Brown-Peterson-Kohomologie - Brown–Peterson cohomology

In der Mathematik ist die Brown-Peterson-Kohomologie eine verallgemeinerte Kohomologie-Theorie, die von Edgar H. Brown und Franklin P. Peterson  ( 1966 ) in Abhängigkeit von der Wahl der Primzahl p eingeführt wurde . Es wird ausführlich von Douglas Ravenel  ( 2003 , Kapitel 4) beschrieben. Sein darstellendes Spektrum wird mit BP bezeichnet.

Komplexer Kobordismus und Quillens Idempotent

Die Brown-Peterson-Kohomologie BP ist ein Summand von MU _{( p )} , das ein komplexer Kobordismus- MU ist, der bei einer Primzahl p lokalisiert ist . Tatsächlich ist MU _(p) ein Keilprodukt von Suspensionen von BP.

Für jede Primzahl p zeigte Daniel Quillen , dass es eine eindeutige idempotente Abbildung von Ringspektren ε von MUQ _{( p )} zu sich selbst gibt, mit der Eigenschaft, dass ε([CP ⁿ ]) [CP ⁿ ] ist, falls n +1 eine Potenz von ist p und sonst 0. Das Spektrum BP ist das Abbild dieses idempotenten .

Struktur von BP

Der Koeffizientenring ist eine Polynomalgebra über Generatoren in Grad für . ${\displaystyle \pi_{*}({\text{BP}})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle 2(p^{n}-1)}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\text{BP}}_{*}({\text{BP}})}$isomorph zum Polynomring über mit Generatoren in Grad . ${\displaystyle \pi_{*}({\text{BP}})[t_{1},t_{2},\ldots]}$${\displaystyle \pi_{*}({\text{BP}})}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle {\text{BP}}_{2(p^{i}-1)}({\text{BP}})}$${\displaystyle 2(p^{i}-1)}$

Die Kohomologie des Hopf-Algebroids ist der Anfangsterm der Adams-Novikov-Spektralsequenz zur Berechnung p-lokaler Homotopiegruppen von Kugeln . ${\displaystyle (\pi_{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))}$

BP ist das universelle Beispiel einer komplexorientierten Kohomologietheorie, deren zugehöriges formales Gruppengesetz p-typisch ist.

Siehe auch

• Liste der Kohomologietheorien#Brown-Peterson-Kohomologie

Verweise

• Adams, J. Frank (1974), Stabile Homotopie und generalisierte Homologie , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Brown, Edgar H., Jr .; Peterson, Franklin P. (1966) : "Ein Spektrum , deren Z _p cohomology ist die Algebra der reduzierten p ^th Kräfte", Topologie , 5 (2): 149-154, doi : 10,1016 / 0040-9383 (66) 90015-2 , HERR  0192494.
• Quillen, Daniel (1969), "Über die formalen Gruppengesetze der unorientierten und komplexen Kobordismustheorie" (PDF) , Bulletin der American Mathematical Society , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969- 12401-8 , MR  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (2003), Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres (2. Aufl.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7
• Wilson, W. Stephen (1982), Brown-Peterson Homology: an Introduction and Sampler , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 48 , Washington, DC: Conference Board of the Mathematical Sciences, ISBN 978-0-8219-1699-5, HERR  0655040