Wedderburns kleiner Satz - Wedderburn's little theorem

In Mathematik , Wedder des kleinen Satz besagt , dass jede endliche Domäne ist ein Feld . Mit anderen Worten, bei endlichen Ringen gibt es keine Unterscheidung zwischen Domänen, Teilungsringen und Körpern.

Der Satz von Artin-Zorn verallgemeinert den Satz auf alternative Ringe : Jeder endliche alternative Teilungsring ist ein Körper.

Geschichte

Der ursprüngliche Beweis wurde 1905 von Joseph Wedderburn geliefert, der ihn auf zwei andere Weisen bewies. Ein weiterer Beweis wurde von Leonard Eugene Dickson kurz nach Wedderburns Originalbeweis gegeben, und Dickson erkannte Wedderburns Priorität an. Wie jedoch in ( Parshall 1983 ) festgestellt wurde , war Wedderburns erster Beweis falsch – er hatte eine Lücke – und seine nachfolgenden Beweise erschienen erst, nachdem er Dicksons korrekten Beweis gelesen hatte. Auf dieser Grundlage argumentiert Parshall, dass Dickson der erste richtige Beweis zugeschrieben werden sollte.

Eine vereinfachte Version des Beweises wurde später von Ernst Witt gegeben . Witts Beweis ist unten skizziert. Alternativ ist das Theorem eine Folge des Skolem-Noether-Theorems durch das folgende Argument. Sei D eine endliche Divisionsalgebra mit Mittelpunkt k . Sei [ D  : k ] = n ² und q bezeichne die Mächtigkeit von k . Jedes maximale Teilkörper von D hat q ⁿ Elemente; sie sind also isomorph und somit durch Skolem-Noether konjugiert. Aber eine endliche Gruppe ( in unserem Fall die multiplikative Gruppe von D ) kann keine Vereinigung von Konjugierten einer echten Untergruppe sein; daher ist n = 1.

Einen späteren „ gruppentheoretischen “ Beweis lieferte Theodore Kaczynski . Dieser Beweis, Kaczynskis erste veröffentlichte mathematische Schrift, war eine kurze, zweiseitige Notiz, in der auch die früheren historischen Beweise anerkannt wurden.

Beziehung zur Brauer-Gruppe eines endlichen Körpers

Der Satz ist im Wesentlichen äquivalent zu der Aussage, dass die Brauer-Gruppe eines endlichen Körpers trivial ist. Tatsächlich liefert diese Charakterisierung sofort einen Beweis des Satzes wie folgt: Sei k ein endlicher Körper. Da der Herbrand-Quotient durch die Endlichkeit verschwindet, fällt mit zusammen , was wiederum durch Hilbert verschwindet 90 . ${\displaystyle\operatorname {Br}(k)=H^{2}(k^{\text{al}}/k)}$${\displaystyle H^{1}(k^{\text{al}}/k)}$

Beweis

Sei A ein endliches Gebiet. Für jedes von Null verschiedene x in A sind die beiden Abbildungen

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

sind injektiv durch die Aufhebungseigenschaft und somit surjektiv durch Zählen. Aus der elementaren Gruppentheorie folgt, dass die von Null verschiedenen Elemente von A bei der Multiplikation eine Gruppe bilden. Somit ist A ein Schrägfeld .

Um zu beweisen, dass jedes endliche schiefe Feld ein Feld ist, verwenden wir eine starke Induktion über die Größe des schiefen Feldes. Sei also A ein Schieffeld und nehmen an, dass alle Schieffelder, die echte Teilmengen von A sind, Felder sind. Da das Zentrum Z ( A ) von A ein Körper ist, ist A ein Vektorraum über Z ( A ) mit endlicher Dimension n . Unser Ziel ist es dann, n = 1 zu zeigen . Wenn q die Ordnung von Z ( A ) ist, dann hat A die Ordnung q ⁿ . Beachten Sie, dass, da Z ( A ) die verschiedenen Elemente 0 und 1 enthält, q > 1 ist. Für jedes x in A , das nicht in der Mitte liegt, ist der Zentralisierer Z _x von x nach der Induktionshypothese eindeutig ein Schrägfeld und damit ein Feld, und weil Z _x als Vektorraum über Z ( A ) betrachtet werden kann und A als Vektorraum über Z _{x angesehen werden kann} , haben wir, dass Z _x die Ordnung q ^{d hat,} wobei d n teilt und kleiner als n ist . Betrachtet man Z ( A )*, A* und das Z* _x als Gruppen unter Multiplikation, können wir die Klassengleichung schreiben

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

wobei die Summe über die Konjugationsklassen genommen wird, die nicht in Z ( A )* enthalten sind, und die d so definiert sind, dass für jede Konjugationsklasse die Ordnung von Z* _x für jedes x in der Klasse q ^d -1 ist. q ⁿ −1 und q ^d −1 erlauben beide eine polynomielle Faktorisierung in Form von zyklotomischen Polynomen

${\displaystyle \Phi_{f}(q)}$.

In den polynomischen Identitäten

${\displaystyle x^{n}-1=\prod_{m|n}\Phi_{m}(x)}$und ,${\displaystyle x^{d}-1=\prod_{m|d}\Phi_{m}(x)}$

wir setzen x = q . Da jedes d ein echter Teiler von n ist ,

${\displaystyle \Phi_{n}(q)}$teilt sowohl q ⁿ −1 als auch jede ,${\displaystyle {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

so durch die obige Gleichung Klasse muss dividieren q -1, und deshalb ${\displaystyle \Phi_{n}(q)}$

${\displaystyle |\Phi_{n}(q)|\leq q-1}$.

Um zu sehen, dass dies n zwingt, 1 zu sein, zeigen wir

${\displaystyle |\Phi_{n}(q)|>q-1}$

für n > 1 mit Faktorisierung über die komplexen Zahlen. In der polynomiellen Identität

${\displaystyle \Phi_{n}(x)=\prod(x-\zeta)}$,

wobei ζ über die primitiven n- ten Einheitswurzeln läuft , setze x auf q und nimm dann absolute Werte

${\displaystyle |\Phi_{n}(q)|=\prod |q-\zeta |}$.

Für n > 1 sehen wir, dass für jedes primitive n -te Einheitswurzel ζ,

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

wegen der Lage von q , 1 und ζ in der komplexen Ebene. So

${\displaystyle |\Phi_{n}(q)|>q-1}$.

Anmerkungen

Verweise

• Parshall, KH (1983). „Auf der Suche nach dem endlichen Teilungsalgebra-Theorem und darüber hinaus: Joseph HM Wedderburn, Leonard Dickson und Oswald Veblen“. Archiv für Internationale Wissenschaftsgeschichte . 33 : 274–99.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen . Abschlusstexte der Mathematik . 131 (2 Aufl.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

Externe Links

• Beweis des Satzes von Wedderburn bei Planet Math
• Mizar-Systemnachweis : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38