Wellenformer - Waveshaper

In der elektronischen Musik ist Wellenformung eine Art Verzerrungssynthese, bei der komplexe Spektren aus einfachen Tönen durch Ändern der Form der Wellenformen erzeugt werden .

Verwendet

Wellenformer werden hauptsächlich von elektronischen Musikern verwendet , um einen besonders abrasiven Klang zu erzielen. Dieser Effekt wird am häufigsten verwendet, um den Klang eines Musiksynthesizers durch Ändern der Wellenform oder des Vokals zu verbessern . Rockmusiker können auch einen Wellenformer für starke Verzerrungen einer Gitarre oder eines Basses verwenden. Einige Synthesizer oder virtuelle Software-Instrumente verfügen über integrierte Wellenformer. Der Effekt kann dazu führen, dass Instrumente laut oder übersteuert klingen .

Bei der digitalen Modellierung von analogen Audiogeräte wie Röhrenverstärker wird Waveshaping verwendet , um eine statische einzuführen oder gedächtnislose , Nicht - Linearität der Transfercharakteristik eines approximieren Vakuumröhre oder Diodenbegrenzung.

Wie es funktioniert

Ein Wellenformer ist ein Audioeffekt , der ein Audiosignal ändert, indem er ein Eingangssignal auf das Ausgangssignal abbildet, indem er eine feste oder variable mathematische Funktion, die als Formungsfunktion oder Übertragungsfunktion bezeichnet wird , auf das Eingangssignal anwendet (der Begriff Formungsfunktion wird bevorzugt, um dies zu vermeiden Verwechslung mit der Übertragungsfunktion aus der Systemtheorie). Die Funktion kann eine beliebige Funktion sein.

Mathematisch wird die Operation durch die Wellenformgleichung definiert

${\ displaystyle y = f (a (t) x (t))}$

wobei f die Formungsfunktion ist, x (t) die Eingabefunktion ist und a (t) die Indexfunktion ist , die im Allgemeinen als Funktion der Zeit variieren kann. Dieser Parameter a wird häufig als konstanter Verstärkungsfaktor verwendet, der als Verzerrungsindex bezeichnet wird . In der Praxis wird die Eingabe in den Wellenformer x für digital abgetastete Signale bei [-1,1] berücksichtigt, und f wird so ausgelegt, dass y auch bei [-1,1] aktiviert ist, um unerwünschtes Abschneiden in der Software zu verhindern.

Häufig verwendete Formungsfunktionen

Sinus-, Arctan-, Polynomfunktionen oder stückweise Funktionen (wie die Hard-Clipping-Funktion) werden üblicherweise als wellenförmige Übertragungsfunktionen verwendet. Es ist auch möglich, tabellengesteuerte Funktionen zu verwenden, die aus diskreten Punkten mit einem gewissen Interpolationsgrad oder linearen Segmenten bestehen.

Polynome

Ein Polynom ist eine Funktion der Form

${\ displaystyle f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} x ^ {n}}$

Polynomfunktionen sind als Formungsfunktionen praktisch, da ein Polynom vom Grad N , wenn eine einzelne Sinuskurve als Eingabe gegeben wird, nur bis zur N- ten Harmonischen der Sinuskurve einführt . Um dies zu beweisen, betrachten Sie eine Sinuskurve, die als Eingabe für das allgemeine Polynom verwendet wird.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} (\ alpha \ cos (\ omega t + \ phi)) ^ {n}}$

Verwenden Sie als nächstes die inverse Euler-Formel , um komplexe Sinuskurven zu erhalten.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} {\ Bigg (} \ alpha {\ frac {e ^ {j (\ omega t + \ phi)} + e ^ {- j (\ Omega t + \ phi)}} {2}} {\ Bigg)} ^ {n} = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n} \ alpha ^ { n}} {2 ^ {n-1}}} {\ frac {(e ^ {j (\ omega t + \ phi)} + e ^ {- j (\ omega t + \ phi)}) ^ {n}} {2}}}$

Verwenden Sie schließlich die Binomialformel, um wieder in die trigonometrische Form zu transformieren und Koeffizienten für jede Harmonische zu finden.

${\ displaystyle a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ Bigg [} {{\ frac {a_ {n} \ alpha ^ {n}} {2 ^ {n-1}} } \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{n \ wähle k} {\ frac {e ^ {j (nk) (\ omega t + \ phi)} e ^ {- jk (\ omega t + \ phi )}} {2}}} {\ Bigg]}} = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ Bigg [} {{\ frac {a_ {n} \ alpha ^ { n}} {2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{n \ wähle k} {\ frac {e ^ {j (n-2k) (\ omega t + \ phi)}} {2}}} {\ Bigg]}}}$

${\ displaystyle = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ Bigg [} {{\ frac {a_ {n} \ alpha ^ {n}} {2 ^ {n-1} }} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {{n \ wähle k} \ cos {((n-2k) (\ omega t + \ phi))}} {\ Bigg] }}}$

Aus der obigen Gleichung können mehrere Beobachtungen über die Wirkung einer Polynomformungsfunktion auf eine einzelne Sinuskurve gemacht werden:

• Alle erzeugten Sinuskurven sind harmonisch mit dem ursprünglichen Eingang verbunden.
• Die Frequenz überschreitet nie .${\ displaystyle N \ omega}$
• Alle ungeraden Monomialterme erzeugen ungerade Harmonische von n bis zur Grundwelle, und alle geraden Monomialterme erzeugen gerade Harmonische von n bis DC (Frequenz 0).${\ displaystyle x ^ {n}}$
• Die Form des von jedem Monomialterm erzeugten Spektrums wird festgelegt und durch die Binomialkoeffizienten bestimmt.
• Das Gewicht dieses Spektrums in der Gesamtausgabe wird ausschließlich durch seinen Koeffizienten und die Amplitude der Eingabe durch bestimmt${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle {\ frac {a_ {n} \ alpha ^ {n}} {2 ^ {n-1}}}$

Probleme im Zusammenhang mit Wellenformern

Der von digitalen Wellenformern erzeugte Ton ist aufgrund von Problemen mit dem Aliasing tendenziell hart und unattraktiv. Die Wellenformung ist eine nichtlineare Operation, daher ist es schwierig, die Auswirkung einer Wellenformungsfunktion auf ein Eingangssignal zu verallgemeinern. Die Mathematik nichtlinearer Operationen an Audiosignalen ist schwierig und nicht gut verstanden. Der Effekt ist unter anderem amplitudenabhängig. Im Allgemeinen neigen Wellenformer - insbesondere solche mit scharfen Ecken (z. B. einige Ableitungen sind diskontinuierlich) - dazu, eine große Anzahl von Hochfrequenzoberwellen einzuführen. Wenn diese eingeführten Harmonischen die Nyquist-Grenze überschreiten , werden sie als rauer unharmonischer Inhalt mit einem deutlich metallischen Klang im Ausgangssignal gehört. Überabtastung kann dieses Problem etwas, aber nicht vollständig lindern, abhängig davon, wie schnell die eingeführten Harmonischen abfallen.

Mit relativ einfachen und relativ glatten Wellenformungsfunktionen (z. B. sin (a * x), atan (a * x), Polynomfunktionen) kann dieses Verfahren den Alias-Inhalt im harmonischen Signal so weit reduzieren, dass es musikalisch akzeptabel ist. Andere Wellenformungsfunktionen als Polynom-Wellenformungsfunktionen führen jedoch eine unendliche Anzahl von Harmonischen in das Signal ein, von denen einige auch bei der überabgetasteten Frequenz hörbar alias sein können.

Quellen