg definiert ist, wenn f - g eine konstante Funktion ist, und bedeutet dies Die Lösung und die Funktion sin ( x ) sind bis zu diesem R gleich . In dem Bild bedeutet "es gibt 4 Partitionen bis zur Rotation", dass die Menge P 4 Äquivalenzklassen in Bezug auf R hat, die durch aRb definiert sind, wenn b durch Rotation aus a erhalten werden kann; Ein Vertreter aus jeder Klasse ist im unteren linken Bildteil dargestellt.

Äquivalenzbeziehungen werden oft verwendet, um mögliche Unterschiede von Objekten zu ignorieren, so dass "bis zu R " informell als "Ignorieren der gleichen Feinheiten wie R " verstanden werden kann. Im Faktorisierungsbeispiel bedeutet "bis zur Bestellung" "die bestimmte Reihenfolge ignorieren".

Weitere Beispiele sind "bis zu Isomorphismus", "bis zu Permutationen" und "bis zu Rotationen", die im Abschnitt Beispiele beschrieben werden .

In informellen Kontexten verwenden Mathematiker das Wort Modulo (oder einfach "Mod") häufig für ähnliche Zwecke wie im "Modulo-Isomorphismus".

Beispiele

Tetris

Tetris Stücke I, J, L, O, S, T, Z.

Ein einfaches Beispiel ist "es gibt sieben reflektierende Tetrominos bis zu Rotationen", das auf die sieben möglichen zusammenhängenden Anordnungen von Tetrominos (Sammlungen von vier Einheitsquadraten, die so angeordnet sind, dass sie sich auf mindestens einer Seite verbinden) verweist und die häufig als die angesehen werden sieben Tetris- Stücke (O, I, L, J, T, S, Z). Man könnte auch sagen "es gibt fünf Tetrominos bis hin zu Reflexionen und Rotationen", die dann die Perspektive berücksichtigen würden, dass L und J (sowie S und Z) bei Reflexion als dasselbe Stück betrachtet werden können. Das Tetris-Spiel erlaubt keine Reflexionen, daher scheint die frühere Aussage relevanter zu sein.

Um die erschöpfende Anzahl hinzuzufügen, gibt es keine formale Notation für die Anzahl der Tetrominostücke. Es ist jedoch üblich zu schreiben, dass "es bis zu Umdrehungen sieben reflektierende Tetrominos (= insgesamt 19) gibt". Hier bietet Tetris ein hervorragendes Beispiel, da man einfach 7 Teile × 4 Umdrehungen als 28 zählen könnte, aber einige Teile (wie das 2 × 2 O) offensichtlich weniger als vier Umdrehungszustände haben.

Acht Königinnen

Eine Lösung des Problems der acht Königinnen

Wenn im Acht-Königinnen-Puzzle die acht Königinnen als verschieden betrachtet werden, gibt es 3709440 verschiedene Lösungen. Normalerweise jedoch sind die Königinnen als identisch sein, und man in der Regel sagt , dass „gibt es 92 ( ) einzigartige Lösungen auf bis Permutationen der Königinnen“, oder „Es gibt 92 Lösungen mod die Namen der Königinnen“, was bedeutet , dass zwei Unterschiedliche Anordnungen der Königinnen werden als gleichwertig angesehen, wenn die Königinnen permutiert wurden, aber die gleichen Felder auf dem Schachbrett von ihnen besetzt sind.

Wenn nicht nur die Königinnen als identisch behandelt würden, sondern auch Rotationen und Reflexionen des Bretts zulässig wären, hätten wir nur 12 verschiedene Lösungen für die Symmetrie und die Benennung der Königinnen , was bedeutet, dass zwei zueinander symmetrische Anordnungen als gleichwertig angesehen werden (Weitere Informationen finden Sie unter Acht Königinnen Puzzle § Lösungen ).

Polygone

Das reguläre n- Gon für gegebenes n ist bis zur Ähnlichkeit eindeutig . Mit anderen Worten, wenn alle ähnlichen n- Gonen als Instanzen desselben n- Gons betrachtet werden, gibt es nur ein reguläres n- Gon.

Gruppentheorie

In der Gruppentheorie kann eine Gruppe G auf eine Menge X einwirken. In diesem Fall könnte man sagen, dass zwei Elemente von X "bis zur Gruppenaktion" äquivalent sind - wenn sie in derselben Umlaufbahn liegen .

Ein weiteres typisches Beispiel ist die Aussage, dass "es zwei verschiedene Gruppen der Ordnung 4 bis zum Isomorphismus gibt " oder " Modulo- Isomorphismus, es gibt zwei Gruppen der Ordnung 4". Dies bedeutet, dass es zwei Äquivalenzklassen von Gruppen der Ordnung 4 gibt - vorausgesetzt, man betrachtet Gruppen als äquivalent, wenn sie isomorph sind .

Nichtstandardisierte Analyse

Ein hyperreales x und sein Standardteil st ( x ) sind bis zu einer infinitesimalen Differenz gleich.

Informatik

In der Informatik ist der Begriff Up-to-Techniken ein genau definierter Begriff, der sich auf bestimmte Beweisverfahren für (schwache) Bisimulation bezieht und Prozesse in Beziehung setzt, die sich nur bis zu nicht beobachtbaren Schritten ähnlich verhalten.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Nekovář, Jan (2011). "Mathematisches Englisch (eine kurze Zusammenfassung)" (PDF) . Institut für Mathematik in Jussieu - Paris Rive Gauche . Abgerufen am 21.11.2019 .
  2. ^ a b "Das endgültige Glossar des höheren mathematischen Jargons - bis zu" . Math Vault . 2019-08-01 . Abgerufen am 21.11.2019 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Tetromino" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen am 21.11.2019 .
  4. ^ Damien Pous, Up-to-Techniken für schwache Bisimulation , Proc. 32. ICALP, Lecture Notes in Computer Science , vol. 3580, Springer Verlag (2005), S. 730–741

Weiterführende Literatur