LIBOR Marktmodell - LIBOR market model

Das LIBOR-Marktmodell , auch bekannt als BGM-Modell ( Brace Gatarek Musiela-Modell , in Anlehnung an die Namen einiger Erfinder), ist ein Finanzmodell der Zinssätze . Es wird unter anderem zur Preisgestaltung von Zinsderivaten verwendet , insbesondere von exotischen Derivaten wie bermudanischen Swaptions, Ratschenobergrenzen und -böden, Zielrückzahlungsscheinen, Autocaps, Nullkupon-Swaptions, Swaps mit konstanter Laufzeit und Spread-Optionen. Die modellierten Mengen anstelle der Short-Rate- oder Momentan-Forward-Raten (wie im Heath-Jarrow-Morton-Framework ) sind eine Reihe von Forward-Raten (auch Forward- LIBORs genannt ), die den Vorteil haben, direkt am Markt beobachtbar zu sein und deren Volatilitäten natürlich mit gehandelten Kontrakten verbunden sind. Jede Forward Rate wird durch einen modellierten lognormal Prozess unter seiner Vorwärts-Maßnahme , also ein Black - Modell führt zu einer schwarzen Formel für Zinscaps . Diese Formel ist der Marktstandard für die Angabe von Cap-Preisen in Bezug auf implizite Volatilitäten, daher der Begriff "Marktmodell". Das LIBOR-Marktmodell kann als eine Sammlung von Forward-LIBOR-Dynamiken für verschiedene Forward-Zinssätze mit übergreifenden Laufzeiten und Laufzeiten interpretiert werden, wobei jeder Forward-Zinssatz für seine kanonische Laufzeit mit einer Black-Interest-Rate-Caplet-Formel übereinstimmt. Man kann die unterschiedlichen Raten Dynamik unter einer gemeinsamen Preis schreibt Maßnahme , beispielsweise die Vorwärts-Maßnahme für einen bevorzugten einzelnen Reif, und in diesem Fall Forwardsätze werden nicht lognormal unter der einzigartigen Maßnahme im Allgemeinen sein, was zu der Notwendigkeit für numerische Methoden wie Monte-Carlo-Simulation oder Annäherungen wie die Annahme der gefrorenen Drift.

Modelldynamik

Die LIBOR Marktmodell Modelle eine Reihe von Terminkursen , wie lognormal Prozesse. Unter dem jeweiligen Vorwärtsmaß ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {j}}$${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle T_ {j}}$${\ displaystyle Q_ {T_ {j + 1}}}$

${\ displaystyle dL_ {j} (t) = \ mu _ {j} (t) L_ {j} (t) dt + \ sigma _ {j} (t) L_ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {j + 1}}} (t) {\ text {.}}}$

Hier können wir das betrachten (zentrierter Prozess). Hier ist der Terminkurs für den Zeitraum . Für jede einzelne Forward Rate entspricht das Modell dem Black-Modell. ${\ displaystyle \ mu _ {j} (t) = 0, \ forall t}$${\ displaystyle L_ {j}}$${\ displaystyle [T_ {j}, T_ {j + 1}]}$

Das Neue ist, dass das LIBOR-Marktmodell im Gegensatz zum Black-Modell die Dynamik einer ganzen Familie von Terminkursen unter einem gemeinsamen Maß beschreibt. Die Frage ist nun, wie zwischen den verschiedenen Vorwärtsmaßnahmen gewechselt werden kann. Mit dem Satz des multivariaten Girsanov kann man das zeigen ${\ displaystyle T}$

${\ Anzeigestil dW ^ {Q_ {T_ {j}}} (t) = {\ begin {Fälle} dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) - \ sum \ Grenzen _ {k = j + 1 } ^ {p} {\ frac {\ delta L_ {k} (t)} {1+ \ delta L_ {k} (t)}} {\ sigma} _ {k} (t) {\ rho} _ { jk} dt \ qquad j <p \\ dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad j = p \\ dW ^ { Q_ {T_ {p}}} (t) + \ Summe \ Grenzen _ {k = p + 1} ^ {j} {\ frac {\ Delta L_ {k} (t)} {1+ \ Delta L_ {k } (t)}} {\ sigma} _ {k} (t) {\ rho} _ {jk} dt \ qquad \ quad j> p \\\ end {case}}}$

und

${\ displaystyle dL_ {j} (t) = {\ begin {case} L_ {j} (t) {\ sigma} _ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) - L_ {j} (t) \ Summe \ Grenzen _ {k = j + 1} ^ {p} {\ frac {\ Delta L_ {k} (t)} {1+ \ Delta L_ {k} (t)} } {\ sigma} _ {j} (t) {\ sigma} _ {k} (t) {\ rho} _ {jk} dt \ qquad j <p \\ L_ {j} (t) {\ sigma} _ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ quad j = p \\ L_ {j} (t) {\ sigma} _ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) + L_ {j} (t) \ sum \ begrenzt _ {k = p + 1} ^ { j} {\ frac {\ delta L_ {k} (t)} {1+ \ delta L_ {k} (t)}} {\ sigma} _ {j} (t) {\ sigma} _ {k} ( t) {\ rho} _ {jk} dt \ quad \ qquad j> p \\\ ende {Fälle}}}$

Verweise

Literatur

• A. Brace, D. Gatarek et M. Musiela (1997): "The Market Model of Interest Rate Dynamics", Mathematical Finance, 7 (2), 127-154.
• Miltersen, K., Sandmann, K. und Sondermann, D. (1997): „Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates“, Journal of Finance, 52 (1), 409-430.
• Wernz, J. (2020): "Bank Management and Control", Springer Nature, 85-88

Externe Links

• Java-Applets für die Preisgestaltung nach einem LIBOR-Marktmodell und Monte-Carlo-Methoden
• Jave-Quellcode und Tabellenkalkulation eines LIBOR-Marktmodells, einschließlich Kalibrierung auf Swaption und Produktbewertung
• Damiano Brigos Vorlesungsunterlagen zum LIBOR-Marktmodell für den Fixed-Income-Kurs der Bocconi University