Woodin Kardinal - Woodin cardinal

In der Mengenlehre ist ein Woodin-Kardinal (benannt nach W. Hugh Woodin ) eine Kardinalzahl λ, so dass für alle Funktionen

f  : λ → λ

es existiert ein Kardinal κ <λ mit

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

und eine elementare Einbettung

j  : V → M.

vom Von Neumann-Universum V in ein transitives inneres Modell M mit kritischem Punkt κ und

V _{j (f) (κ)} ⊆ M .

Eine äquivalente Definition lautet: λ ist genau dann Woodin, wenn λ stark unzugänglich ist und für alle ein <λ existiert, das - -stark ist. ${\ displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$ Sein - -stark bedeutet, dass für alle Ordnungszahlen α <λ eine existiert, die eine elementare Einbettung mit kritischem Punkt ist , und . (Siehe auch starker Kardinal .) ${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle j: V \ to M}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alpha}$${\ displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$${\ displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Ein Woodin Kardinal ist von einem voran stationären Satz von messbaren Kardinälen , und somit ist es ein Kardinal Mahlo . Der erste Woodin-Kardinal ist jedoch nicht einmal schwach kompakt .

Konsequenzen

Woodin-Kardinäle sind wichtig in der deskriptiven Mengenlehre . Aufgrund von Martin und Steel impliziert die Existenz von unendlich vielen Woodin-Kardinälen eine projektive Bestimmtheit , die wiederum impliziert, dass jede projektive Menge Lebesgue-messbar ist und die Baire-Eigenschaft besitzt (unterscheidet sich von einer offenen Menge durch eine magere Menge , dh eine Menge Dies ist eine zählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen ) und die perfekte Mengeneigenschaft (ist entweder zählbar oder enthält eine perfekte Teilmenge).

Die Konsistenz der Existenz von Woodin-Kardinälen kann anhand von Determinitätshypothesen nachgewiesen werden. Wenn man in ZF + AD + DC arbeitet , kann man beweisen, dass Woodin in der Klasse der erblich ordinalen definierbaren Mengen ist. ist die erste Ordnungszahl, auf die das Kontinuum nicht durch eine durch Ordnungszahlen definierbare Surjektion abgebildet werden kann (siehe Θ (Mengenlehre) ). ${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$

Sela bewiesen , dass , wenn die Existenz eines Woodin Kardinal konsistent ist dann konsistent ist , dass die nicht - stationären ideal auf w ₁ ist -gesättigten. Woodin bewies auch die Gleichheit der Existenz von unendlich vielen Woodin-Kardinälen und die Existenz eines dichten Ideals über . ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Hyper-Woodin-Kardinäle

Ein Kardinal κ heißt Hyper-Woodin, wenn auf κ ein normales Maß U existiert, so dass für jede Menge S die Menge gilt

{λ <κ | λ ist <κ- S - stark }

ist in U .

λ ist genau dann <κ-S-stark, wenn es für jedes δ <κ eine transitive Klasse N und eine elementare Einbettung gibt

j: V → N.

mit

λ = krit (j),

j (λ) ≥ δ und

${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}}$ .

Der Name spielt auf das klassische Ergebnis an, dass ein Kardinal genau dann Woodin ist, wenn für jede Menge S die Menge gilt

{λ <κ | λ ist <κ- S - stark }

ist ein stationäres Set

Das Maß U enthält die Menge aller Shelah-Kardinäle unter κ.

Schwache Hyper-Woodin-Kardinäle

Ein Kardinal κ heißt schwach hyper-Woodin, wenn für jede Menge S ein normales Maß U auf κ existiert, so dass die Menge {λ <κ | λ beträgt <κ- S -kräftigen} ist in U . λ ist genau dann <κ-S-stark, wenn es für jedes δ <κ eine transitive Klasse N und eine elementare Einbettung j gibt: V → N mit λ = krit (j), j (λ)> = δ und ${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}.}$

Der Name spielt auf das klassische Ergebnis an, dass ein Kardinal Woodin ist, wenn für jede Menge S die Menge {λ <κ | λ ist <κ- S - stark } ist stationär.

Der Unterschied zwischen Hyper-Woodin-Kardinälen und schwach Hyper-Woodin-Kardinälen besteht darin, dass die Wahl von U nicht von der Wahl der Menge S für Hyper-Woodin-Kardinäle abhängt .

Anmerkungen und Referenzen

Weiterführende Literatur

• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Große Kardinäle in der Mengenlehre von Anfang an (2. Aufl.). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
• Beweise für die beiden in den Konsequenzen aufgeführten Ergebnisse finden Sie im Handbuch der Mengenlehre (Hrsg. Foreman, Kanamori, Magidor) (erscheint). Entwürfe einiger Kapitel sind verfügbar.
• Ernest Schimmerling, Woodin-Kardinäle, Shelah-Kardinäle und das Mitchell-Steel-Kernmodell , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, S. 3385–3391, 2002, online
• Steel, John R. (Oktober 2007). "Was ist ein Woodin Kardinal?" ( PDF ) . Mitteilungen der American Mathematical Society . 54 (9): 1146–7 . Abgerufen am 15.01.2008 .