Bertrands Satz - Bertrand's theorem

Joseph Bertrand

In der klassischen Mechanik , Bertrand-Theorem besagt , dass unter dem zentralen Kraftpotentialen mit gebundenen Bahnen, gibt es nur zwei Arten von zentraler Kraft (radial) Gradientenfeld mit der Eigenschaft , dass alle gebundenen Umlaufbahnen sind auch geschlossene Bahnen .

Das erste derartige Potential ist eine inverse quadratische Zentralkraft wie das Gravitations- oder elektrostatische Potential :

${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {k} {r}}}$ mit Gewalt . ${\ displaystyle f (r) = - {\ frac {dV} {dr}} = - {\ frac {k} {r ^ {2}}}}$

Das zweite ist das radiale harmonische Oszillatorpotential :

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {1} {2}} kr ^ {2}}$ mit Gewalt . ${\ displaystyle f (r) = - {\ frac {dV} {dr}} = - kr}$

Der Satz ist nach seinem Entdecker Joseph Bertrand benannt .

Ableitung

Kleine Änderungen in der Kraft der Kraftskalierung mit der Entfernung führen zu signifikant unterschiedlichen Arten von Umlaufbahnen.

Alle anziehenden zentralen Kräfte können kreisförmige Bahnen erzeugen , die natürlich geschlossene Bahnen sind . Die einzige Voraussetzung ist, dass die Zentralkraft genau der Zentripetalkraft entspricht , die die erforderliche Winkelgeschwindigkeit für einen bestimmten Kreisradius bestimmt. Nicht-zentrale Kräfte (dh solche, die sowohl von den Winkelvariablen als auch vom Radius abhängen) werden hier ignoriert, da sie im Allgemeinen keine Kreisbahnen erzeugen.

Die Bewegungsgleichung für den Radius r eines Teilchens der Masse m, das sich in einem zentralen Potential V ( r ) bewegt, ist durch Bewegungsgleichungen gegeben

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - mr \ omega ^ {2} = m {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2} }} - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {3}}} = - {\ frac {dV} {dr}},}$

wobei und der Drehimpuls L = mr ² ω erhalten bleibt. Zur Veranschaulichung ist der erste Term links für Kreisbahnen Null, und die aufgebrachte Einwärtskraft entspricht erwartungsgemäß der Zentripetalkraftanforderung mr ω ² . ${\ displaystyle \ omega \ equiv {\ frac {d \ theta} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}}}$

Die Definition des Drehimpulses ermöglicht eine Änderung der unabhängigen Variablen von t nach θ:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {L} {mr ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}},}$

Geben Sie die neue Bewegungsgleichung, die unabhängig von der Zeit ist:

${\ displaystyle {\ frac {L} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left ({\ frac {L} {mr ^ {2}}} {\ frac { dr} {d \ theta}} \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {3}}} = - {\ frac {dV} {dr}}.}$

Diese Gleichung wird quasilinear, wenn Variablen geändert und beide Seiten mit multipliziert werden (siehe auch Binet-Gleichung ): ${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}}}$${\ displaystyle {\ frac {mr ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du }} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right).}$

Wie oben erwähnt, können alle zentralen Kräfte bei einer geeigneten Anfangsgeschwindigkeit Kreisbahnen erzeugen . Wenn jedoch eine gewisse Radialgeschwindigkeit eingeführt wird, müssen diese Umlaufbahnen weder stabil sein (dh auf unbestimmte Zeit in der Umlaufbahn bleiben) noch geschlossen sein (wiederholt auf genau denselben Weg zurückkehren). Hier zeigen wir, dass stabile, genau geschlossene Bahnen nur mit einer inversen quadratischen Kraft oder einem radialen harmonischen Oszillatorpotential erzeugt werden können (eine notwendige Bedingung ). In den folgenden Abschnitten zeigen wir, dass diese Kraftgesetze stabile, genau geschlossene Umlaufbahnen erzeugen (eine ausreichende Bedingung ).

Definieren Sie J ( u ) als

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = J (u) \ equiv - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du}} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right) = - {\ frac {m} {L ^ {2} u ^ {2}}} f \ left ( {\ frac {1} {u}} \ right),}$

wobei f die Radialkraft darstellt. Das Kriterium für eine perfekt kreisförmige Bewegung bei einem Radius r ₀ ist, dass der erste Term links Null ist:

${\ displaystyle u_ {0} = J (u_ {0}) = - {\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} { u_ {0}}} \ right),}$

( 1 )

wo . ${\ displaystyle u_ {0} \ equiv 1 / r_ {0}}$

Der nächste Schritt besteht darin, die Gleichung für u unter kleinen Störungen aus perfekt kreisförmigen Bahnen zu betrachten. Rechts kann die J- Funktion in einer Standard- Taylor-Reihe erweitert werden : ${\ displaystyle \ eta \ equiv u-u_ {0}}$

${\ displaystyle J (u) \ ca. J (u_ {0}) + \ eta J '(u_ {0}) + {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2} J' '(u_ { 0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots}$

Einsetzen dieser Erweiterung in die Gleichung für u und Subtrahieren der konstanten Terme ergibt

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ theta ^ {2}}} + \ eta = \ eta J '(u_ {0}) + {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2} J '' (u_ {0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots,}$

was geschrieben werden kann als

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ theta ^ {2}}} + \ beta ^ {2} \ eta = {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2 } J '' (u_ {0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots,}$

( 2 )

wo ist eine Konstante. β ² darf nicht negativ sein; Andernfalls würde der Radius der Umlaufbahn exponentiell von seinem ursprünglichen Radius abweichen. (Die Lösung β = 0 entspricht einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn.) Wenn die rechte Seite vernachlässigt werden kann (dh für kleine Störungen), sind die Lösungen ${\ displaystyle \ beta ^ {2} \ equiv 1-J '(u_ {0})}$

${\ displaystyle \ eta (\ theta) = h_ {1} \ cos (\ beta \ theta),}$

wobei die Amplitude h ₁ eine Integrationskonstante ist. Damit die Bahnen geschlossen werden, muss β eine rationale Zahl sein . Darüber hinaus muss es für alle Radien dieselbe rationale Zahl sein, da sich β nicht kontinuierlich ändern kann. Die rationalen Zahlen sind völlig voneinander getrennt. Unter Verwendung der Definition von J zusammen mit Gleichung ( 1 ),

${\ displaystyle J '(u_ {0}) = {\ frac {2} {u_ {0}}} \ left [{\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) \ right] - \ left [{\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) \ right] {\ frac {1} {f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right)} } {\ frac {d} {du_ {0}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) = - 2 + {\ frac {u_ {0}} {f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right)}} {\ frac {d} {du_ {0}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) = 1- \ beta ^ {2}.}$

Da dies für jeden Wert von u _{0 gelten muss} ,

${\ displaystyle {\ frac {df} {dr}} = (\ beta ^ {2} -3) {\ frac {f} {r}},}$

was bedeutet, dass die Kraft einem Potenzgesetz folgen muss

${\ displaystyle f (r) = - {\ frac {k} {r ^ {3- \ beta ^ {2}}}.}$

Daher muss J die allgemeine Form haben

${\ displaystyle J (u) = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} u ^ {1- \ beta ^ {2}}.}$

( 3 )

Für allgemeinere Abweichungen von der Zirkularität (dh wenn wir die Terme höherer Ordnung in der Taylor-Erweiterung von J nicht vernachlässigen können ) kann η in einer Fourier-Reihe erweitert werden, z.

${\ displaystyle \ eta (\ theta) = h_ {0} + h_ {1} \ cos \ beta \ theta + h_ {2} \ cos 2 \ beta \ theta + h_ {3} \ cos 3 \ beta \ theta + \ cdots}$

Wir setzen dies in Gleichung ( 2 ) ein und setzen die zu derselben Frequenz gehörenden Koeffizienten gleich, wobei nur die Terme niedrigster Ordnung beibehalten werden. Wie wir unten zeigen, sind h ₀ und h ₂ kleiner als h ₁ und sind in Ordnung . h ₃ und alle weiteren Koeffizienten sind mindestens in der Größenordnung . Dies ist sinnvoll, da alle schneller als h ₁ verschwinden müssen, wenn sich eine Kreisbahn nähert. ${\ displaystyle h_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle h_ {1} ^ {3}}$${\ displaystyle h_ {0}, h_ {2}, h_ {3}, \ ldots}$

${\ displaystyle h_ {0} = h_ {1} ^ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {4 \ beta ^ {2}}},}$

${\ displaystyle h_ {2} = - h_ {1} ^ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {12 \ beta ^ {2}}},}$

${\ displaystyle h_ {3} = - {\ frac {1} {8 \ beta ^ {2}}} \ left [h_ {1} h_ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {2}} + h_ {1} ^ {3} {\ frac {J '' '(u_ {0})} {24}} \ right].}$

Aus dem cos (βθ) -Term erhalten wir

${\ displaystyle 0 = (2h_ {1} h_ {0} + h_ {1} h_ {2}) {\ frac {J '' (u_ {0})} {2}} + h_ {1} ^ {3 } {\ frac {J '' '(u_ {0})} {8}} = {\ frac {h_ {1} ^ {3}} {24 \ beta ^ {2}}} \ left (3 \ beta ^ {2} J '' '(u_ {0}) + 5J' '(u_ {0}) ^ {2} \ right),}$

wo wir im letzten Schritt die Werte von h ₀ und h _{2 eingesetzt haben} .

Unter Verwendung der Gleichungen ( 3 ) und ( 1 ) können wir die zweite und dritte Ableitung von J berechnen, die bei u ₀ bewertet werden :

${\ displaystyle J '' (u_ {0}) = - {\ frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2})} {u_ {0}}},}$

${\ displaystyle J '' '(u_ {0}) = {\ frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (1+ \ beta ^ {2})} {u_ {0} ^ {2}}}.}$

Das Einsetzen dieser Werte in die letzte Gleichung ergibt das Hauptergebnis des Satzes von Bertrand :

${\ displaystyle \ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (4- \ beta ^ {2}) = 0.}$

Daher sind die einzigen Potentiale , die stabile geschlossene nicht kreisförmige Bahnen erzeugen können, das Gesetz der inversen quadratischen Kraft (β = 1) und das Potential des radialen harmonischen Oszillators (β = 2). Die Lösung β = 0 entspricht perfekt kreisförmigen Bahnen, wie oben angegeben.

Klassische Feldpotentiale

Für ein inverses quadratisches Kraftgesetz wie das Gravitations- oder elektrostatische Potential kann das Potential geschrieben werden

${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {-k} {r}} = - ku.}$

Die Umlaufbahn u (θ) kann aus der allgemeinen Gleichung abgeleitet werden

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du }} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right) = {\ frac {km} {L ^ {2}}},}$

deren Lösung ist die Konstante plus eine einfache Sinuskurve: ${\ displaystyle {\ frac {km} {L ^ {2}}}}$

${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}} = {\ frac {km} {L ^ {2}}} [1 + e \ cos (\ theta - \ theta _ {0})], }}$

wobei e (die Exzentrizität ) und θ ₀ (der Phasenversatz ) Integrationskonstanten sind.

Dies ist die allgemeine Formel für einen Kegelschnitt , der einen Fokus am Ursprung hat. e = 0 entspricht einem Kreis , e <1 entspricht einer Ellipse, e = 1 entspricht einer Parabel und e > 1 entspricht einer Hyperbel . Die Exzentrizität e hängt mit der Gesamtenergie E zusammen (siehe Laplace-Runge-Lenz-Vektor ):

${\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2EL ^ {2}} {k ^ {2} m}}}.}$

Der Vergleich dieser Formeln zeigt, dass E <0 einer Ellipse entspricht, E = 0 einer Parabel entspricht und E > 0 einer Hyperbel entspricht . Insbesondere für perfekt kreisförmige Bahnen. ${\ displaystyle E = - {\ frac {k ^ {2} m} {2L ^ {2}}}}$

Harmonischer Oszillator

Um nach der Umlaufbahn unter einem radialen harmonischen Oszillatorpotential zu suchen, ist es einfacher, in Komponenten r = ( x , y , z ) zu arbeiten. Das Potenzial kann geschrieben werden als

${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2}} kr ^ {2} = {\ frac {1} {2}} k (x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}).}$

Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Masse m ergibt sich aus drei unabhängigen Euler-Gleichungen :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0,}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y = 0,}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} z = 0,}$

wobei die Konstante positiv sein muss (dh k > 0), um begrenzte, geschlossene Bahnen sicherzustellen; Andernfalls fliegt das Partikel ins Unendliche . Die Lösungen dieser einfachen harmonischen Oszillatorgleichungen sind alle ähnlich: ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} \ equiv {\ frac {k} {m}}}$

${\ displaystyle x = A_ {x} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {x}),}$

${\ displaystyle y = A_ {y} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {y}),}$

${\ displaystyle z = A_ {z} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {z}),}$

wobei die positiven Konstanten A _x , A _y und A _z die Amplituden der Schwingungen darstellen und die Winkel φ _x , φ _y und φ _z ihre Phasen darstellen . Die resultierende Umlaufbahn r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] ist geschlossen, weil sie sich genau nach einer Periode wiederholt

${\ displaystyle T \ equiv {\ frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}.}$

Das System ist auch stabil, weil kleine Störungen in den Amplituden und Phasen entsprechend kleine Änderungen in der Gesamtbahn verursachen.

Verweise

Weiterführende Literatur

• Goldstein, H. (1980). Klassische Mechanik (2. Aufl.). Addison-Wesley. ISBN   978-0-201-02918-5 .
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). "Eine englische Übersetzung von Bertrands Theorem". Lateinamerikanisches Journal für Physikunterricht . 5 (4): 694–696. arXiv : 0704.2396 . Bibcode : 2007arXiv0704.2396S .