Widom-Skalierung - Widom scaling

Die Widom-Skalierung (nach Benjamin Widom ) ist eine Hypothese in der statistischen Mechanik bezüglich der freien Energie eines Magnetsystems in der Nähe seines kritischen Punkts, die dazu führt, dass die kritischen Exponenten nicht mehr unabhängig werden, so dass sie anhand von zwei Werten parametrisiert werden können. Die Hypothese kann als natürliche Folge des Block-Spin-Renormierungsverfahrens angesehen werden, wenn die Blockgröße so gewählt wird, dass sie der Größe der Korrelationslänge entspricht.

Die Widom-Skalierung ist ein Beispiel für Universalität .

Definitionen

Die kritischen Exponenten und werden hinsichtlich des Verhaltens der Ordnungsparameter und Antwortfunktionen in der Nähe des kritischen Punktes wie folgt definiert ${\ displaystyle \ alpha, \ alpha ', \ beta, \ gamma, \ gamma'}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle M (t, 0) \ simeq (-t) ^ {\ beta}}$, zum ${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

${\ displaystyle M (0, H) \ simeq | H | ^ {1 / \ delta} \ mathrm {sign} (H)}$, zum ${\ displaystyle H \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle \ chi _ {T} (t, 0) \ simeq {\ begin {case} (t) ^ {- \ gamma}, & {\ textrm {for}} \ t \ downarrow 0 \\ (- t ) ^ {- \ gamma '}, & {\ textrm {for}} \ t \ uparrow 0 \ end {case}}}$

${\ displaystyle c_ {H} (t, 0) \ simeq {\ begin {case} (t) ^ {- \ alpha} & {\ textrm {for}} \ t \ downarrow 0 \\ (- t) ^ { - \ alpha '} & {\ textrm {for}} \ t \ uparrow 0 \ end {case}}}$

wo

${\ displaystyle t \ equiv {\ frac {T-T_ {c}} {T_ {c}}}}$ misst die Temperatur relativ zum kritischen Punkt.

In der Nähe des kritischen Punkts lautet Widoms Skalierungsbeziehung

${\ displaystyle H (t) \ simeq M | M | ^ {\ delta -1} f (t / | M | ^ {1 / \ beta})}$.

Wo hat eine Erweiterung ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (t / | M | ^ {1 / \ beta}) \ ca. 1 + {\ rm {const}} \ times (t / | M | ^ {1 / \ beta}) ^ {\ omega} + \ dots}$,

mit Wegners Exponent, der den Ansatz zur Skalierung bestimmt . ${\ displaystyle \ omega}$

Ableitung

Die Skalierung Hypothese ist , dass in der Nähe des kritischen Punktes, die freie Energie , in Maßen, kann als die Summe einer sich langsam ändernden regulären Teil geschrieben werden und einem singulären Teil , wobei die singuläre Teil eine Skalierungsfunktion ist, das heißt eine homogene Funktion , so Das ${\ displaystyle f (t, H)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f_ {r}}$${\ displaystyle f_ {s}}$

${\ displaystyle f_ {s} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} f_ {s} (t, H) \,}$

Dann ergibt sich die partielle Ableitung in Bezug auf H und die Form von M (t, H)

${\ displaystyle \ lambda ^ {q} M (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} M (t, H) \,}$

Einstellung und in der vorhergehenden Gleichung ergibt ${\ displaystyle H = 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$

${\ displaystyle M (t, 0) = (- t) ^ {\ frac {dq} {p}} M (-1,0),}$ zum ${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

Vergleicht man dies mit der Definition von ergibt seinen Wert, ${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {dq} {p}} \ equiv {\ frac {\ nu} {2}} (d-2 + \ eta).}$

In ähnlicher Weise ergibt das Einfügen und Einfügen in die Skalierungsrelation für M Ausbeuten ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ lambda = H ^ {- 1 / q}}$

${\ displaystyle \ delta = {\ frac {q} {dq}} \ equiv {\ frac {d + 2- \ eta} {d-2 + \ eta}}.}$

Daher

${\ displaystyle {\ frac {q} {p}} = {\ frac {\ nu} {2}} (d + 2- \ eta), ~ {\ frac {1} {p}} = \ nu.}$

Das Anwenden des Ausdrucks für die isotherme Suszeptibilität in Bezug auf M auf die Skalierungsrelation ergibt ${\ displaystyle \ chi _ {T}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2q} \ chi _ {T} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} \ chi _ {T} (t, H) \,}$

Setzen von H = 0 und für (bzw. für ) Ausbeuten ${\ displaystyle \ lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ downarrow 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ uparrow 0}$

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma '= {\ frac {2q-d} {p}} \,}$

Ähnlich ergibt sich für den Ausdruck für spezifische Wärme in Bezug auf M die Skalierungsrelation ${\ displaystyle c_ {H}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2p} c_ {H} (\ lambda ^ {p} t, \ lambda ^ {q} H) = \ lambda ^ {d} c_ {H} (t, H) \,}$

Nehmen Sie H = 0 und für (oder für Ausbeuten ${\ displaystyle \ lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ downarrow 0}$${\ displaystyle \ lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$${\ displaystyle t \ uparrow 0)}$

${\ displaystyle \ alpha = \ alpha '= 2 - {\ frac {d} {p}} = 2- \ nu d}$

Infolge der Widom-Skalierung sind nicht alle kritischen Exponenten unabhängig, aber sie können durch zwei Zahlen parametrisiert werden, wobei die Beziehungen ausgedrückt werden als ${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ alpha = \ alpha '= 2- \ nu d,}$

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma '= \ beta (\ delta -1) = \ nu (2- \ eta).}$

Die Beziehungen sind für Magnetsysteme und Flüssigkeiten experimentell gut verifiziert.

Verweise

• HE Stanley, Einführung in Phasenübergänge und kritische Phänomene
• H. Kleinert und V. Schulte-Frohlinde, Kritische Eigenschaften von φ ⁴ -Theorien , World Scientific (Singapur, 2001) ; Taschenbuch ISBN  981-02-4658-7 (auch online verfügbar )