Heath-Jarrow-Morton-Framework - Heath–Jarrow–Morton framework

Der Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) Rahmen ist ein allgemeiner Rahmen für die Entwicklung der Modellierung Zinskurven - momentaner Forward Rate Kurven insbesondere (als Gegensatz zu einfachen Terminkursen ). Wenn die Volatilität und Drift der momentanen Forward Rate als deterministisch angenommen wird , wird dies als Gaußsches Heath-Jarrow-Morton (HJM) -Modell der Forward-Raten bezeichnet. Für die direkte Modellierung einfacher Forward-Raten ist das Brace-Gatarek-Musiela-Modell ein Beispiel.

Das HJM-Framework stammt aus der Arbeit von David Heath , Robert A. Jarrow und Andrew Morton Ende der 1980er Jahre, insbesondere aus der Anleihepreisgestaltung und der Laufzeitstruktur der Zinssätze: eine neue Methodik (1987) - Arbeitspapier, Cornell University und Bond Preisgestaltung und Laufzeitstruktur der Zinssätze: eine neue Methodik (1989) - Arbeitspapier (überarbeitete Ausgabe), Cornell University. Es hat jedoch seine Kritiker, die von Paul Wilmott als "... eigentlich nur ein großer Teppich, unter den [Fehler] gefegt werden können" beschrieben werden.

Rahmen

Der Schlüssel zu diesen Techniken ist die Erkenntnis, dass die Abweichungen der No-Arbitrage- Entwicklung bestimmter Variablen als Funktionen ihrer Volatilitäten und der Korrelationen untereinander ausgedrückt werden können. Mit anderen Worten ist keine Driftschätzung erforderlich.

Nach dem HJM-Framework entwickelte Modelle unterscheiden sich von den sogenannten Short-Rate-Modellen darin, dass HJM-Modelle die volle Dynamik der gesamten Forward-Rate-Kurve erfassen, während die Short-Rate-Modelle nur die Dynamik eines Punktes erfassen auf der Kurve (die Short Rate).

Modelle, die nach dem allgemeinen HJM-Framework entwickelt wurden, sind jedoch oft nicht- markovisch und können sogar unendliche Dimensionen haben. Eine Reihe von Forschern hat große Beiträge zur Lösung dieses Problems geleistet. Sie zeigen, dass, wenn die Volatilitätsstruktur der Terminkurse bestimmte Bedingungen erfüllt, ein HJM-Modell vollständig durch ein endliches Markovian-System ausgedrückt werden kann, was es rechnerisch machbar macht. Beispiele hierfür sind ein Ein-Faktor-Zwei-Staaten-Modell (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken und L. Sankarasubramanian in "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics") of Term Structure ", Mathematical Finance , 5, Nr. 1, Januar 1995) und spätere Multi-Faktor-Versionen.

Mathematische Formulierung

Die von Heath, Jarrow und Morton (1992) entwickelte Modellklasse basiert auf der Modellierung der Forward-Raten, erfasst jedoch nicht alle Komplexitäten einer sich entwickelnden Termstruktur.

Das Modell beginnt mit der Einführung der momentanen Forward-Rate , die als die kontinuierliche Compoundierungsrate definiert ist, die zum Zeitpunkt verfügbar ist . Das Verhältnis zwischen Anleihepreisen und Terminkurs wird ebenfalls folgendermaßen dargestellt: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, T)}$ ${\ displaystyle \ textstyle t \ leq T}$ ${\ displaystyle \ textstyle T}$ ${\ displaystyle \ textstyle t}$

{\ displaystyle P (t, T) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} f (t, s) ds}}

Hier ist der Preis zum Zeitpunkt einer Nullkuponanleihe, die bei Fälligkeit 1 USD zahlt . Das risikofreie Geldmarktkonto ist ebenfalls definiert als ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$ ${\ displaystyle \ textstyle t}$ ${\ displaystyle \ textstyle T \ geq t}$

{\ displaystyle \ beta (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} f (u, u) du}}

Mit dieser letzten Gleichung können wir den risikofreien Short Rate definieren. Das HJM-Framework geht davon aus, dass die Dynamik einer risikoneutralen Preismaßnahme wie folgt ist: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, t) \ triangleq r (t)}$ ${\ displaystyle \ textstyle f (t, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$

{\ displaystyle df (t, s) = \ mu (t, s) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) dW_ {t}}

Wo ist ein -dimensional Wiener Prozess und , werden Prozesse angepasst . Basierend auf dieser Dynamik für werden wir nun versuchen, die Dynamik für und die Bedingungen zu finden, die unter risikoneutralen Preisregeln erfüllt sein müssen. Definieren wir den folgenden Prozess: ${\ displaystyle \ textstyle W_ {t}}$ ${\ displaystyle \ textstyle d}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (u, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (u, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}} _ {u}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f}$ ${\ displaystyle \ textstyle P (t, s)}$

{\ displaystyle Y_ {t} \ triangleq \ log P (t, s) = - \ int _ {t} ^ {s} f (t, u) du}

Die Dynamik von kann durch Leibniz 'Regel erhalten werden : ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} & = f (t, t) dt- \ int _ {t} ^ {s} df (t, u) du \\ & = r_ {t} dt- \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) dtdu- \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t} du \ end { ausgerichtet}}}

Wenn wir definieren , und gehen davon aus, dass die Bedingungen für Satz von Fubini sind in der Formel erfüllt für die Dynamik , erhalten wir: ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) du}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) du}$ ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

{\ displaystyle dY_ {t} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}

Nach Itōs Lemma ist die Dynamik von dann: ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$

{\ displaystyle {\ frac {dP (t, s)} {P (t, s)}} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {* T} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}

Aber muss ein Martingal unter der Preismaßnahme sein , so dass wir das benötigen . Wenn wir dies in Bezug auf unterscheiden, erhalten wir: ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (t, s)} {\ beta (t)}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {* T}}$ ${\ displaystyle \ textstyle s}$