Fluchtpunkt - Vanishing point

Am anderen Ende dieser Eisenbahn ist ein Fluchtpunkt zu sehen.

Ein Fluchtpunkt ist ein Punkt auf der Bildebene einer perspektivischen Zeichnung, an dem die zweidimensionalen perspektivischen Projektionen (oder Zeichnungen) von zueinander parallelen Linien im dreidimensionalen Raum zu konvergieren scheinen. Wenn der Satz paralleler Linien senkrecht zu einer Bildebene verläuft , wird die Konstruktion als Einpunktperspektive bezeichnet und ihr Fluchtpunkt entspricht dem Oculus oder "Augenpunkt", von dem aus das Bild für eine korrekte perspektivische Geometrie betrachtet werden sollte. Herkömmliche lineare Zeichnungen verwenden Objekte mit ein bis drei Parallelen, die einen bis drei Fluchtpunkte definieren.

Vektornotation

Eine 2D-Konstruktion der perspektivischen Betrachtung, die die Bildung eines Fluchtpunkts zeigt

Der Fluchtpunkt kann auch als "Richtungspunkt" bezeichnet werden, da Linien mit demselben Richtungsvektor, beispielsweise D , denselben Fluchtpunkt haben. Mathematisch sei q ≡ ( x , y , f ) ein auf der Bildebene liegender Punkt, wobei f die Brennweite (der dem Bild zugeordneten Kamera) und v q ≡ ( x/h, ja/h, F/h) der zu q gehörende Einheitsvektor mit h = x 2 + y 2 + f 2 . Wenn man eine gerade Linie im Raum betrachten S mit dem Einheitsvektor n s ≡ ( n x , n y , n z ) und deren Fluchtpunkt V s , der Einheitsvektor mit zugehörigen V s gleich n s , sowohl Punkt unter der Annahme Richtung die Bildebene.

Wenn die Bildebene parallel zu zwei Weltkoordinatenachsen ist, haben Linien parallel zur Achse, die von dieser Bildebene geschnitten wird, Bilder, die sich an einem einzigen Fluchtpunkt treffen. Linien parallel zu den anderen beiden Achsen bilden keine Fluchtpunkte, da sie parallel zur Bildebene verlaufen. Dies ist eine Ein-Punkt-Perspektive. Wenn die Bildebene zwei Weltkoordinatenachsen schneidet, treffen sich parallel zu diesen Ebenen parallele Linien und bilden zwei Fluchtpunkte in der Bildebene. Dies wird als Zwei-Punkte-Perspektive bezeichnet. In der Dreipunktperspektive schneidet die Bildebene die x- , y- und z- Achsen und daher schneiden sich parallel zu diesen Achsen parallele Linien, was zu drei verschiedenen Fluchtpunkten führt.

Satz

Der Fluchtpunktsatz ist der Hauptsatz der Perspektivenwissenschaft. Sie besagt, dass das Bild in einer Bildebene π einer Linie L im Raum, die nicht parallel zum Bild ist, durch ihren Schnittpunkt mit π und ihren Fluchtpunkt bestimmt wird. Einige Autoren haben den Ausdruck "das Bild einer Linie enthält ihren Fluchtpunkt" verwendet. Guidobaldo del Monte gab mehrere Bestätigungen, und Humphry Ditton nannte das Ergebnis den "Haupt- und Großen Vorschlag". Brook Taylor schrieb 1714 das erste Buch in englischer Sprache über die Perspektive, das den Begriff "Fluchtpunkt" einführte und als erster die Geometrie der Mehrpunktperspektive vollständig erklärte, und die Historikerin Kirsti Andersen stellte diese Beobachtungen zusammen. Sie stellt fest, dass der Fluchtpunkt in Bezug auf die projektive Geometrie das Bild des Punktes im Unendlichen ist , der mit L verbunden ist , da die Sichtlinie von O durch den Fluchtpunkt parallel zu L ist .

Fluchtlinie

Wie ein Fluchtpunkt von einer Linie ausgeht, so entsteht eine Fluchtlinie in einer Ebene α , die nicht parallel zum Bild π ist . Angesichts der Augenpunkt O , und & bgr; der Ebene parallel zu α und liegen auf O , dann ist die Fluchtlinie von α ist & bgr;& pgr; . Wenn beispielsweise α die Grundebene und β die Horizontebene ist, dann ist die Fluchtlinie von α die Horizontlinie βπ . Anderson bemerkt: „Es kommt nur eine bestimmte Fluchtlinie vor, die oft als „Horizont“ bezeichnet wird.

Einfach ausgedrückt wird die Fluchtlinie einer Ebene, beispielsweise α , durch den Schnittpunkt der Bildebene mit einer anderen Ebene, beispielsweise β , parallel zur interessierenden Ebene ( α ), die durch das Kamerazentrum verläuft, erhalten. Für verschiedene Liniensätze parallel zu dieser Ebene α liegen ihre jeweiligen Fluchtpunkte auf dieser Fluchtlinie. Die Horizontlinie ist eine theoretische Linie, die die Augenhöhe des Betrachters darstellt. Befindet sich das Objekt unterhalb der Horizontlinie, neigen sich seine Fluchtlinien zur Horizontlinie. Befindet sich das Objekt oben, neigen sie nach unten. Alle Fluchtlinien enden an der Horizontlinie.

Eigenschaften von Fluchtpunkten

1. Projektionen von zwei Sätzen paralleler Linien, die in einer Ebene π A liegen, scheinen auf einer Horizontlinie oder Fluchtlinie H zu konvergieren, die durch den Schnitt der Bildebene mit der Ebene parallel zu π A und durch das Pinhole gehen. Beweis: Betrachten Sie die Grundebene π als y = c , die der Einfachheit halber orthogonal zur Bildebene ist. Betrachten Sie auch eine Gerade L , die in der Ebene π liegt , die durch die Gleichung ax + bz = d definiert ist . Bei Verwendung von perspektivischen Pinhole-Projektionen hat ein auf die Bildebene projizierter Punkt auf L die Koordinaten, die wie folgt definiert sind:

x′ = f ·x/z= f ·dbz/az
y′ = f ·ja/z= f ·C/z

Dies ist die parametrische Darstellung des Bildes L′ der Linie L mit z als Parameter. Wenn z → −∞ es stoppt am Punkt ( x′ , y′ ) = (−fb/ein,0) auf der x′- Achse der Bildebene. Dies ist der Fluchtpunkt, der allen parallelen Geraden mit Steigung − . entsprichtB/einin der Ebene π . Alle Fluchtpunkte, die zu verschiedenen Linien mit unterschiedlichen Steigungen gehören, die zur Ebene π gehören , liegen auf der x′- Achse, die in diesem Fall die Horizontlinie ist.

2. Seien A , B und C drei zueinander orthogonale Geraden im Raum und v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) die drei entsprechenden Fluchtpunkte sein. Wenn wir die Koordinaten eines dieser Punkte, sagen wir v A , und die Richtung einer geraden Linie auf der Bildebene kennen, die durch einen zweiten Punkt, sagen wir v B , geht, können wir die Koordinaten sowohl von v B als auch von v C . berechnen

3. Seien A , B und C drei zueinander orthogonale Geraden im Raum und v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) die drei entsprechenden Fluchtpunkte sein. Das Orthozentrum des Dreiecks mit Eckpunkten in den drei Fluchtpunkten ist der Schnittpunkt der optischen Achse und der Bildebene.

Kurvilineare und umgekehrte Perspektive

Eine krummlinige Perspektive ist eine Zeichnung mit entweder 4 oder 5 Fluchtpunkten. In der 5-Punkt-Perspektive werden die Fluchtpunkte in einen Kreis mit 4 Fluchtpunkten an den Himmelsrichtungen N, W, S, E und einem am Ursprung des Kreises abgebildet.

Eine umgekehrte Perspektive ist eine Zeichnung mit Fluchtpunkten, die außerhalb des Gemäldes platziert sind, mit der Illusion, dass sie sich "vor" dem Gemälde befinden.

Erkennung von Fluchtpunkten

Mehrere Verfahren zur Fluchtpunkterkennung verwenden die in Bildern erkannten Liniensegmente. Andere Techniken beinhalten die direkte Betrachtung der Intensitätsgradienten der Bildpixel.

In einem Bild sind sehr viele Fluchtpunkte vorhanden. Daher besteht das Ziel darin, die Fluchtpunkte zu erkennen, die den Hauptrichtungen einer Szene entsprechen. Dies geschieht in der Regel in zwei Schritten. Der erste Schritt, der, wie der Name schon sagt, Akkumulationsschritt genannt wird, gruppiert die Liniensegmente unter der Annahme, dass ein Cluster einen gemeinsamen Fluchtpunkt hat. Der nächste Schritt findet die in der Szene vorhandenen Hauptcluster und wird daher als Suchschritt bezeichnet.

Im Akkumulationsschritt wird das Bild auf einen begrenzten Raum abgebildet, der Akkumulatorraum genannt wird. Der Akkumulatorraum ist in Einheiten unterteilt, die Zellen genannt werden. Barnard nahm an, dass dieser Raum eine Gaußsche Kugel ist , die als Akkumulatorraum auf das optische Zentrum der Kamera zentriert ist. Ein Liniensegment im Bild entspricht einem Großkreis auf dieser Kugel, und der Fluchtpunkt im Bild wird auf einen Punkt abgebildet. Die Gauß-Kugel hat Akkumulatorzellen, die sich vergrößern, wenn ein Großkreis sie durchläuft, dh im Bild schneidet ein Liniensegment den Fluchtpunkt. Seitdem wurden mehrere Modifikationen vorgenommen, aber eine der effizientesten Techniken war die Verwendung der Hough-Transformation , die die Parameter des Liniensegments auf den begrenzten Raum abbildet. Kaskadierte Hough-Transformationen wurden für mehrere Fluchtpunkte angewendet.

Der Vorgang der Abbildung vom Bild auf die begrenzten Räume führt zum Verlust der tatsächlichen Abstände zwischen Liniensegmenten und Punkten.

Im Suchschritt 42 wird die Akkumulatorzelle mit der maximalen Anzahl durchlaufender Liniensegmente gefunden. Darauf folgt das Entfernen dieser Liniensegmente und der Suchschritt wird wiederholt, bis dieser Zählwert unter einen bestimmten Schwellenwert sinkt. Da nun mehr Rechenleistung zur Verfügung steht, können Punkte gefunden werden, die zwei oder drei zueinander orthogonalen Richtungen entsprechen.

Anwendungen von Fluchtpunkten

Verwendung von Kreuzverhältnissen in der projektiven Geometrie , um reale Dimensionen von Merkmalen zu messen, die in einer perspektivischen Projektion dargestellt werden . A, B, C, D und V sind Punkte auf dem Bild, deren Abstand in Pixeln angegeben ist; A', B', C' und D' sind in der realen Welt, ihre Trennung in Metern.
  • In (1) wird die Breite der Seitenstraße W aus den bekannten Breiten der angrenzenden Geschäfte berechnet.
  • In (2) wird nur die Breite eines Shops benötigt, da ein Fluchtpunkt , V sichtbar ist.
  1. Kamerakalibrierung: Die Fluchtpunkte eines Bildes enthalten wichtige Informationen zur Kamerakalibrierung. Es wurden verschiedene Kalibriertechniken eingeführt, die die Eigenschaften von Fluchtpunkten verwenden, um intrinsische und extrinsische Kalibrierparameter zu finden.
  2. 3D-Rekonstruktion : Eine von Menschenhand geschaffene Umgebung hat zwei Hauptmerkmale – mehrere Linien in der Szene sind parallel und einige vorhandene Kanten sind orthogonal. Fluchtpunkte helfen beim Verständnis der Umgebung. Unter Verwendung von Sätzen paralleler Linien in der Ebene kann die Orientierung der Ebene anhand von Fluchtpunkten berechnet werden. Torre und Coelho führten umfangreiche Untersuchungen zur Verwendung von Fluchtpunkten durch, um ein vollständiges System zu implementieren. Unter der Annahme, dass die Umgebung nur aus Objekten mit parallelen oder senkrechten Seiten besteht, auch Lego-Land genannt, haben sie die 3D-Geometrie der Szene mithilfe von Fluchtpunkten wiederhergestellt, die in einem einzigen Bild der Szene konstruiert wurden. Ähnliche Ideen werden auch im Bereich der Robotik verwendet, vor allem in der Navigation und bei autonomen Fahrzeugen sowie in Bereichen der Objekterkennung .

Siehe auch

Verweise

Externe Links