Virtuelles Schwarzes Loch - Virtual black hole

wo ist der Einstein-Tensor , der den Ricci-Tensor , die skalare Krümmung und den metrischen Tensor kombiniert ; ist die kosmologische Konstante ; а ist der Energie-Impuls-Tensor der Materie; ist die mathematische Konstante pi ; ist die Lichtgeschwindigkeit ; und ist Newtons Gravitationskonstante . ${\displaystyle G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-{R\over 2}g_{\mu\nu}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle T_{\mu\nu}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

Einstein schlug vor, dass der physikalische Raum riemannsch, dh gekrümmt ist, und legte deshalb die riemannsche Geometrie zur Grundlage der Gravitationstheorie. Ein kleiner Bereich des Riemannschen Raums liegt in der Nähe des flachen Raums.

Für jedes Tensorfeld können wir eine Tensordichte nennen , wobei die Determinante des metrischen Tensors ist . Das Integral ist ein Tensor, wenn der Integrationsbereich klein ist. Es ist kein Tensor, wenn der Integrationsbereich nicht klein ist, weil er dann aus einer Summe von Tensoren besteht, die an verschiedenen Punkten liegen und sich nicht auf einfache Weise unter einer Koordinatentransformation transformieren. Hier betrachten wir nur kleine Domänen. Dies gilt auch für die Integration über die dreidimensionale Hyperfläche . ${\displaystyle N_{\mu\nu ...}}$${\displaystyle N_{\mu\nu ...}{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu\nu}}$${\displaystyle \int N_{\mu\nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle S^{\nu}}$

Somit können Einsteins Gleichungen für den kleinen Raum-Zeit-Bereich durch die dreidimensionale Hyperfläche integriert werden . Haben ${\displaystyle S^{\nu}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi}}\int \left(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right){\sqrt {-g}}\, dS^{\nu}={2G \over c^{4}}\int T_{\mu\nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu}}$

Da der integrierbare Raum-Zeit- Bereich klein ist, erhalten wir die Tensorgleichung

wo ist die Komponente des 4-Impulses der Materie, ist die Komponente des Krümmungsradius kleine Domäne. ${\displaystyle P_{\mu}={\frac {1}{c}}\int T_{\mu\nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu}}$${\displaystyle R_{\mu}={\frac{1}{4\pi}}\int \left(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right){\sqrt { -g}}\,dS^{\nu}}$

Die resultierende Tensorgleichung kann in eine andere Form umgeschrieben werden. da dann ${\displaystyle P_{\mu}=mc\,U_{\mu}}$

${\displaystyle R_{\mu}={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu}=r_{s}\,U_{\mu}}$

wo ist der Schwarzschild-Radius , ist die 4-Geschwindigkeit, ist die Gravitationsmasse. Diese Aufzeichnung offenbart die physikalische Bedeutung der Werte als Komponenten des Gravitationsradius . ${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle U_{\mu}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R_{\mu}}$${\displaystyle r_{s}}$

In einem kleinen Raumbereich ist die Zeit fast flach und diese Gleichung kann in der Operatorform geschrieben werden

${\displaystyle {\hat{R}}_{\mu}={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat{P}}_{\mu}={\frac {2G}{ c^{3}}}(-i\hbar){\frac{\partial}{\partial\,x^{\mu}}}=-2i\,\ell_{P}^{2}{\ frac {\partial}{\partial\,x^{\mu}}}}}$

oder

Dann wird der Kollektor von Operatoren und ist ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu}}$

${\displaystyle [{\hat{R}}_{\mu},{\hat{x}}_{\mu}]=-2i\ell_{P}^{2}}$

Ab hier folgen die angegebenen Unsicherheitsrelationen

Durch Ersetzen der Werte von und und Reduzieren identischer Konstanten von zwei Seiten erhalten wir die Heisenbergsche Unschärferelation${\displaystyle R_{\mu}={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu}}$${\displaystyle \ell_{P}^{2}={\frac {\hbar\,G}{c^{3}}}}$

${\displaystyle \Updelta P_{\mu}\Updelta x_{\mu}=\Updelta (mc\,U_{\mu})\Updelta x_{\mu}\geq {\frac {\hbar}{2}} }$

Im speziellen Fall eines statischen kugelsymmetrischen Feldes und einer statischen Verteilung von Materie und sind geblieben ${\displaystyle U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$

${\displaystyle \Updelta R_{0}\Updelta x_{0}=\Updelta r_{s}\Updelta r\geq\ell_{P}^{2}}$

wo ist der Schwarzschildradius , ist die radiale Koordinate. Hier und , da sich die Materie mit Lichtgeschwindigkeit auf der Planck-Skala bewegt. ${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R_{0}=r_{s}}$${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$

Die letzte Unsicherheitsrelation erlaubt uns einige Abschätzungen der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie auf der Planck-Skala . Zum Beispiel hat die Gleichung für das invariante Intervall Schwarz in der Schwarzschild-Lösung die Form ${\displaystyle dS}$

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{1-{r_{s}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega^{2}+\sin^{2}\Omega d\varphi^{2})}$

Ersetzen Sie nach den Unsicherheitsrelationen . Wir erhalten ${\displaystyle r_{s}\approx \ell_{P}^{2}/r}$

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell_{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2 }-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell_{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega^{2 }+\sin^{2}\Omega d\varphi^{2})}$

Man sieht, dass die Raum-Zeit-Metrik auf der Planck-Skala nach unten durch die Planck-Länge begrenzt ist (Division durch Null erscheint), und auf dieser Skala gibt es reale und virtuelle Plancksche Schwarze Löcher. ${\displaystyle r=\ell_{P}}$

Ähnliche Schätzungen können in anderen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie gemacht werden . Beispielsweise zeigt die Analyse der Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein zentralsymmetrisches Gravitationsfeld in Räumen unterschiedlicher Dimension (mit Hilfe der resultierenden Unsicherheitsrelation) eine Präferenz für den dreidimensionalen Raum für die Entstehung virtueller Schwarzer Löcher ( Quantenschaum , der Grundlage des "Gewebes" des Universums.). Dies kann die Dreidimensionalität des beobachteten Raumes vorherbestimmt haben.

Die oben beschriebene Unschärferelation gilt für starke Gravitationsfelder, da die Raumzeit in jedem ausreichend kleinen Bereich eines starken Feldes im Wesentlichen flach ist.