Kettenregel - Chain rule
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In der Analysis ist die Kettenregel eine Formel , die die Ableitung der Zusammensetzung zweier differenzierbarer Funktionen f und g durch die Ableitungen f und g ausdrückt . Genauer gesagt, wenn die Funktion ist , so dass für jeden x , dann ist die Kettenregel, in Notation Lagrange ,
oder gleichwertig,
Die Kettenregel kann auch in der Leibnizschen Notation ausgedrückt werden . Wenn eine Variable z von der Variablen y abhängt, die wiederum von der Variablen x abhängt (dh y und z sind abhängige Variablen ), dann hängt z über die Zwischenvariable y auch von x ab . In diesem Fall wird die Kettenregel ausgedrückt als
und
um anzuzeigen, an welchen Stellen die Ableitungen ausgewertet werden müssen.
Bei der Integration ist das Gegenstück zur Kettenregel die Substitutionsregel .
Intuitive Erklärung
Intuitiv besagt die Kettenregel, dass die Kenntnis der momentanen Änderungsgeschwindigkeit von z relativ zu y und der von y relativ zu x es ermöglicht, die momentane Änderungsgeschwindigkeit von z relativ zu x als Produkt der beiden Änderungsgeschwindigkeiten zu berechnen.
Wie von George F. Simmons formuliert : "Wenn ein Auto doppelt so schnell fährt wie ein Fahrrad und das Fahrrad viermal so schnell wie ein gehender Mensch, dann fährt das Auto 2 × 4 = 8 Mal so schnell wie der Mensch."
Die Beziehung zwischen diesem Beispiel und der Kettenregel ist wie folgt. Seien z , y und x die (variablen) Positionen des Autos, des Fahrrads bzw. des Fußgängers. Die Änderungsrate der relativen Positionen des Autos und des Fahrrads ist ähnlich, also ist die Änderungsrate der relativen Positionen des Autos und des gehenden Mannes
Die Änderungsrate der Positionen ist das Verhältnis der Geschwindigkeiten, und die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position nach der Zeit; das ist,
oder gleichwertig,
was auch eine Anwendung der Kettenregel ist.
Geschichte
Die Kettenregel scheint erstmals von Gottfried Wilhelm Leibniz verwendet worden zu sein . Er benutzte es, um die Ableitung von als die Zusammensetzung der Quadratwurzelfunktion und der Funktion zu berechnen . Er erwähnte es zum ersten Mal in einer Abhandlung von 1676 (mit einem Vorzeichenfehler in der Berechnung). Die übliche Notation der Kettenregel geht auf Leibniz zurück. Guillaume de l'Hôpital verwendete die Kettenregel implizit in seiner Analyse des infiniment petits . Die Kettenregel taucht in keinem der Analysebücher von Leonhard Euler auf , obwohl sie über hundert Jahre nach Leibniz' Entdeckung geschrieben wurden.
Stellungnahme
Die einfachste Form der Kettenregel ist für reellwertige Funktionen einer reellen Variablen. Sie besagt, dass wenn g eine Funktion ist, die an einem Punkt c differenzierbar ist (dh die Ableitung g ′( c ) existiert) und f eine Funktion ist, die an g ( c ) differenzierbar ist , dann ist die zusammengesetzte Funktion an c differenzierbar , und die Ableitung ist
Die Regel wird manchmal abgekürzt als
Wenn y = f ( u ) und u = g ( x ) ist , dann wird diese Kurzform in Leibniz-Notation geschrieben als:
Die Punkte, an denen die Ableitungen ausgewertet werden, können auch explizit angegeben werden:
Die gleiche Argumentation weiterführend, gegeben n Funktionen mit der zusammengesetzten Funktion , wenn jede Funktion an ihrem unmittelbaren Eingang differenzierbar ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion auch durch die wiederholte Anwendung der Kettenregel differenzierbar, wobei die Ableitung ist (in der Leibniz-Notation):
Anwendungen
Verbundwerkstoffe mit mehr als zwei Funktionen
Die Kettenregel kann auf Zusammensetzungen mit mehr als zwei Funktionen angewendet werden. Um die Ableitung einer Zusammensetzung von mehr als zwei Funktionen zu bilden, beachten Sie, dass die Zusammensetzung von f , g und h (in dieser Reihenfolge) die Zusammensetzung von f mit g ∘ h ist . Die Ketten Regel besagt , dass die Ableitung berechnen f ∘ g ∘ h , reicht es aus , die Ableitung zu berechnen , f und die Ableitung von g ∘ h . Die Ableitung von f kann direkt berechnet werden, und die Ableitung von g ∘ h kann durch erneute Anwendung der Kettenregel berechnet werden.
Betrachten Sie aus Gründen der Konkretheit die Funktion
Diese lässt sich in die Zusammensetzung von drei Funktionen zerlegen:
Ihre Derivate sind:
Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung ihrer Zusammensetzung im Punkt x = a ist:
In Leibniz-Notation lautet dies:
oder kurz gesagt,
Die Ableitungsfunktion lautet daher:
Ein anderer Weg , um dieses Derivat der Berechnung ist , die zusammengesetzte Funktion anzuzeigen f ∘ g ∘ h als Verbund von f ∘ g und h . Die Anwendung der Kettenregel auf diese Weise würde ergeben:
Dies ist das gleiche wie oben berechnet. Dies sollte , weil zu erwarten ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) .
Manchmal ist es notwendig, eine beliebig lange Komposition der Form zu differenzieren . Definiere in diesem Fall
wo und wann . Dann hat die Kettenregel die Form
oder in der Lagrange-Notation
Quotientenregel
Die Kettenregel kann verwendet werden, um einige wohlbekannte Differenzierungsregeln abzuleiten. Zum Beispiel ist die Quotientenregel eine Folge der Kettenregel und der Produktregel . Um dies zu sehen, schreiben Sie die Funktion f ( x )/ g ( x ) als das Produkt f ( x ) · 1/ g ( x ) . Wenden Sie zuerst die Produktregel an:
Um die Ableitung von 1/ g ( x ) zu berechnen , beachte, dass es die Zusammensetzung von g mit der Kehrwertfunktion ist, d. h. die Funktion, die x an 1/ x sendet . Die Ableitung der Kehrwertfunktion ist . Durch Anwendung der Kettenregel wird der letzte Ausdruck zu:
das ist die übliche Formel für die Quotientenregel.
Ableitungen von Umkehrfunktionen
Angenommen, y = g ( x ) hat eine Umkehrfunktion . Rufen Sie seine Umkehrfunktion f auf, so dass x = f ( y ) gilt . Es gibt eine Formel für die Ableitung von f nach der Ableitung von g . Um dies zu sehen, beachte, dass f und g die Formel erfüllen
Und weil die Funktionen und x gleich sind, müssen ihre Ableitungen gleich sein. Die Ableitung von x ist die konstante Funktion mit dem Wert 1, und die Ableitung von wird durch die Kettenregel bestimmt. Daher haben wir das:
Auszudrücken f‘ als eine Funktion einer unabhängigen Variablen y , ersetzen wir für x , wo immer es erscheint. Dann können wir nach f' auflösen .
Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion g ( x ) = e x . Es hat eine Umkehrung von f ( y ) = ln y . Wegen g ′( x ) = e x sagt die obige Formel, dass
Diese Formel ist immer dann wahr, wenn g differenzierbar ist und seine Inverse f ebenfalls differenzierbar ist. Diese Formel kann fehlschlagen, wenn eine dieser Bedingungen nicht zutrifft. Betrachten Sie beispielsweise g ( x ) = x 3 . Seine Inverse ist f ( y ) = y 1/3 , die bei Null nicht differenzierbar ist. Wenn wir versuchen, die obige Formel zu verwenden, um die Ableitung von f bei Null zu berechnen , müssen wir 1/ g ′( f (0)) auswerten . Da f (0) = 0 und g ′(0) = 0 ist , müssen wir 1/0 auswerten, was undefiniert ist. Daher schlägt die Formel in diesem Fall fehl. Dies ist nicht überraschend, da f bei Null nicht differenzierbar ist.
Höhere Ableitungen
Die Formel von Faà di Bruno verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen. Angenommen y = f ( u ) und u = g ( x ) , dann sind die ersten Ableitungen:
Beweise
Erster Beweis
Ein Beweis der Kettenregel beginnt mit der Definition der Ableitung:
Angenommen , für den Moment, der nicht gleich für alle x in der Nähe ein . Dann ist der vorherige Ausdruck gleich dem Produkt zweier Faktoren:
Wenn oszilliert in der Nähe ein , dann kann es vorkommen , dass , egal wie nah man bekommt ein , gibt es immer ein noch engeren x , so dass g ( x ) = g ( a ) . Dies geschieht zum Beispiel in der Nähe von a = 0 für die stetige Funktion g definiert durch g ( x ) = 0 für x = 0 und g ( x ) = x 2 sin(1/ x ) ansonsten. Wenn dies geschieht, ist der obige Ausdruck undefiniert, da er eine Division durch Null beinhaltet . Um dies zu umgehen, führen Sie eine Funktion wie folgt ein:
Wir zeigen, dass der Differenzenquotient für f ∘ g immer gleich ist:
Immer wenn g ( x ) ungleich g ( a ) ist , ist dies klar, da sich die Faktoren von g ( x ) − g ( a ) aufheben. Wenn g ( x ) ist gleich g ( ein ) , dann die Differenzenquotienten für f ∘ g ist Null , da f ( g ( x )) gleich f ( g ( a )) und das obige Produkt ist Null , da es gleich f '( g ( a )) mal Null. Das obige Produkt ist also immer gleich dem Differenzenquotienten, und um zu zeigen, dass die Ableitung von f ∘ g an a existiert und ihren Wert zu bestimmen, brauchen wir nur zu zeigen, dass der Grenzwert von x zu a des obigen Produkts existiert und bestimmen dessen Wert.
Denken Sie dazu daran, dass die Grenze eines Produkts existiert, wenn die Grenzen seiner Faktoren existieren. In diesem Fall entspricht der Grenzwert des Produkts dieser beiden Faktoren dem Produkt der Grenzwerte der Faktoren. Die beiden Faktoren sind Q ( g ( x )) und ( g ( x ) − g ( a )) / ( x − a ) . Letzteres ist der Differenzenquotient für g bei a , und weil g bei differenzierbar ist eine durch Annahme, seine Grenze als x neigt zu einer existiert und ist gleich g '( a ) .
Bezüglich Q ( g ( x )) ist zu beachten, dass Q überall dort definiert ist, wo f ist. Außerdem ist f an g ( a ) durch Annahme differenzierbar , also ist Q nach Definition der Ableitung stetig an g ( a ) . Die Funktion g ist kontinuierlich auf einem weil es differenzierbar in a , und daher Q ∘ g ist bei Dauer ein . So seine Grenze als x geht an eine existiert und ist gleich Q ( g ( a )) , das ist f '( g ( a )) .
Dies zeigt, dass die Grenzen beider Faktoren existieren und dass sie gleich f ′( g ( a )) bzw. g ′( a ) sind. Daher ist die Ableitung von f ∘ g bei einer existiert und ist gleich f '( g ( ein )) g ' ( ein ) .
Zweiter Beweis
Eine andere Möglichkeit, die Kettenregel zu beweisen, besteht darin, den durch die Ableitung bestimmten Fehler in der linearen Näherung zu messen. Dieser Beweis hat den Vorteil, dass er auf mehrere Variablen verallgemeinert. Es stützt sich auf die folgende äquivalente Definition der Differenzierbarkeit an einem Punkt: Eine Funktion g ist differenzierbar ein , wenn es eine reelle Zahl existiert g '( a ) und eine Funktion ε ( h ) , die gegen Null geht , wie h gegen Null geht, und außerdem
Hier stellt die linke Seite die wahre Differenz zwischen dem Wert von g bei a und bei a + h dar , während die rechte Seite die Näherung darstellt, die durch die Ableitung plus einen Fehlerterm bestimmt wird.
In der Situation der Kettenregel existiert eine solche Funktion ε , weil angenommen wird, dass g bei a differenzierbar ist . Wiederum gibt es nach Annahme eine ähnliche Funktion auch für f bei g ( a ). Rufen wir diese Funktion η auf , so haben wir
Die obige Definition erlegt keine Einschränkungen bezüglich η (0), obwohl angenommen wird , daß η ( k ) gegen Null geht, wie k gegen Null geht. Wenn wir η (0) = 0 setzen , dann ist η stetig bei 0.
Um den Satz zu beweisen, muss man die Differenz f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) studieren, da h gegen Null geht. Der erste Schritt besteht darin, g ( a + h ) unter Verwendung der Definition der Differenzierbarkeit von g bei a zu ersetzen :
Der nächste Schritt besteht darin, die Definition der Differenzierbarkeit von f bei g ( a ) zu verwenden. Dies erfordert einen Term der Form f ( g ( a )+ k ) für einige k . In der obigen Gleichung variiert das richtige k mit h . Setze k h = g ′( a ) h + ε ( h ) h und die rechte Seite wird f ( g ( a ) + k h ) − f ( g ( a )) . Die Anwendung der Definition der Ableitung ergibt:
Um das Verhalten dieses Ausdrucks zu untersuchen, wenn h gegen Null geht, erweitere k h . Nach dem Umgruppieren der Begriffe wird die rechte Seite zu:
Da ε ( h ) und η ( k h ) dazu neigen , auf Null , wenn h gegen Null geht, wobei die ersten beiden eingeklammerten Terms tendieren gegen Null h auf Null tendiert. Bei Anwendung des gleichen Satzes auf Grenzwertprodukte wie im ersten Beweis geht auch der dritte Term in Klammern gegen Null. Da der obige Ausdruck gleich der Differenz f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) ist , ist nach Definition der Ableitung f ∘ g an a differenzierbar und seine Ableitung ist f ′( g ( a )) g ′( a ).
Die Rolle von Q im ersten Beweis wird in diesem Beweis von η gespielt . Sie sind durch die Gleichung verbunden:
Die Notwendigkeit, Q bei g ( a ) zu definieren, ist analog zu der Notwendigkeit, η bei Null zu definieren .
Dritter Beweis
Constantin Carathéodorys alternative Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion kann verwendet werden, um einen eleganten Beweis der Kettenregel zu geben.
Unter dieser Definition ist eine Funktion f ist an einem Punkt differenzierbar a , wenn und nur wenn es eine Funktion ist , q , stetig in einem und so , daß f ( x ) - f ( a ) = q ( x ) ( x - a ) . Es gibt höchstens eine solche Funktion, und wenn f an a differenzierbar ist, dann ist f ′( a ) = q ( a ) .
Unter den Annahmen der Kettenregel und der Tatsache, dass differenzierbare Funktionen und Zusammensetzungen stetiger Funktionen stetig sind, gibt es Funktionen q , stetig bei g ( a ) und r , stetig bei a , und derart, dass
und
Deswegen,
aber die durch h ( x ) = q ( g ( x )) r ( x ) gegebene Funktion ist bei a stetig , und wir erhalten dafür a
Ein ähnlicher Ansatz funktioniert für stetig differenzierbare (Vektor-)Funktionen vieler Variablen. Diese Methode der Faktorisierung ermöglicht auch einen einheitlichen Ansatz für stärkere Formen der Differenzierbarkeit, wenn die Ableitung Lipschitz-stetig , Hölder-stetig usw. sein muss. Die Differenzierung selbst kann als polynomialer Restsatz (der kleine Bézout- Satz oder Faktorsatz) angesehen werden , zu einer geeigneten Klasse von Funktionen verallgemeinert.
Beweis durch infinitesimale Zahlen
Wenn und dann unendlich Wahl berechnen wir die entsprechenden und dann die entsprechenden , so dass
und die Anwendung von Standardteil erhalten wir
das ist die Kettenregel.
Multivariabler Fall
Die Verallgemeinerung der Kettenregel auf Funktionen mit mehreren Variablen ist eher technisch. Bei Funktionen der Form . ist es jedoch einfacher zu schreiben
Da dieser Fall bei der Untersuchung von Funktionen einer einzelnen Variablen häufig vorkommt, lohnt es sich, ihn gesondert zu beschreiben.
Fall von f ( g 1 ( x ), ... , g k ( x ))
Zum Schreiben der Kettenregel für eine Funktion der Form
- f ( g 1 ( x ), ... , g k ( x )) ,
man braucht die partiellen Ableitungen von f nach seinen k Argumenten. Die üblichen Notationen für partielle Ableitungen beinhalten Namen für die Argumente der Funktion. Da diese Argumente in der obigen Formel nicht genannt werden, ist es einfacher und klarer, sie mit zu bezeichnen
die Ableitung von f nach seinem i- ten Argument und by
der Wert dieser Ableitung bei z .
Mit dieser Notation lautet die Kettenregel
Beispiel: Rechenoperationen
Wenn die Funktion f Addition ist, d. h. wenn
dann und . Somit liefert die Kettenregel
Zur Multiplikation
die Teiltöne sind und . Daher,
Der Fall der Exponentiation
ist etwas komplizierter, da
und wie
Es folgt dem
Allgemeine Regel
Der einfachste Weg, die Kettenregel im allgemeinen Fall zu schreiben, besteht darin, die Gesamtableitung zu verwenden , die eine lineare Transformation ist, die alle Richtungsableitungen in einer einzigen Formel erfasst . Betrachten Sie differenzierbare Funktionen f : R m → R k und g : R n → R m und einen Punkt a in R n . Läßt D a g bezeichnen die totale Ableitung von g bei einem und D g ( a ) f bezeichnet die totale Ableitung von f in g ( einer ) . Diese beiden Ableitungen sind lineare Transformationen R n → R m bzw. R m → R k , sodass sie zusammengesetzt werden können. Die Kettenregel für totale Ableitungen lautet, dass ihre Zusammensetzung die totale Ableitung von f ∘ g an a ist :
oder kurz gesagt,
Die höherdimensionale Kettenregel kann mit einer ähnlichen Technik wie der zweite oben gegebene Beweis bewiesen werden.
Da die Gesamtableitung eine lineare Transformation ist, können die in der Formel vorkommenden Funktionen als Matrizen umgeschrieben werden. Die einer totalen Ableitung entsprechende Matrix wird als Jacobi-Matrix bezeichnet , und die Zusammensetzung zweier Ableitungen entspricht dem Produkt ihrer Jacobi-Matrizen. Aus dieser Perspektive sagt die Kettenregel daher:
oder kurz gesagt,
Das heißt, die Jacobi-Zahl einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Jacobi-Zahl der zusammengesetzten Funktionen (ausgewertet an den entsprechenden Stellen).
Die höherdimensionale Kettenregel ist eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kettenregel. Wenn k , m und n sind 1, so daß f : R → R und g : R → R , dann wird die Jacobi - Matrizen von f und g sind 1 × 1 . Im Einzelnen sind dies:
Der Jacobi-Wert von f ∘ g ist das Produkt dieser 1 × 1- Matrizen, also f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) , wie von der eindimensionalen Kettenregel erwartet. In der Sprache der linearen Transformationen, D a ( g ) ist die Funktion , die einen Vektor mit einem Faktor skaliert g '( a ) und D g ( a ) ( f ) ist die Funktion , die durch einen Faktor skaliert eine Vektor f ' ( g ( a )). Die Kettenregel besagt , dass der Verbund dieser beiden linearen Transformationen ist die lineare Transformation D a ( f ∘ g ) , und daher ist es die Funktion , die Waage ein Vektor von f '( g ( a )) ⋅ g ' ( a ).
Eine andere Schreibweise der Kettenregel wird verwendet, wenn f und g durch ihre Komponenten ausgedrückt werden als y = f ( u ) = ( f 1 ( u ), …, f k ( u )) und u = g ( x ) = ( g 1 ( x ), ..., g m ( x )) . In diesem Fall wird die obige Regel für Jacobi-Matrizen normalerweise wie folgt geschrieben:
Die Kettenregel für totale Ableitungen impliziert eine Kettenregel für partielle Ableitungen. Denken Sie daran, dass, wenn die totale Ableitung existiert, die partielle Ableitung in der i- ten Koordinatenrichtung durch Multiplizieren der Jacobi-Matrix mit dem i- ten Basisvektor gefunden wird. Indem wir dies mit der obigen Formel tun, finden wir:
Da die Einträge der Jacobi-Matrix partielle Ableitungen sind, können wir die obige Formel vereinfachen, um zu erhalten:
Konzeptionell drückt diese Regel die Tatsache aus, dass eine Änderung in der x i -Richtung das gesamte g 1 bis g m ändern kann und jede dieser Änderungen f beeinflussen kann .
Im Spezialfall k = 1 , also f eine reellwertige Funktion, vereinfacht sich diese Formel noch weiter:
Dies kann als Punktprodukt umgeschrieben werden . Unter Hinweis auf u = ( g 1 , …, g m ) ist die partielle Ableitung ∂ u / ∂ x i ebenfalls ein Vektor, und die Kettenregel besagt:
Beispiel
Gegeben u ( x , y ) = x 2 + 2 y wobei x ( r , t ) = r sin ( t ) und y ( r , t ) = sin 2 ( t ) ist , bestimme den Wert von ∂ u / ∂ r und ∂ u / ∂ t nach der Kettenregel.
und
Höhere Ableitungen multivariabler Funktionen
Die Formel von Faà di Bruno für Ableitungen höherer Ordnung von Funktionen mit einer Variablen verallgemeinert auf den Fall mit mehreren Variablen. Wenn y = f ( u ) wie oben eine Funktion von u = g ( x ) ist , dann ist die zweite Ableitung von f ∘ g :
Weitere Verallgemeinerungen
Alle Erweiterungen der Infinitesimalrechnung haben eine Kettenregel. In den meisten von ihnen bleibt die Formel gleich, obwohl die Bedeutung dieser Formel sehr unterschiedlich sein kann.
Eine Verallgemeinerung ist auf Mannigfaltigkeiten . In dieser Situation stellt die Kettenregel die Tatsache dar, dass die Ableitung von f ∘ g die Zusammensetzung der Ableitung von f und der Ableitung von g ist . Dieser Satz ist eine unmittelbare Konsequenz der oben gegebenen höherdimensionalen Kettenregel und hat genau dieselbe Formel.
Die Kettenregel gilt auch für Fréchet-Ableitungen in Banachräumen . Es gilt die gleiche Formel wie zuvor. Dieser und der vorhergehende Fall erlauben eine gleichzeitige Verallgemeinerung auf Banach-Mannigfaltigkeiten .
In der Differentialalgebra wird die Ableitung als Morphismus von Modulen von Kähler-Differentialen interpretiert . Ein Ringhomomorphismus von kommutativen Ringen f : R → S bestimmt einen Morphismus von Kähler-Differentialen Df : Ω R → Ω S, der ein Element dr zu d ( f ( r ) schickt , dem äußeren Differential von f ( r ). Auch in diesem Zusammenhang gilt die Formel D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg .
Das gemeinsame Merkmal dieser Beispiele ist, dass sie Ausdruck der Idee sind, dass die Ableitung Teil eines Funktors ist . Ein Funktor ist eine Operation auf Räumen und Funktionen zwischen ihnen. Es ordnet jedem Raum einen neuen Raum und jeder Funktion zwischen zwei Räumen eine neue Funktion zwischen den entsprechenden neuen Räumen zu. In jedem der obigen Fälle sendet der Funktor jeden Raum an sein Tangentenbündel und er sendet jede Funktion an seine Ableitung. Im Fall einer Mannigfaltigkeit sendet die Ableitung beispielsweise eine C r -Mannigfaltigkeit an eine C r −1 -Mannigfaltigkeit (sein Tangentenbündel) und eine C r -Funktion an ihre gesamte Ableitung. Es gibt eine Voraussetzung dafür, dass dies ein Funktor ist, nämlich dass die Ableitung einer Zusammensetzung die Zusammensetzung der Ableitungen sein muss. Dies ist genau die Formel D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg .
Es gibt auch Kettenregeln in der stochastischen Analysis . Eines davon, das Lemma von Itō , drückt die Zusammensetzung eines Itō-Prozesses (oder allgemeiner eines Semimartingals ) dX t mit einer zweimal differenzierbaren Funktion f aus . Im Lemma von Itō hängt die Ableitung der zusammengesetzten Funktion nicht nur von dX t und der Ableitung von f ab, sondern auch von der zweiten Ableitung von f . Die Abhängigkeit von der zweiten Ableitung ist eine Folge der von Null verschiedenen quadratischen Variation des stochastischen Prozesses, was grob gesagt bedeutet, dass sich der Prozess sehr grob auf und ab bewegen kann. Diese Variante der Kettenregel ist kein Beispiel für einen Funktor, da die beiden zusammengesetzten Funktionen unterschiedlichen Typs sind.
Siehe auch
- Integration durch Substitution
- Leibniz-Integralregel
- Quotientenregel
- Dreifache Produktregel
- Produktregel
- Automatische Differenzierung , eine Berechnungsmethode, die die Kettenregel stark nutzt, um exakte numerische Ableitungen zu berechnen.
Verweise
Externe Links
- "Leibniz-Regel" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Kettenregel" . MathWorld .