Bernoulli-Differentialgleichung - Bernoulli differential equation

In der Mathematik ist eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine sogenannte Bernoulli - Differentialgleichung , wenn sie von der Form ist ,

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n},}$

wo ist eine reelle Zahl . Einige Autoren erlauben jedes reelle , während andere verlangen, dass es nicht 0 oder 1 ist. Die Gleichung wurde erstmals in einem Werk von 1695 von Jacob Bernoulli diskutiert , nach dem sie benannt ist. Die früheste Lösung bot jedoch Gottfried Leibniz , der sein Ergebnis im selben Jahr veröffentlichte und dessen Methode noch heute verwendet wird. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Bernoulli-Gleichungen sind speziell, weil sie nichtlineare Differentialgleichungen mit bekannten exakten Lösungen sind. Ein bemerkenswerter Sonderfall der Bernoulli-Gleichung ist die logistische Differentialgleichung .

Transformation in eine lineare Differentialgleichung

Wenn die Differentialgleichung linear ist . Wann ist es trennbar . In diesen Fällen können Standardtechniken zum Lösen von Gleichungen dieser Formen angewendet werden. Für und reduziert die Substitution jede Bernoulli-Gleichung auf eine lineare Differentialgleichung${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle n\neq 1}$${\displaystyle u=y^{1-n}}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).}$

Im Fall zum Beispiel erzeugt die Substitution in der Differentialgleichung die Gleichung , die eine lineare Differentialgleichung ist. ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle u=y^{-1}}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$

Lösung

Lass und ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty)\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R } \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2, \\\end{array}}\right.}$

sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x)+(1-\alpha)Q(x).}$

Dann haben wir das ist eine Lösung von ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha}(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z (x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

Und für jede solche Differentialgleichung, für alles, was wir als Lösung für haben . ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle y\equiv 0}$${\displaystyle y_{0}=0}$

Beispiel

Betrachten Sie die Bernoulli-Gleichung

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

(in diesem Fall genauer gesagt die Gleichung von Riccati ). Die konstante Funktion ist eine Lösung. Division nach Erträgen ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y^{2}}$

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Das Ändern von Variablen ergibt die Gleichungen

${\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u' -{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}}$

die mit dem integrierenden Faktor gelöst werden kann

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

Multiplizieren mit ,${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle u'x^{2}+2xu=x^{4}.}$

Die linke Seite kann durch Umkehrung der Produktregel als Ableitung von dargestellt werden . Anwendung der Kettenregel und Integration beider Seiten bezüglich der Ergebnisse in den Gleichungen ${\displaystyle ux^{2}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1} {5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{ ausgerichtet}}}$

Die Lösung für ist ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}$

Anmerkungen

Verweise

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum Directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Zitiert in Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
• Haarer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen I: Nichtsteife Probleme , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.

Externe Links

• "Bernoulli-Gleichung" . PlanetMath .
• "Differentialgleichung" . PlanetMath .
• "Index der Differentialgleichungen" . PlanetMath .