Homotopie-Kugelgruppen - Homotopy groups of spheres

Illustration, wie eine 2-Kugel zweimal um eine andere 2-Kugel gewickelt werden kann. Kanten sollten identifiziert werden.

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie beschreiben die Homotopie-Kugelgruppen , wie sich Kugeln verschiedener Dimensionen umeinander wickeln können. Sie sind Beispiele für topologische Invarianten , die in algebraischer Hinsicht die Struktur von Kugeln widerspiegeln, die als topologische Räume betrachtet werden , wobei ihre genaue Geometrie vergessen wird. Im Gegensatz zu Homologiegruppen , die ebenfalls topologische Invarianten sind, sind die Homotopiegruppen überraschend komplex und schwer zu berechnen.

Die Hopf-Fibration ist eine nichttriviale Abbildung der 3-Sphäre auf die 2-Sphäre und erzeugt die dritte Homotopiegruppe der 2-Sphäre.

Dieses Bild ahmt einen Teil der Hopf-Fibration nach , eine interessante Abbildung von der dreidimensionalen Kugel zur zweidimensionalen Kugel. Diese Abbildung ist der Generator der dritten Homotopiegruppe der 2-Sphäre.

Die n -dimensionalen Einheit sphere - der genannte n -sphere der Kürze halber, und bezeichnet als S ⁿ - verallgemeinert die bekannte Kreis ( S ¹ ) und dem normalen Bereich ( S ² ). Die n- Kugel kann geometrisch als die Menge von Punkten in einem euklidischen Raum der Dimension n + 1 definiert werden, die sich in einem Einheitsabstand vom Ursprung befinden. Die i- te Homotopiegruppe π _i ( S ⁿ ) fasst die verschiedenen Wege zusammen, auf denen die i- dimensionale Sphäre S ⁱ kontinuierlich in die n- dimensionale Sphäre S ⁿ abgebildet werden kann . Diese Zusammenfassung unterscheidet nicht zwischen zwei Abbildungen, wenn eine kontinuierlich in die andere verformt werden kann ; daher werden nur Äquivalenzklassen von Abbildungen zusammengefasst. Eine für diese Äquivalenzklassen definierte "Additions"-Operation macht die Menge der Äquivalenzklassen zu einer abelschen Gruppe .

Das Problem der Bestimmung von π _i ( S ⁿ ) fällt in drei Bereiche, je nachdem, ob i kleiner, gleich oder größer als n ist .

• Für 0 < i < n ist jede Abbildung von S ⁱ auf S ⁿ homotop (dh kontinuierlich verformbar) zu einer konstanten Abbildung, dh einer Abbildung, die das gesamte S ⁱ auf einen einzigen Punkt von S ⁿ abbildet . Daher ist die Homotopiegruppe die triviale Gruppe .
• Wenn i = n ist , hat jede Abbildung von S ⁿ zu sich selbst einen Grad , der misst, wie oft die Kugel um sich selbst gewickelt ist. Dieser Grad identifiziert die Homotopiegruppe π _n ( S ⁿ ) mit der Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition. Zum Beispiel kann jeder Punkt auf einem Kreis kontinuierlich auf einen Punkt eines anderen Kreises abgebildet werden; Wenn der erste Punkt um den ersten Kreis herum bewegt wird, kann der zweite Punkt je nach der speziellen Abbildung mehrmals um den zweiten Kreis kreisen.
• Die interessantesten und überraschendsten Ergebnisse treten auf, wenn i > n ist . Die erste derartige Überraschung war die Entdeckung einer als Hopf-Fibration bezeichneten Abbildung, die die 3-Sphäre S ³ auf nicht triviale Weise um die gewöhnliche Sphäre S ² wickelt und somit nicht einer Ein-Punkt-Abbildung entspricht.

Die Frage der Berechnung der Homotopiegruppe π _{n + k} ( S ⁿ ) für positives k stellte sich als zentrale Frage der algebraischen Topologie heraus, die zur Entwicklung vieler ihrer grundlegenden Techniken beigetragen hat und als anregender Forschungsschwerpunkt gedient hat. Eine der wichtigsten Erkenntnisse ist , dass das Homotopiegruppen π _{n + k} ( S ⁿ ) sind unabhängig von n für n ≥ k + 2 . Diese werden als stabile Homotopie-Kugelgruppen bezeichnet und wurden für Werte von k bis 64 berechnet . Die stabilen Homotopie-Gruppen bilden den Koeffizientenring einer außergewöhnlichen Kohomologie-Theorie , die als stabile Kohomotopie-Theorie bezeichnet wird . Die instabilen Homotopiegruppen (für n < k + 2 ) sind unregelmäßiger; dennoch wurden sie für k < 20 tabelliert . Die meisten modernen Berechnungen verwenden Spektralsequenzen , eine Technik, die erstmals von Jean-Pierre Serre auf Homotopiegruppen von Kugeln angewendet wurde . Es wurden mehrere wichtige Muster festgestellt, doch vieles bleibt unbekannt und unerklärt.

Hintergrund

Die Untersuchung von Homotopiegruppen von Kugeln baut auf einer Menge Hintergrundmaterial auf, das hier kurz zusammengefasst wird. Die algebraische Topologie bietet den größeren Kontext, der selbst auf Topologie und abstrakter Algebra aufbaut , mit Homotopiegruppen als grundlegendem Beispiel.

n -Kugel

Eine gewöhnliche Kugel im dreidimensionalen Raum – die Oberfläche, nicht die feste Kugel – ist nur ein Beispiel dafür, was eine Kugel in der Topologie bedeutet. Die Geometrie definiert eine Kugel starr als Form. Hier sind ein paar alternativen.

• Implizite Oberfläche : x²
  ₀+ x²
  ₁+ x²
  ₂ = 1

Dies ist die Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum, die genau eine Einheit vom Ursprung entfernt gefunden werden. Sie wird aus den unten angegebenen Gründen die 2-Sphäre S ^{2 genannt} . Die gleiche Idee gilt für jede Dimension n ; die Gleichung x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²
_n= 1 erzeugt die n -Kugel als geometrisches Objekt im ( n + 1 )-dimensionalen Raum. Die 1-Kugel S ¹ ist beispielsweise ein Kreis .

• Scheibe mit kollabiertem Rand : geschrieben in Topologie als D ² / S ¹

Diese Konstruktion bewegt sich von der Geometrie zur reinen Topologie. Die Scheibe D ² ist der von einem Kreis eingeschlossene Bereich, beschrieben durch die Ungleichung x²
₀+ x²
₁≤ 1 , und sein Rand (oder " Rand ") ist der Kreis S ¹ , beschrieben durch die Gleichheit x²
₀+ x²
₁= 1 . Wenn ein Ballon punktiert und flach gespreizt wird, entsteht eine Scheibe; Diese Konstruktion repariert die Punktion, als würde man an einer Kordel ziehen. Der Schrägstrich , ausgesprochen "modulo", bedeutet, den topologischen Raum links (die Scheibe) zu nehmen und darin alle Punkte rechts (der Kreis) zu einem zusammenzufügen. Die Region ist 2-dimensional, weshalb die Topologie den resultierenden topologischen Raum eine 2-Sphäre nennt. Verallgemeinert, D ⁿ / S ^{n -1} erzeugt S ⁿ . Zum Beispiel D ¹ ist ein Liniensegment , und die Konstruktion verbindet sein Enden einen Kreis zu machen. Eine äquivalente Beschreibung ist, dass die Grenze einer n- dimensionalen Scheibe an einen Punkt geklebt wird, wodurch ein CW-Komplex entsteht .

• Aufhängung des Äquators : geschrieben in Topologie als Σ S ¹

Diese Konstruktion ist zwar einfach, aber von großer theoretischer Bedeutung. Nehmen Sie den Kreis S ¹ als Äquator und fegen Sie jeden Punkt auf ihm zu einem Punkt darüber (dem Nordpol), was die Nordhalbkugel erzeugt, und zu einem Punkt darunter (dem Südpol), was die Südhalbkugel erzeugt. Für jede positive ganze Zahl n ist die n- Sphäre x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²
_n= 1 hat als Äquator die ( n − 1 )-Sphäre x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²
_{n -1}= 1 , und die Suspension Σ S ^{n −1} erzeugt S ⁿ .

Einige Theorien erfordern die Auswahl eines festen Punkts auf der Kugel und nennen das Paar (Kugel, Punkt) eine spitze Kugel . Für einige Räume ist die Wahl wichtig, aber für eine Kugel sind alle Punkte äquivalent, so dass die Wahl eine Frage der Bequemlichkeit ist. Der Punkt (1, 0, 0, …, 0) , der auf dem Äquator aller Kugeln liegt, funktioniert gut für geometrische Kugeln; der (kollabierte) Rand der Scheibe ist eine weitere naheliegende Wahl.

Homotopiegruppe

Homotopie von zwei Kreiskarten mit festem Basispunkt

Hinzufügen von zwei Kreiskarten, die den Basispunkt festhalten

Das charakteristische Merkmal eines topologischen Raums ist seine Kontinuitätsstruktur, formalisiert in Form von offenen Mengen oder Nachbarschaften . Eine stetige Abbildung ist eine Funktion zwischen Räumen, die die Kontinuität bewahrt. Eine Homotopie ist ein kontinuierlicher Pfad zwischen stetigen Abbildungen; zwei Abbildungen, die durch eine Homotopie verbunden sind, heißen homotop. Die Idee, die all diesen Konzepten gemeinsam ist, besteht darin, Variationen zu verwerfen, die die interessierenden Ergebnisse nicht beeinflussen. Ein wichtiges praktisches Beispiel ist der Residuensatz der komplexen Analysis , wo "geschlossene Kurven" stetige Abbildungen vom Kreis in die komplexe Ebene sind, und wo zwei geschlossene Kurven das gleiche Integralergebnis liefern, wenn sie im topologischen Raum bestehend aus der Ebene homotop sind abzüglich der Singularitätspunkte.

Die erste Homotopiegruppe oder Fundamentalgruppe , π ₁ ( X ) ein ( Pfad verbunden ) topologischen Raum X beginnt also mit kontinuierlichen Karten von einem spitz zulauf Kreis ( S ¹ , s ) auf den zugespitzten Raum ( X , x ) , wo Karten von einem Paar zu einem anderen s in x abbilden . Diese Abbildungen (oder äquivalent geschlossene Kurven ) werden auf der Grundlage der Homotopie in Äquivalenzklassen gruppiert (wobei der "Basispunkt" x fest bleibt), so dass zwei Abbildungen in derselben Klasse sind, wenn sie homotop sind. So wie ein Punkt unterschieden wird, so wird auch eine Klasse unterschieden: alle Abbildungen (oder Kurven), die homotop zur konstanten Abbildung S ¹ ↦ x sind, heißen nullhomotop. Die Klassen werden mit der Einführung der Addition zu einer abstrakten algebraischen Gruppe , die über einen "Äquatorpinch" definiert wird. Diese Prise bildet den Äquator einer spitzen Kugel (hier ein Kreis) auf den ausgezeichneten Punkt ab, wodurch ein „ Kugelstrauß “ entsteht – zwei spitze Kugeln, die an ihrem ausgezeichneten Punkt verbunden sind. Die beiden hinzuzufügenden Karten bilden die oberen und unteren Kugeln getrennt ab, wobei sie sich auf den ausgezeichneten Punkt einigen, und die Komposition mit der Prise ergibt die Summenkarte.

Allgemeiner gesagt , die i -te Homotopiegruppe, π _i ( X ) beginnt mit dem spitzen i -sphere ( S ⁱ , s ) , und ansonsten die gleiche Prozedur folgt. Die Null-Homotop-Klasse fungiert als Identität der Gruppenaddition, und für X gleich S ⁿ (für positives n ) – die Homotopiegruppen von Kugeln – sind die Gruppen abelsch und endlich erzeugt . Wenn für einige i alle Abbildungen nullhomotop sind, dann besteht die Gruppe π _i aus einem Element und heißt triviale Gruppe .

Eine kontinuierliche Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen induziert einen Gruppenhomomorphismus zwischen den assoziierten Homotopiegruppen. Insbesondere wenn die Abbildung eine stetige Bijektion (ein Homöomorphismus ) ist, so dass die beiden Räume die gleiche Topologie haben, dann sind ihre i- ten Homotopiegruppen für alle i isomorph . Die reelle Ebene hat jedoch genau die gleichen Homotopiegruppen wie ein einzelner Punkt (wie ein euklidischer Raum beliebiger Dimension), und die reelle Ebene ohne Punkt hat die gleichen Gruppen wie ein Kreis, sodass Gruppen allein nicht ausreichen, um zu unterscheiden Räume. Obwohl der Verlust an Unterscheidungsvermögen bedauerlich ist, kann er auch bestimmte Berechnungen erleichtern.

Niedrigdimensionale Beispiele

Die niederdimensionalen Beispiele von Homotopie-Kugelgruppen vermitteln einen Sinn für das Thema, da diese Spezialfälle im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum visualisiert werden können ( Hatcher 2002 ). Solche Visualisierungen sind jedoch keine mathematischen Beweise und erfassen nicht die mögliche Komplexität von Karten zwischen Kugeln.

π ₁ ( S ¹ ) = z

Elemente von ${\displaystyle \scriptstyle \pi_{1}(S^{1})}$

Der einfachste Fall betrifft die Möglichkeiten, wie ein Kreis (1-Kugel) um einen anderen Kreis gewickelt werden kann. Dies kann visualisiert werden, indem man sich ein Gummiband um den Finger wickelt: Es kann einmal, zweimal, dreimal usw. gewickelt werden. Die Umhüllung kann in eine von zwei Richtungen erfolgen, und Umhüllungen in entgegengesetzte Richtungen heben sich nach einer Verformung auf. Die Homotopiegruppe π ₁ ( S ¹ ) ist daher eine unendliche zyklische Gruppe und isomorph zur Gruppe ℤ der ganzen Zahlen unter Addition: Eine Homotopieklasse wird mit einer ganzen Zahl identifiziert, indem man zählt, wie oft sich eine Abbildung in der Homotopieklasse umdreht Der Kreis. Diese ganze Zahl kann man sich auch als Windungszahl einer Schleife um den Ursprung in der Ebene vorstellen .

Die Identifizierung (ein Gruppenisomorphismus ) der Homotopiegruppe mit den ganzen Zahlen wird oft als Gleichheit geschrieben: also π ₁ ( S ¹ ) = ℤ .

π ₂ ( S ² ) = z

Illustration, wie eine 2-Kugel zweimal um eine andere 2-Kugel gewickelt werden kann. Kanten sollten identifiziert werden.

Abbildungen von einer 2-Sphäre zu einer 2-Sphäre können so visualisiert werden, dass man eine Plastiktüte um eine Kugel wickelt und sie dann verschließt. Der versiegelte Beutel entspricht topologisch einer 2-Kugel, ebenso wie die Oberfläche der Kugel. Die Tasche kann mehrmals gewickelt werden, indem sie verdreht und wieder über den Ball gewickelt wird. (Es ist nicht erforderlich, dass die kontinuierliche Karte injektiv ist, und daher kann der Beutel durch sich selbst hindurchgehen.) Die Drehung kann in eine von zwei Richtungen erfolgen und entgegengesetzte Drehungen können sich durch Verformung aufheben. Die Gesamtzahl der Drehungen nach der Aufhebung ist eine ganze Zahl, die als Grad der Abbildung bezeichnet wird. Wie bei den Fallabbildungen vom Kreis auf den Kreis identifiziert dieser Grad die Homotopiegruppe mit der Gruppe der ganzen Zahlen .

Diese beiden Ergebnisse verallgemeinern: für all n > 0 , π _n ( S ⁿ ) = z (siehe unten ).

π ₁ ( S ² ) = 0

Eine Homotopie von einem Kreis um eine Kugel bis zu einem einzigen Punkt

Jede kontinuierliche Abbildung von einem Kreis auf eine gewöhnliche Kugel kann kontinuierlich zu einer Einpunktabbildung verformt werden, und daher ist ihre Homotopieklasse trivial. Eine Möglichkeit, dies zu visualisieren, ist, sich ein Gummiband vorzustellen, das um einen reibungsfreien Ball gewickelt ist: Das Band kann immer vom Ball geschoben werden. Die Homotopiegruppe ist daher eine triviale Gruppe mit nur einem Element, dem Identitätselement, und kann daher mit der Untergruppe von ℤ identifiziert werden, die nur aus der Zahl Null besteht. Diese Gruppe wird oft mit 0 bezeichnet. Dies rigoros zu zeigen, erfordert jedoch aufgrund der Existenz raumfüllender Kurven mehr Sorgfalt .

Dieses Ergebnis lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Alle Zuordnungen von einer niedrigeren dimensionaler Kugel in eine Sphäre höherer Dimension sind ähnlich trivial: wenn i < n , dann π _i ( S ⁿ ) = 0 . Dies kann als Folge des zellulären Approximationssatzes gezeigt werden .

π ₂ ( S ¹ ) = 0

Alle interessanten Fälle von Homotopie-Kugelgruppen beinhalten Abbildungen von einer höherdimensionalen Kugel auf eine niederdimensionale. Leider ist das einzige leicht zu visualisierende Beispiel nicht interessant: Es gibt keine nicht trivialen Abbildungen von der gewöhnlichen Kugel auf den Kreis. Daher π ₂ ( S ¹ ) = 0 . Dies liegt daran, dass S ¹ die reelle Linie als universelle Abdeckung hat, die kontrahierbar ist (es hat den Homotopietyp eines Punktes). Da außerdem S ² einfach verbunden ist, kann durch das Hebekriterium jede Abbildung von S ² nach S ¹ zu einer Abbildung in die reelle Linie gehoben werden und die Nullhomotopie sinkt in den unteren Raum ab.

π ₃ ( S ² ) = z

Die Hopf-Fibration ist eine nichttriviale Abbildung der 3-Sphäre auf die 2-Sphäre und erzeugt die dritte Homotopiegruppe der 2-Sphäre. Jeder farbige Kreis wird dem entsprechenden Punkt auf der unten rechts gezeigten 2-Sphäre zugeordnet.

Das erste nichttriviale Beispiel mit i > n betrifft Abbildungen von der 3-Sphäre auf die gewöhnliche 2-Sphäre und wurde von Heinz Hopf entdeckt , der eine nichttriviale Abbildung von S ³ nach S ² konstruierte , die heute als Hopf-Fibration bekannt ist ( Hopf 1931 ). Diese Abbildung erzeugt die Homotopiegruppe π ₃ ( S ² ) = ℤ .

Geschichte

Im späten 19. Jahrhundert führte Camille Jordan den Begriff der Homotopie ein und verwendete den Begriff einer Homotopiegruppe, ohne die Sprache der Gruppentheorie zu verwenden ( O'Connor & Robertson 2001 ). Eine strengere Herangehensweise wurde von Henri Poincaré in seiner 1895 erschienenen Veröffentlichung Analysis situs gewählt, in der auch die verwandten Konzepte der Homologie und der Fundamentalgruppe eingeführt wurden ( O'Connor & Robertson 1996 ).

Höhere Homotopiegruppen wurden erstmals 1932 von Eduard Čech definiert ( Čech 1932 , S. 203). (Seine erste Arbeit wurde auf Anraten von Pavel Sergejewitsch Alexandrow und Heinz Hopf zurückgezogen, mit der Begründung, dass die Gruppen kommutativ seien und daher nicht die richtigen Verallgemeinerungen der Fundamentalgruppe sein könnten.) Witold Hurewicz wird auch die Einführung von Homotopiegruppen in . zugeschrieben seine Arbeit von 1935 und auch für den Satz von Hurewicz , mit dem einige der Gruppen berechnet werden können ( Mai 1999a ). Eine wichtige Methode zur Berechnung der verschiedenen Gruppen ist das Konzept der stabilen algebraischen Topologie, das dimensionsunabhängige Eigenschaften findet. Normalerweise gelten diese nur für größere Dimensionen. Das erste derartige Ergebnis war Hans Freudenthal ‚s Suspension Satz , 1937. Stabile algebraische Topologie veröffentlicht zwischen 1945 und 1966 mit vielen wichtigen Ergebnissen (blühte Mai 1999 a ). 1953 zeigte George W. Whitehead , dass es einen metastabilen Bereich für die Homotopie-Kugelgruppen gibt. Jean-Pierre Serre verwendete Spektralsequenzen, um zu zeigen, dass die meisten dieser Gruppen endlich sind, mit Ausnahme von π _n ( S ⁿ ) und π _{4 n −1} ( S ^{2 n} ) . Andere, die in diesem Bereich arbeiteten, waren José Adem , Hiroshi Toda , Frank Adams und J. Peter May . Die stabilen Homotopiegruppen π _{n + k} ( S ⁿ ) sind für k bis 64 bekannt und seit 2007 für größere k unbekannt ( Hatcher 2002 , Stable homotopy groups, S. 385–393).

Allgemeine Theorie

Wie bereits erwähnt, wenn i kleiner als n , π _i ( S ⁿ ) = 0 ist , die triviale Gruppe ( Hatcher 2002 ). Der Grund dafür ist, dass eine kontinuierliche Abbildung von einer i- Sphäre auf eine n- Sphäre mit i < n immer so verformt werden kann, dass sie nicht surjektiv ist . Folglich ist sein Bild in S ⁿ mit einem entfernten Punkt enthalten; dies ist ein kontrahierbarer Raum , und jede Abbildung auf einen solchen Raum kann in eine Ein-Punkt-Abbildung verformt werden.

Der Fall i = n wurde ebenfalls bereits erwähnt und ist eine einfache Konsequenz des Satzes von Hurewicz : Dieser Satz verbindet Homotopiegruppen mit Homologiegruppen , die im Allgemeinen einfacher zu berechnen sind; insbesondere zeigt sie, dass für einen einfach zusammenhängenden Raum X die erste von Null verschiedene Homotopiegruppe π _k ( X ) mit k > 0 isomorph zur ersten von Null verschiedenen Homologiegruppe H _k ( X ) ist . Für die n -sphere, dies impliziert sofort , daß für n ≥ 2 , π _n ( S ⁿ ) = H _n ( S ⁿ ) = z .

Die Homologiegruppen H _i ( S ⁿ ) mit i > n sind alle trivial. Es war daher historisch überraschend, dass die entsprechenden Homotopiegruppen im Allgemeinen nicht trivial sind. Dies ist der Fall, der von wirklicher Bedeutung ist: Die höheren Homotopiegruppen π _i ( S ⁿ ) für i > n sind überraschend komplex und schwer zu berechnen, und der Aufwand, sie zu berechnen, hat eine beträchtliche Menge neuer Mathematik hervorgebracht.

Tisch

Die folgende Tabelle gibt eine Vorstellung von der Komplexität der höheren Homotopiegruppen sogar für Kugeln der Dimension 8 oder weniger. In dieser Tabelle sind die Einträge entweder die triviale Gruppe 0, die unendliche zyklische Gruppe ℤ, endliche zyklische Gruppen der Ordnung n (geschrieben als ℤ _n ) oder direkte Produkte solcher Gruppen (geschrieben beispielsweise als ℤ ₂₄ ×ℤ ₃ oder ). Erweiterte Tabellen der Homotopiegruppen von Kugeln finden Sie am Ende des Artikels . ${\displaystyle \mathbb{Z}_{2}^{2}=\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}}$

Die ersten beiden Zeilen dieser Tabelle sind einfach. Die Homotopiegruppen & pgr; _i ( S ⁰ ) die 0-dimensionalen Kugel trivial ist für i > 0 , weil jeder Punkt von einer Basiskarte Konservieren i -sphere zu einer 0-Sphäre ist ein Ein-Punkt - Mapping. Ebenso sind die Homotopiegruppen π _i ( S ¹ ) der 1-Sphäre für i > 1 trivial , da der universelle Überdeckungsraum mit den gleichen höheren Homotopiegruppen kontrahierbar ist.

Jenseits dieser beiden Reihen scheinen die höheren Homotopiegruppen ( i > n ) chaotisch zu sein, aber tatsächlich gibt es viele Muster, einige offensichtlich und einige sehr subtil.

• Die Gruppen unterhalb der gezackten schwarzen Linie sind entlang der Diagonalen konstant (wie durch die rote, grüne und blaue Färbung angezeigt).
• Die meisten Gruppen sind endlich. Die einzigen unendlichen Gruppen befinden sich entweder auf der Hauptdiagonale oder direkt über der gezackten Linie (gelb hervorgehoben).
• Die dritten und vierte Zeilen der Tabelle sind der gleiche Ausgang in der dritten Spalte (dh π _i ( S ² ) = π _i ( S ³ ) für i ≥ 3 ). Dieser Isomorphismus wird durch die Hopf-Fibration S ³ → S ² induziert .
• Für und verschwinden die Homotopiegruppen nicht. Allerdings für .${\displaystyle n=2,3,4,5}$${\displaystyle i\geq n}$${\displaystyle \pi_{i}(S^{n})}$${\displaystyle \pi_{n+4}(S^{n})=0}$${\displaystyle n\geq 6}$

Diese Muster folgen aus vielen verschiedenen theoretischen Ergebnissen.

Stabile und instabile Gruppen

Die Tatsache, dass die Gruppen unterhalb der gezackten Linie in der obigen Tabelle entlang der Diagonalen konstant sind, erklärt sich aus dem Suspensionssatz von Hans Freudenthal , der impliziert, dass der Suspensionshomomorphismus von π _{n + k} ( S ⁿ ) zu π _{n + k +1} ( S ^{n +1} ) ist ein Isomorphismus für n > k + 1 . Die Gruppen π _{n + k} ( S ⁿ ) mit n > k + 1 heißen die stabilen Homotopie-Kugelgruppen und heißen π^S
_k: sie sind endliche abelsche Gruppen für k ≠ 0 und wurden in zahlreichen Fällen berechnet, obwohl das allgemeine Muster noch schwer fassbar ist. ( Hatcher 2002 , Stable homotopy groups, S. 385–393). Für n ≤ k +1 heißen die Gruppen die instabilen Homotopie-Kugelgruppen .

Hopf-Fasern

Die klassische Hopf- Faser ist ein Faserbündel :

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.\,\!}$

Die allgemeine Theorie der Faserbündel F → E → B zeigt, dass es eine lange exakte Folge von Homotopiegruppen gibt

${\displaystyle \cdots\to\pi_{i}(F)\to\pi_{i}(E)\to\pi_{i}(B)\to\pi_{i-1}(F )\zu \cdots .\,\!}$

Für dieses spezifische Bündel bildet jeder Gruppenhomomorphismus π _i ( S ¹ )→π _i ( S ³ ) , induziert durch die Inklusion S ¹ → S ³ , alle von π _i ( S ¹ ) auf Null ab, da die niederdimensionale Sphäre S ¹ kann bis zu einem Punkt innerhalb des höherdimensionalen S ³ verformt werden . Dies entspricht dem Verschwinden von π ₁ ( S ³ ) . Somit zerfällt die lange exakte Folge in kurze exakte Folgen ,

${\displaystyle 0\rightarrow \pi_{i}(S^{3})\rightarrow \pi_{i}(S^{2})\rightarrow \pi_{i-1}(S^{1} )\rightarrow 0.\,\!}$

Da S ^{n +1} eine Suspension von S ^{n ist} , werden diese Sequenzen durch den Suspensionshomomorphismus π _{i −1} ( S ¹ )→π _i ( S ² ) gespalten , was zu Isomorphismen

${\displaystyle \pi_{i}(S^{2})=\pi_{i}(S^{3})\oplus \pi_{i-1}(S^{1}).\, \!}$

Da π _{i −1} ( S ¹ ) für i mindestens 3 verschwindet , zeigt die erste Zeile, dass π _i ( S ² ) und π _i ( S ³ ) isomorph sind, wenn i mindestens 3 ist, wie oben beobachtet.

Die Hopf-Fibration kann wie folgt konstruiert werden: Paare komplexer Zahlen ( z ₀ , z ₁ ) mit | z ₀ | ² + | z ₁ | ² = 1 bilden eine 3-Sphäre, und ihre Verhältnisse z ₀ ⁄ z ₁ decken die komplexe Ebene plus unendlich ab , eine 2-Sphäre. Die Hopf-Abbildung S ³ → S ² sendet jedes solche Paar an sein Verhältnis.

Ebenso gibt es verallgemeinerte Hopf-Fibrationen

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}\,\!}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}\,\!}$

konstruiert unter Verwendung von Paaren von Quaternionen oder Oktonionen anstelle von komplexen Zahlen ( Hatcher 2002 ). Auch hier ist & pgr; ₃ ( S ⁷ ) und π ₇ ( S ¹⁵ ) sind Null. Somit brechen die langen exakten Folgen wieder in Familien von gespaltenen kurzen exakten Folgen auf, was zwei Familien von Relationen impliziert.

${\displaystyle \pi_{i}(S^{4})=\pi_{i}(S^{7})\oplus \pi_{i-1}(S^{3}),\, \!}$

${\displaystyle \pi_{i}(S^{8})=\pi_{i}(S^{15})\oplus \pi_{i-1}(S^{7}).\, \!}$

Die drei Fibrationen haben Grundraum S ⁿ mit n = 2 ^m , für m = 1, 2, 3 . Eine Fibration existiert für S ¹ ( m = 0 ), aber nicht für S ¹⁶ ( m = 4 ) und darüber hinaus. Obwohl Verallgemeinerungen der Beziehungen zu S ¹⁶ oft richtig sind, scheitern sie manchmal; zum Beispiel,

${\displaystyle \pi_{30}(S^{16})\neq \pi_{30}(S^{31})\oplus \pi_{29}(S^{15}).\,\ !}$

Somit kann es keine Fibration geben

${\displaystyle S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},\,\!}$

der erste nicht-triviale Fall des Problems der Hopf-Invariante eins, weil eine solche Fibration implizieren würde, dass die gescheiterte Beziehung wahr ist.

Gerahmter Kobordismus

Homotopiegruppen von Sphären sind eng mit Kobordismusklassen von Mannigfaltigkeiten verwandt. 1938 stellte Lev Pontryagin einen Isomorphismus zwischen der Homotopiegruppe π _{n + k} ( S ⁿ ) und der Gruppe Ω fest^gerahmtes
_k( S ^{n + k} ) des Kobordismus Klassen von differenzierbaren k -Untermannigfaltigkeiten von S ^{n + k,} die "gerahmt" sind, dh ein trivialisiertes Normalenbündel haben . Jede Abbildung ƒ : S ^{n + k} → S ⁿ ist homotop zu einer differenzierbaren Abbildung mit einer gerahmten k- dimensionalen Untermannigfaltigkeit. Zum Beispiel π _n ( S ⁿ ) = z ist die Gruppe von Kobordismus eingerahmt 0-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten von S ⁿ , durch die algebraische Summe ihrer Punkte berechnet wird , zu dem entsprechenden Grad von Karten . Die Projektion der Hopf-Fibration stellt einen Generator von π ₃ ( S ² ) = Ω${\displaystyle M^{k}=f^{-1}(1,0,\dots,0)\subset S^{n+k}}$${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle S^{3}\rightarrow S^{2}}$^gerahmt
₁( S ³ )=ℤ , was der gerahmten 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeit von S ^{3 entspricht,} die durch die Standardeinbettung mit einer nichtstandardisierten Trivialisierung des normalen 2-Ebenen-Bündels definiert wird. Bis zum Aufkommen komplexerer algebraischer Methoden in den frühen 1950er Jahren (Serre) war der Pontrjagin-Isomorphismus das Hauptwerkzeug zur Berechnung der Homotopiegruppen von Kugeln. 1954 wurde der Pontrjagin-Isomorphismus von René Thom zu einem Isomorphismus verallgemeinert, der andere Gruppen von Kobordismusklassen (zB aller Mannigfaltigkeiten) als Homotopiegruppen von Räumen und Spektren ausdrückt . In neueren Arbeiten wird das Argument normalerweise umgekehrt, wobei Kobordismus-Gruppen in Form von Homotopie-Gruppen berechnet werden ( Scorpan 2005 ). ${\displaystyle S^{1}\subset S^{3}}$

Endlichkeit und Torsion

1951 zeigte Jean-Pierre Serre , dass Homotopiegruppen von Kugeln alle endlich sind, außer denen der Form π _n ( S ⁿ ) oder π _{4 n −1} ( S ^{2 n} ) (für positives n ), wenn die Gruppe die Produkt der unendlichen zyklischen Gruppe mit einer endlichen abelschen Gruppe ( Serre 1951 ). Insbesondere werden die Homotopiegruppen durch ihre p- Komponenten für alle Primzahlen p bestimmt . Die 2-Komponenten sind am schwierigsten zu berechnen und verhalten sich in mehrfacher Hinsicht anders als die p -Komponenten für ungerade Primzahlen.

In der gleichen Arbeit fand Serre erster Linie , dass p -torsion in den Homotopiegruppen auftritt n dimensionalen Kugeln, die zeigen , dass durch π _{n + k} ( S ⁿ ) hat keine p - Torsions wenn k <2 p - 3 , und hat eine eindeutige Untergruppe der Ordnung p falls n ≥ 3 und k = 2 p − 3 . Etwas anders verhält es sich bei 2-dimensionalen Kugeln: Die erste p- Torsion tritt für k = 2 p − 3 + 1 auf . Bei ungerader Torsion gibt es genauere Ergebnisse; in diesem Fall gibt es einen großen Unterschied zwischen ungeraden und geraden dimensionalen Kugeln. Wenn p eine ungerade Primzahl ist und n = 2 i + 1 , dann Elemente der p - Komponente von π _{n + k} ( S ⁿ ) haben , um höchstens p ⁱ ( Cohen, Moore & Neisendorfer 1979 ). Dies ist in gewisser Weise das bestmögliche Ergebnis, da bekannt ist, dass diese Gruppen Elemente dieser Ordnung für einige Werte von k aufweisen ( Ravenel 2003 , S. 4). Außerdem kann der stabile Bereich in diesem Fall erweitert werden: Wenn n ungerade ist, dann ist die doppelte Aufhängung von π _k ( S ⁿ ) nach π _{k +2} ( S ^{n +2} ) ein Isomorphismus von p -Komponenten, wenn k < p ( n + 1) − 3 und ein Epimorphismus, wenn Gleichheit gilt ( Serre 1952 ). Die p -torsion der Zwischengruppe & pgr; _{k + 1} ( S ^{n + 1} ) kann streng größer sein.

Die obigen Ergebnisse zur ungeraden Torsion gelten nur für ungeraddimensionale Kugeln: Für geradzahlige Kugeln gibt die James-Fibration die Torsion bei ungeraden Primzahlen p in Bezug auf die ungeraddimensionaler Kugeln an,

${\displaystyle \pi_{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi_{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi_{ 2m+k}(S^{4m-1})(p)}$

(wobei ( p ) bedeutet, die p- Komponente zu nehmen) ( Ravenel 2003 , S. 25). Diese exakte Sequenz ist derjenigen ähnlich, die von der Hopf-Fibration kommt; der Unterschied besteht darin, dass es für alle gleichdimensionalen Kugeln funktioniert, wenn auch auf Kosten der 2-Torsion. Die Kombination der Ergebnisse für ungerade und gerade dimensionale Kugeln zeigt, dass ein Großteil der ungeraden Torsion instabiler Homotopiegruppen durch die ungerade Torsion der stabilen Homotopiegruppen bestimmt wird.

Für stabile Homotopiegruppen gibt es genauere Ergebnisse zur p- Torsion. Wenn zum Beispiel k < 2 p ( p − 1) − 2 für eine Primzahl p ist, dann ist die p -Primärkomponente der stabilen Homotopiegruppe π^S
_kverschwindet, es sei denn, k + 1 ist durch 2( p − 1) teilbar , in diesem Fall ist es zyklisch der Ordnung p ( Fuks 2001 ) . Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFFuks2001 ( Hilfe )

Der J-Homomorphismus

Eine wichtige Untergruppe von π _{n + k} ( S ⁿ ) , für k ≥ 2 , ist das Bild des J-Homomorphismus J : π _k (SO( n )) → π _{n + k} ( S ⁿ ) , wobei SO( n ) bezeichnet die spezielle orthogonale Gruppe ( Adams 1966 ). Im stabilen Bereich n ≥ k +2 hängen die Homotopiegruppen π _k (SO( n )) nur von k (mod 8) ab . Dieses Muster der Periode 8 ist als Bott-Periodizität bekannt und spiegelt sich in den stabilen Homotopiegruppen von Kugeln über das Bild des J- Homomorphismus wider, der lautet:

• eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 , wenn k ist deckungsgleich mit 0 oder 1 modulo 8;
• trivial, wenn k kongruent zu 2, 4, 5 oder 6 modulo 8 ist; und
• eine zyklische Gruppe der Ordnung zum Nenner des Gleich B _{2 m} / 4 m , wobei B _{2 m} a Bernoulli - Zahl , wenn k = 4 m - 1 ≡ 3 (mod 4) .

Dieser letzte Fall entfallen die Elemente der ungewöhnlich großer endlicher Ordnung in π _{n + k} ( S ⁿ ) für solche Werte von k . Zum Beispiel haben die stabilen Gruppen π _{n +11} ( S ⁿ ) eine zyklische Untergruppe der Ordnung 504, den Nenner von B ₆ ⁄ 12 = 1 ⁄ 504 .

Die stabilen Homotopie-Kugelgruppen sind die direkte Summe des Bildes des J- Homomorphismus und der Kern der Adams- e- Invariante, ein Homomorphismus dieser Gruppen zu ℚ/ℤ . Grob gesagt ist das Bild des J- Homomorphismus die Untergruppe der "gut verstandenen" oder "einfachen" Elemente der stabilen Homotopiegruppen. Diese gut verstandenen Elemente machen die meisten Elemente der stabilen Homotopie-Kugelgruppen in kleinen Dimensionen aus. Der Quotient von π^S
_neinnach dem Bild des J- Homomorphismus gilt er als der "harte" Teil der stabilen Homotopie-Kugelgruppen ( Adams 1966 ). (Adams führte auch Elemente bestimmter Ordnung 2 μ _n von π^S
_neinfür n ≡ 1 oder 2 (mod 8) , und diese gelten auch als "gut verstanden".) Tabellen von Homotopiegruppen von Kugeln lassen manchmal den "einfachen" Teil im( J ) weg , um Platz zu sparen.

Ringstruktur

Die direkte Summe

${\displaystyle \pi_{\ast}^{S}=\bigoplus_{k\geq 0}\pi_{k}^{S}}$

der stabilen Homotopiegruppen von Kugeln ist ein superkommutativer abgestufter Ring , bei dem die Multiplikation durch die Zusammensetzung der darstellenden Karten gegeben ist und jedes Element mit einem Grad ungleich Null nilpotent ist ( Nishida 1973 ); der Nilpotenzsatz über den komplexen Kobordismus impliziert den Satz von Nishida.

Beispiel: Wenn η der Generator von π . ist^S
₁(der Ordnung 2), dann ist η ² ungleich Null und erzeugt π^S
₂, und η ³ ist ungleich Null und 12 mal ein Generator von π^S
₃, während η ⁴ null ist, weil die Gruppe π^S
₄ ist trivial.

Falls f und g und h Elemente von π . sind^S
_*mit f g = 0 und g ⋅ h = 0 gibt es eine Toda-Klammer 〈f,g,h〉 dieser Elemente ( Toda 1962 ). Die Toda-Klammer ist nicht ganz ein Element einer stabilen Homotopiegruppe, da sie nur bis zur Addition von Produkten bestimmter anderer Elemente definiert ist. Hiroshi Toda verwendete das Zusammensetzungsprodukt und die Toda-Klammern, um viele der Elemente von Homotopiegruppen zu kennzeichnen. Es gibt auch höhere Toda-Klammern aus mehreren Elementen, die definiert werden, wenn geeignete niedrigere Toda-Klammern verschwinden. Dies entspricht der Theorie der Massey-Produkte in der Kohomologie . Jedes Element der stabilen Homotopiegruppen von Kugeln kann unter Verwendung von Zusammensetzungsprodukten und höheren Toda-Klammern in Bezug auf bestimmte bekannte Elemente, die als Hopf-Elemente bezeichnet werden, ausgedrückt werden ( Cohen 1968 ).

Rechenmethoden

Wenn X ein endlicher simplizialer Komplex mit endlicher Fundamentalgruppe ist, insbesondere wenn X eine Kugel der Dimension mindestens 2 ist, dann sind seine Homotopiegruppen alle endlich erzeugte abelsche Gruppen . Um diese Gruppen zu berechnen, werden sie oft in ihre p- Komponenten für jede Primzahl p faktorisiert und jede dieser p- Gruppen separat berechnet . Die ersten paar Homotopiegruppen von Kugeln können unter Verwendung von Ad-hoc-Variationen der obigen Ideen berechnet werden; darüber hinaus basieren die meisten Methoden zur Berechnung von Homotopiegruppen von Kugeln auf Spektralsequenzen ( Ravenel 2003 ). Dies geschieht normalerweise durch Konstruieren geeigneter Fibrationen und Nehmen der zugehörigen langen exakten Sequenzen von Homotopiegruppen; Spektralsequenzen sind eine systematische Möglichkeit, die komplizierten Informationen, die dieser Prozess erzeugt, zu organisieren.

• "Die Methode zum Töten von Homotopiegruppen" nach Cartan und Serre ( 1952a , 1952b ) beinhaltet die wiederholte Verwendung des Hurewicz-Theorems , um die erste nicht-triviale Homotopiegruppe zu berechnen und sie dann mit einer Fibration zu töten (eliminiert), die einen Eilenberg-MacLane-Raum einschließt . Im Prinzip ergibt dies einen effektiven Algorithmus zum Berechnen aller Homotopiegruppen eines endlichen einfach zusammenhängenden simplizialen Komplexes, aber in der Praxis ist er zu umständlich, um etwas anderes als die ersten paar nichttrivialen Homotopiegruppen zu berechnen, da der simpliziale Komplex jedes Mal viel komplizierter wird man tötet eine Homotopiegruppe.
• Die Serre-Spektralsequenz wurde von Serre verwendet, um einige der zuvor erwähnten Ergebnisse zu beweisen. Er nutzte die Tatsache, dass das Nehmen des Schleifenraums eines Raumes mit gutem Verhalten alle Homotopiegruppen um 1 nach unten verschiebt, sodass die n- te Homotopiegruppe eines Raums X die erste Homotopiegruppe seines ( n −1 )-fach wiederholten Schleifenraums ist , die gleich der ersten Homologiegruppe des ( n −1 )-fachen Schleifenraums nach dem Satz von Hurewicz ist. Dies reduziert die Berechnung von Homotopiegruppen von X auf die Berechnung von Homologiegruppen seiner wiederholten Schleifenräume. Die Serre-Spektralsequenz bezieht die Homologie eines Raums auf die seines Schleifenraums und kann daher manchmal verwendet werden, um die Homologie von Schleifenräumen zu berechnen. Die Serre-Spektralsequenz neigt dazu, viele von Null verschiedene Differenzen aufzuweisen, die schwer zu kontrollieren sind, und zu viele Mehrdeutigkeiten treten für Gruppen mit höherer Homotopie auf. Folglich wurde es durch leistungsfähigere Spektralsequenzen mit weniger von Null verschiedenen Differenzen ersetzt, die mehr Informationen liefern.
• Die EHP-Spektralsequenz kann verwendet werden, um viele Homotopiegruppen von Kugeln zu berechnen; es basiert auf einigen Fibrationen, die Toda in seinen Berechnungen von Homotopiegruppen verwendet hat ( Mahowald 2001 , Toda 1962 ).harvnb-Fehler: kein Ziel: CITEREFMahowald2001 ( Hilfe )
• Die klassische Adams-Spektralfolge hat den E ₂ -Term, der durch die Ext-Gruppen Ext . gegeben ist^,∗
  _{A ( p )}(ℤ _p ,ℤ _p ) über der mod p Steenrod-Algebra A ( p ) und konvergiert gegen etwas, das eng mit der p- Komponente der stabilen Homotopiegruppen verwandt ist. Die anfänglichen Terme der Adams-Spektralsequenz sind selbst ziemlich schwer zu berechnen: Dies geschieht manchmal unter Verwendung einer Hilfsspektralsequenz, die als May-Spektralsequenz bezeichnet wird ( Ravenel 2003 , S. 67–74).
• Bei den ungeraden Primzahlen ist die Adams-Novikov-Spektralsequenz eine leistungsfähigere Version der Adams-Spektralsequenz, die die gewöhnliche Kohomologie mod p durch eine verallgemeinerte Kohomologietheorie ersetzt, wie den komplexen Kobordismus oder, üblicher, einen Teil davon namens Brown-Peterson-Kohomologie . Der Anfangsterm ist wiederum recht schwer zu berechnen; dazu kann man die chromatische Spektralsequenz verwenden ( Ravenel 2003 , Kapitel 5).

Borromäische Ringe

• Eine Variation dieses letzten Ansatzes verwendet eine Rückwärtsversion der Adams-Novikov-Spektralsequenz für die Brown-Peterson-Kohomologie: Der Grenzwert ist bekannt, und die anfänglichen Terme beinhalten unbekannte stabile Homotopiegruppen von Kugeln, die man zu finden versucht ( Kochman (1990) ).

• Die motivische Adams-Spektralfolge konvergiert zu den motivischen stabilen Homotopie-Kugelgruppen. Durch den Vergleich der motivischen über die komplexen Zahlen mit der klassischen liefert Isaksen einen strengen Beweis für Berechnungen bis zum 59-Stamm ( Isaksen (2019) ). Insbesondere berechnet Isaksen, dass Coker J des 56-Stamms 0 ist, und daher hat die Kugel S ⁵⁶ nach der Arbeit von Kervaire-Milnor eine einzigartige glatte Struktur.

• Die Kahn-Priddy-Karte induziert eine Karte von Adams-Spektralsequenzen vom Suspensionsspektrum des unendlichen realen projektiven Raums bis zum Kugelspektrum. Es ist surjektiv auf der Seite von Adams E ₂ über positive Stämme. Wang und Xu entwickeln eine Methode, die die Kahn-Priddy-Abbildung verwendet, um Adams-Differentiale für das Kugelspektrum induktiv abzuleiten ( Wang & Xu (2017) ). Sie liefern detaillierte Argumente für mehrere Adams-Differentiale und berechnen den 60- und 61-Stamm. Eine geometrische Folge ihres Ergebnisses ist, dass die Kugel S ⁶¹ eine einzigartige glatte Struktur hat, und sie ist die letzte ungerade Dimension – die einzigen sind S ¹ , S ³ , S ⁵ und S ⁶¹ .

• Die motivische Kofaser der τ- Methode ist bisher die effizienteste Methode bei der Primzahl 2. Die Klasse τ ist eine Abbildung zwischen motivischen Sphären. Der Satz von Gheorghe--Wang--Xu identifiziert die motivische Adams-Spektralfolge für die Kofaser von τ als die algebraische Novikov-Spektralfolge für BP _* , was es erlaubt, motivische Adams-Differentiale für die Kofaser von τ aus rein algebraischen Daten abzuleiten . Man kann diese motivischen Adams-Differentiale dann in die motivische Sphäre zurückziehen und dann den Betti-Realisierungsfunktor verwenden, um sie in die klassische Sphäre vorzuschieben. Mit dieser Methode berechnen Isaksen, Wang & Xu (2020) bis zum 90-Stamm.

Die Berechnung der Homotopiegruppen von S ² wurde auf eine Frage der kombinatorischen Gruppentheorie reduziert . Berricket al. (2006) identifizieren diese Homotopiegruppen als bestimmte Quotienten der Brunnschen Geflechtgruppen von S ² . Unter dieser Korrespondenz kann jedes nichttriviale Element in π _n ( S ² ) für n > 2 durch ein Brunnsches Geflecht über S ² repräsentiert werden, das über der Scheibe D ² nicht brunnisch ist . Zum Beispiel entspricht die Hopf-Abbildung S ³ → S ² den Borromäischen Ringen .

Anwendungen

• Die Windungszahl (entspricht einer ganzen Zahl von π ₁ ( S ¹ ) = ℤ) kann verwendet werden, um den fundamentalen Satz der Algebra zu beweisen , der besagt, dass jedes nichtkonstante komplexe Polynom eine Nullstelle hat.
• Die Tatsache, dass π _{n −1} ( S ^{n −1} ) = ℤ impliziert den Fixpunktsatz von Brouwer, dass jede stetige Abbildung von der n -dimensionalen Kugel auf sich selbst einen Fixpunkt hat.
• Die stabilen Homotopie-Kugelgruppen sind wichtig in der Singularitätstheorie , die die Struktur singulärer Punkte glatter Karten oder algebraischer Varietäten untersucht . Solche Singularitäten entstehen als kritische Punkte der glatten Karten von r ^m bis r ⁿ . Die Geometrie in der Nähe eines kritischen Punktes einer solchen Abbildung kann durch ein Element von π _{m −1} ( S ^{n −1} ) beschrieben werden , indem man die Art und Weise betrachtet, wie eine kleine m − 1 Kugel um den kritischen Punkt in ein topologisches n − 1 Kugel um den kritischen Wert .
• Die Tatsache, dass die dritte stabile Homotopiegruppe von Kugeln zyklisch der Ordnung 24 ist, die zuerst von Vladimir Rokhlin bewiesen wurde , impliziert den Satz von Rokhlin , dass die Signatur einer kompakten glatten Spin- 4-Mannigfaltigkeit durch 16 teilbar ist ( Scorpan 2005 ).
• Stabile Homotopie-Kugelgruppen werden verwendet, um die Gruppe Θ _n der h-Kobordismusklassen der orientierten Homotopie- n- Kugeln zu beschreiben (für n ≠ 4 ist dies die Gruppe der glatten Strukturen auf n- Kugeln, bis hin zum orientierungserhaltenden Diffeomorphismus; die nicht-triviale Elemente dieser Gruppe werden durch exotische Kugeln repräsentiert ). Genauer gesagt gibt es eine injektive Karte

${\displaystyle \Theta_{n}/bP_{n+1}\to \pi_{n}^{S}/J,\,\!}$

wobei bP _{n +1} die zyklische Untergruppe ist, die durch Homotopiekugeln repräsentiert wird, die eine parallelisierbare Mannigfaltigkeit begrenzen , π^S
_neinist die n- te stabile Homotopiegruppe von Kugeln, und J ist das Bild des J- Homomorphismus . Dies ist ein Isomorphismus, es sei denn, n hat die Form 2 ^k −2 , in diesem Fall hat das Bild den Index 1 oder 2 ( Kervaire & Milnor 1963 ).

• Die obigen Gruppen Θ _n und damit die stabilen Homotopie- Kugelgruppen werden bei der Klassifizierung möglicher glatter Strukturen auf einer topologischen oder stückweise linearen Mannigfaltigkeit verwendet ( Scorpan 2005 ).
• Das Problem der Kervaire-Invariante über die Existenz von Mannigfaltigkeiten der Kervaire-Invariante 1 in den Dimensionen 2 ^k − 2 lässt sich auf die Frage nach stabilen Homotopie-Kugelgruppen zurückführen. Zum Beispiel wurde das Wissen über stabile Homotopiegruppen bis zum Grad 48 verwendet, um das Problem der Kervaire-Invariante in der Dimension 2 ⁶ − 2 = 62 zu lösen ( Barratt, Jones & Mahowald 1984 ). (Dies war der kleinste Wert von k, für den die Frage zu diesem Zeitpunkt offen war.)
• Das Barratt-Priddy-Theorem besagt, dass die stabilen Homotopiegruppen der Kugeln durch die Plus-Konstruktion ausgedrückt werden können, die auf den Klassifikationsraum der symmetrischen Gruppe angewendet wird , was zu einer Identifizierung der K-Theorie des Feldes mit einem Element mit stabiler Homotopie führt Gruppen ( Deitmar 2006 ).

Tabelle der Homotopiegruppen

Tabellen Homotopiegruppen von Kugeln werden am zweckmäßigsten organisiert zeigt π _{n + k} ( S ⁿ ) .

Die folgende Tabelle zeigt viele der Gruppen π _{n + k} ( S ⁿ ) . (Diese Tabellen basieren auf der Tabelle der Homotopiegruppen von Kugeln in Toda (1962) .) Die stabilen Homotopiegruppen sind blau hervorgehoben, die instabilen rot. Jede Homotopiegruppe ist das Produkt der zyklischen Gruppen der in der Tabelle angegebenen Ordnungen nach den folgenden Konventionen:

• Der Eintrag "⋅" bezeichnet die triviale Gruppe.
• Wo der Eintrag eine ist ganze Zahl , m , die homotopy Gruppe ist die cyclische Gruppe dieser Ordnung ( in der Regel geschrieben z _m ).
• Wo der Eintrag ∞, die Homotopiegruppe ist die unendliche zyklische Gruppe , z .
• Wenn der Eintrag ein Produkt ist, ist die Homotopiegruppe das kartesische Produkt (entsprechend der direkten Summe ) der zyklischen Gruppen dieser Ordnungen. Potenzen weisen auf wiederholte Produkte hin. (Beachten Sie, dass , wenn ein und b haben keinen gemeinsamen Faktor , z _a × z _b ist isomorph zu z _ab .)

Beispiel : π ₁₉ ( S ¹⁰ ) = π _{9 + 10} ( S ¹⁰ ) = z × z ₂ × z ₂ × z ₂ , das durch gekennzeichnet ist ∞⋅2 ³ in der Tabelle.

Tabelle der stabilen Homotopiegruppen

Die stabilen Homotopiegruppen π _k sind das Produkt zyklischer Gruppen der in der Tabelle gezeigten unendlichen oder Primzahl-Potenzordnungen. (Aus weitgehend historischen Gründen werden stabile Homotopiegruppen normalerweise als Produkte zyklischer Gruppen erster Potenzordnung angegeben, während Tabellen instabiler Homotopiegruppen sie oft als Produkte der kleinsten Anzahl zyklischer Gruppen angeben.) Die Hauptkomplexität liegt in der 2- , 3-, und 5-Komponenten: für p > 5 werden die p -Komponenten im Bereich der Tabelle durch den J -Homomorphismus berücksichtigt und sind zyklisch von der Ordnung p, wenn 2( p −1) k +1 teilt und 0 sonst ( Fuks 2001 ) . (Die 2-Komponenten finden sich in Isaksen, Wang & Xu (2020) und die 3- und 5-Komponenten in Ravenel (2003) .) Das Mod-8-Verhalten der Tabelle kommt von der Bott-Periodizität über den J-Homomorphismus . dessen Bild unterstrichen ist. Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFFuks2001 ( Hilfe )

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