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Volumen
Einfacher Messbecher.jpg
Ein Messbecher kann zum Abmessen von Flüssigkeitsmengen verwendet werden . Diese Tasse misst das Volumen in Einheiten von Tassen , Flüssigunzen und Millilitern .
Gemeinsame Symbole
V
SI-Einheit Kubikmeter [m 3 ]
Andere Einheiten
Liter , flüssige Unze , Gallone , Quart , Pint , Teelöffel , flüssiges Dram , in 3 , yd 3 , Barrel
In SI-Basiseinheiten m 3
Abmessungen L 3

Volumen ist die Größe des dreidimensionalen Raums, der von einer geschlossenen Fläche umschlossen wird . Zum Beispiel der Raum, den eine Substanz ( Feststoff , Flüssigkeit , Gas oder Plasma ) oder eine 3D-Form einnimmt oder enthält. Das Volumen wird oft numerisch unter Verwendung der quantifizierten SI abgeleitete Einheit , die Kubikmeter . Unter dem Volumen eines Behälters wird allgemein das Fassungsvermögen des Behälters verstanden; dh die Flüssigkeitsmenge (Gas oder Flüssigkeit), die der Behälter aufnehmen könnte, und nicht die Raummenge, die der Behälter selbst verdrängt. Auch dreidimensionalen mathematischen Formen werden Volumina zugeordnet. Die Volumina einiger einfacher Formen, z. B. regelmäßiger, geradliniger und kreisförmiger Formen, können mit arithmetischen Formeln leicht berechnet werden . Volumen komplizierter Formen können mit Integralrechnung berechnet werden, wenn eine Formel für die Begrenzung der Form existiert. Eindimensionalen Figuren (wie Linien ) und zweidimensionalen Formen (wie Quadraten ) wird im dreidimensionalen Raum ein Nullvolumen zugewiesen.

Das Volumen eines Festkörpers (ob regelmäßig oder unregelmäßig geformt) kann durch Flüssigkeitsverdrängung bestimmt werden . Die Flüssigkeitsverdrängung kann auch verwendet werden, um das Volumen eines Gases zu bestimmen. Das kombinierte Volumen zweier Stoffe ist in der Regel größer als das Volumen nur eines der Stoffe. Manchmal löst sich jedoch eine Substanz in der anderen auf und in solchen Fällen ist das kombinierte Volumen nicht additiv .

In der Differentialgeometrie wird das Volumen durch die Volumenform ausgedrückt und ist eine wichtige globale Riemannsche Invariante . In der Thermodynamik ist das Volumen ein fundamentaler Parameter und eine konjugierte Variable zum Druck .

Einheiten

Volumenmessungen aus dem Nachschlagewerk des neuen Studenten von 1914 .

Jede Einheit der Länge gibt eine entsprechende Volumeneinheit: das Volumen eines Würfels , dessen Seiten die angegebene Länge. Ein Kubikzentimeter (cm 3 ) ist beispielsweise das Volumen eines Würfels, dessen Seiten einen Zentimeter (1 cm) lang sind.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist die Standardeinheit für das Volumen der Kubikmeter (m 3 ). Das metrische System beinhaltet auch den Liter (L) als Volumeneinheit, wobei ein Liter das Volumen eines 10-Zentimeter-Würfels ist. Daher

1 = (10 cm) 3 = 1000 Kubikzentimeter = 0,001 Kubikmeter,

so

1 Kubikmeter = 1000 Liter.

Kleine Flüssigkeitsmengen werden oft in Millilitern gemessen , wobei

1 Milliliter = 0,001 Liter = 1 Kubikzentimeter.

Ebenso können große Mengen in Megalitern gemessen werden, wobei

1 Million Liter = 1000 Kubikmeter = 1 Megaliter.

Verschiedene andere traditionelle Volumeneinheiten werden ebenfalls verwendet, einschließlich Kubikzoll , Kubikfuß , Kubikyard , Kubikmeile , Teelöffel , Esslöffel , flüssige Unze , flüssiger Dram , Kieme , Pint , Quart , die Gallone , der Minim , das Fass , die Schnur , der Peck , der Scheffel , der Hogshead , der Acre-Fuß und der Board-Fuß . Das sind alles Volumeneinheiten.

Verwandte Begriffe

Die Kapazität wird vom Oxford English Dictionary definiert als "das Maß, das auf den Inhalt eines Gefäßes und auf Flüssigkeiten, Getreide oder dergleichen angewendet wird, die die Form dessen annehmen, was sie enthält". (Das Wort Kapazität hat andere, nicht verwandte Bedeutungen, wie z . B. Kapazitätsmanagement .) Kapazität ist nicht identisch mit Volumen, obwohl sie eng verwandt ist; das Fassungsvermögen eines Behälters ist immer das Volumen in seinem Inneren. Kapazitätseinheiten sind der SI- Liter und seine abgeleiteten Einheiten sowie imperiale Einheiten wie Kiemen , Pint , Gallonen und andere. Volumeneinheiten sind die Kuben von Längeneinheiten . Im SI sind die Einheiten Volumen und Fassungsvermögen eng verwandt: Ein Liter entspricht genau 1 Kubikdezimeter, das Fassungsvermögen eines Würfels mit 10 cm Seitenlänge. In anderen Systemen ist die Konvertierung nicht trivial; das Fassungsvermögen des Kraftstofftanks eines Fahrzeugs wird beispielsweise selten in Kubikfuß angegeben, sondern in Gallonen (eine britische Gallone füllt ein Volumen mit 0,1605 cu ft).

Die Dichte eines Objekts ist definiert als das Verhältnis von Masse zu Volumen. Der Kehrwert der Dichte ist das spezifische Volumen, das als Volumen geteilt durch Masse definiert ist. Spezifisches Volumen ist ein wichtiges Konzept in der Thermodynamik, wo das Volumen eines Arbeitsfluids oft ein wichtiger Parameter eines untersuchten Systems ist.

Der Volumenstrom in der Strömungslehre ist das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit (zB Kubikmeter pro Sekunde [m 3 s –1 ]) durch eine gegebene Oberfläche strömt .

Infinitesimalrechnung

In der Infinitesimalrechnung , einem Zweig der Mathematik , wird das Volumen einer Region D in R 3 durch ein dreifaches Integral der konstanten Funktion über die Region gegeben und normalerweise geschrieben als:

In Zylinderkoordinaten ist das Volumenintegral

In Kugelkoordinaten (unter Verwendung der Konvention für Winkel mit als Azimut und gemessen von der Polarachse; siehe mehr zu Konventionen ) ist das Volumenintegral

Formeln

Form Volumenformel Variablen
Würfel Wuerfel-1-tab.svg
Quader Quader-1-tab.svg
Prisma

( B : Bereich Base)

Prisma-1-e.svg
Pyramide

( B : Grundfläche)

Pyramide-46-e.svg
Parallelepiped

Parallelepiped-1-tab.svg
Regelmäßiges Tetraeder Tetraeder-1-tab.svg
Kugel Kugel-1-tab.svg
Ellipsoid Ellipsoid-1-tab.svg
Runder Zylinder Zylinder-1-tab.svg
Kegel Kegel-1-tab.svg
Fester Torus Torus-1-tab.svg
Solide der Revolution Vase-1-tab.svg
Festkörper mit durchgehender Fläche

seiner Querschnitte
(Beispiel: Steinmetz massiv )

Für den obigen Rotationskörper:

Verhältnisse für Kegel, Kugel und Zylinder gleichen Radius und gleicher Höhe

Kegel, Kugel und Zylinder mit Radius r und Höhe h

Die obigen Formeln können verwendet werden, um zu zeigen, dass die Volumina eines Kegels , einer Kugel und eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe wie folgt im Verhältnis 1 : 2 : 3 stehen.

Sei der Radius r und die Höhe h (das ist 2 r für die Kugel), dann ist das Volumen des Kegels

das Volumen der Kugel ist

während das Volumen des Zylinders

Die Entdeckung des 2:3- Verhältnisses der Volumina von Kugel und Zylinder wird Archimedes zugeschrieben .

Formelableitungen

Kugel

Das Volumen einer Kugel ist das Integral aus einer unendlichen Anzahl von infinitesimal kleinen kreisförmigen Scheiben mit einer Dicken dx . Die Berechnung für das Volumen einer Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius r ist wie folgt.

Die Oberfläche der Kreisscheibe beträgt .

Der Radius der Kreisscheiben, so definiert, dass die x-Achse sie senkrecht durchschneidet, ist

oder

wobei y oder z verwendet werden kann, um den Radius einer Scheibe bei einem bestimmten x-Wert darzustellen.

Mit y als Scheibenradius kann das Volumen der Kugel berechnet werden als

Jetzt

Erträge kombinieren

Diese Formel kann schneller abgeleitet werden, indem man die Formel für die Oberfläche der Kugel verwendet , die ist . Das Kugelvolumen besteht aus Schichten unendlich dünner Kugelschalen, und das Kugelvolumen ist gleich

Kegel

Der Kegel ist eine Art Pyramidenform. Die Grundgleichung für Pyramiden, ein Drittel mal Basis mal Höhe, gilt auch für Kegel.

Jedoch Kalkül Verwendung das Volumen eines Kegels ist das Integral aus einer unendlichen Anzahl von infinitesimal dünne kreisförmige Scheiben mit einer Dicke dx . Die Berechnung des Volumens eines Kegels der Höhe h , dessen Basis bei (0, 0, 0) mit Radius r zentriert ist, lautet wie folgt.

Der Radius jeder kreisförmigen Scheibe ist R , wenn x = 0 und 0 , wenn x = h , und Variieren linear dazwischen, das heißt,

Die Oberfläche der Kreisscheibe ist dann

Das Volumen des Kegels kann dann berechnet werden als

und nach Extraktion der Konstanten

Integrieren gibt uns

Polyeder

Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie , einem Zweig der Mathematik , ist eine Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Differentialform höchsten Grades (dh deren Grad gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ist), die nirgendwo gleich Null ist. Eine Mannigfaltigkeit hat genau dann eine Volumenform, wenn sie orientierbar ist. Eine orientierbare Mannigfaltigkeit hat unendlich viele Volumenformen, da die Multiplikation einer Volumenform mit einer nicht verschwindenden Funktion eine andere Volumenform ergibt. Auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten kann man stattdessen den schwächeren Begriff einer Dichte definieren . Integrieren der Volumenform ergibt das Volumen der Mannigfaltigkeit entsprechend dieser Form.

Eine orientierte pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit hat eine natürliche Volumenform. In lokalen Koordinaten kann es ausgedrückt werden als

wo das sind 1-Formen , die eine positiv orientierte Basis für die Bildung Kotangentialbündel des Verteilers und ist die Determinante der Matrix - Darstellung des Metriktensor auf dem Verteiler in Bezug auf die gleiche Basis.

Thermodynamik

In der Thermodynamik ist das Volumen eines Systems ein wichtiger umfangreicher Parameter zur Beschreibung seines thermodynamischen Zustands . Das spezifische Volumen , eine intensive Eigenschaft , ist das Volumen des Systems pro Masseneinheit. Das Volumen ist eine Funktion des Zustands und hängt von anderen thermodynamischen Eigenschaften wie Druck und Temperatur ab . Zum Beispiel hängt das Volumen mit dem Druck und der Temperatur eines idealen Gases nach dem idealen Gasgesetz zusammen .

Berechnung

Die Aufgabe der numerischen Berechnung des Volumens von Objekten wird im Bereich der Computergeometrie in der Informatik untersucht, wobei effiziente Algorithmen untersucht werden , um diese Berechnung für verschiedene Arten von Objekten ungefähr oder genau durchzuführen . Zum Beispiel zeigt die Technik der konvexen Volumenannäherung , wie man das Volumen eines konvexen Körpers mit einem Zugehörigkeitsorakel approximiert .

Siehe auch

Verweise

Externe Links