Schwerpunkte in ungleichmäßigen Feldern - Centers of gravity in non-uniform fields

In der Physik ist ein Schwerpunkt eines materiellen Körpers ein Punkt, der für eine zusammenfassende Beschreibung von Gravitationswechselwirkungen verwendet werden kann. In einem gleichförmigen Gravitationsfeld , das Massenzentrum dient als das Zentrum der Schwerkraft. Dies ist eine sehr gute Annäherung für kleinere Körper in der Nähe der Erdoberfläche, so dass es in den meisten Anwendungen wie Technik und Medizin praktisch nicht erforderlich ist, "Schwerpunkt" von "Schwerpunkt" zu unterscheiden.

In einem ungleichmäßigen Feld können Gravitationseffekte wie potentielle Energie , Kraft und Drehmoment nicht mehr nur mit dem Schwerpunkt berechnet werden. Insbesondere kann ein ungleichmäßiges Gravitationsfeld ein Drehmoment auf ein Objekt erzeugen, sogar um eine Achse durch den Schwerpunkt. Der Schwerpunkt versucht diesen Effekt zu erklären. Formal ist ein Schwerpunkt ein Anwendungspunkt der resultierenden Gravitationskraft auf den Körper. Ein solcher Punkt existiert möglicherweise nicht, und wenn er existiert, ist er nicht eindeutig. Man kann ferner einen eindeutigen Schwerpunkt definieren, indem man das Feld entweder parallel oder sphärisch symmetrisch approximiert.

Das Konzept eines Schwerpunkts im Unterschied zum Schwerpunkt wird in Anwendungen selten verwendet, selbst in der Himmelsmechanik , wo ungleichmäßige Felder wichtig sind. Da der Schwerpunkt vom äußeren Feld abhängt, ist seine Bewegung schwerer zu bestimmen als die Bewegung des Massenschwerpunkts. Die übliche Methode zum Umgang mit Gravitationsdrehmomenten ist eine Feldtheorie.

Massezentrum

Eine Möglichkeit, den Schwerpunkt eines Körpers zu definieren, besteht darin, als eindeutiger Punkt im Körper, falls vorhanden, die folgende Anforderung zu erfüllen: Es gibt kein Drehmoment um den Punkt für eine Positionierung des Körpers in dem Kraftfeld, in dem er sich befindet ist plaziert. Dieser Schwerpunkt liegt nur vor, wenn die Kraft gleichmäßig ist. In diesem Fall fällt sie mit dem Schwerpunkt zusammen. Dieser Ansatz geht auf Archimedes zurück .

Schwerpunkte in einem Feld

Wenn ein Körper von einem ungleichmäßigen äußeren Gravitationsfeld betroffen ist, kann man manchmal einen Schwerpunkt relativ zu diesem Feld definieren, der als Punkt fungiert, an dem die Gravitationskraft angewendet wird. Lehrbücher wie The Feynman Lectures on Physics charakterisieren den Schwerpunkt als einen Punkt, um den es kein Drehmoment gibt. Mit anderen Worten ist der Schwerpunkt ein Angriffspunkt für die resultierende Kraft. Unter dieser Formulierung wird der Schwerpunkt r _cg als ein Punkt definiert, der die Gleichung erfüllt

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} \ times \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {\ tau}},}$

wobei F und τ die Gesamtkraft und das Drehmoment auf den Körper aufgrund der Schwerkraft sind.

Eine Komplikation bezüglich r _cg ist, dass seine definierende Gleichung im Allgemeinen nicht lösbar ist. Wenn F und τ nicht orthogonal sind , gibt es keine Lösung; Die Schwerkraft hat keine Resultierende und kann zu keinem Zeitpunkt durch eine einzige Kraft ersetzt werden. Es gibt einige wichtige Sonderfälle, in denen F und τ garantiert orthogonal sind, z. B. wenn alle Kräfte in einer Ebene liegen oder auf einen einzelnen Punkt ausgerichtet sind.

Wenn die Gleichung lösbar ist, gibt es eine weitere Komplikation: Ihre Lösungen sind nicht eindeutig. Stattdessen gibt es unendlich viele Lösungen; Die Menge aller Lösungen ist als Wirkungslinie der Kraft bekannt. Diese Linie ist parallel zu dem Gewicht F . Im Allgemeinen gibt es keine Möglichkeit, einen bestimmten Punkt als eindeutigen Schwerpunkt zu wählen. In einigen speziellen Fällen kann immer noch ein einzelner Punkt ausgewählt werden, z. B. wenn das Gravitationsfeld parallel oder sphärisch symmetrisch ist. Diese Fälle werden nachstehend betrachtet.

Parallele Felder

Ein Teil der Inhomogenität in einem Gravitationsfeld kann durch ein variables, aber paralleles Feld modelliert werden: g ( r ) = g ( r ) n , wobei n ein konstanter Einheitsvektor ist. Obwohl ein ungleichmäßiges Gravitationsfeld nicht genau parallel sein kann, kann diese Annäherung gültig sein, wenn der Körper ausreichend klein ist. Der Schwerpunkt kann dann als ein bestimmter gewichteter Durchschnitt der Orte der Partikel definiert werden, aus denen der Körper besteht. Während der Schwerpunkt über der Masse jedes Partikels liegt, liegt der Schwerpunkt über dem Gewicht jedes Partikels:

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} = {\ frac {1} {W}} \ sum _ {i} w_ {i} \ mathbf {r} _ {i},}$

Dabei ist w _i das (skalare) Gewicht des i- ten Partikels und W das (skalare) Gesamtgewicht aller Partikel. Diese Gleichung hat immer eine eindeutige Lösung und ist in der Parallelfeldnäherung mit der Drehmomentanforderung kompatibel.

Eine häufige Illustration betrifft den Mond auf dem Gebiet der Erde . Nach der Definition des gewichteten Durchschnitts hat der Mond einen Schwerpunkt, der niedriger (näher an der Erde) liegt als sein Massenschwerpunkt, da sein unterer Teil stärker von der Erdschwerkraft beeinflusst wird.

Sphärisch symmetrische Felder

Wenn das äußere Gravitationsfeld sphärisch symmetrisch ist, entspricht es dem Feld einer Punktmasse M im Symmetriezentrum r . In diesem Fall kann der Schwerpunkt als der Punkt definiert werden, an dem die Gesamtkraft auf den Körper durch das Newtonsche Gesetz gegeben ist :

${\ displaystyle {\ frac {GmM (\ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} - \ mathbf {r})} {| \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} - \ mathbf {r } | ^ {3}}} = \ mathbf {F},}$

Dabei ist G die Gravitationskonstante und m die Masse des Körpers. Solange die Gesamtkraft ungleich Null ist, hat diese Gleichung eine einzigartige Lösung und erfüllt die Drehmomentanforderungen. Ein bequemes Merkmal dieser Definition ist, dass, wenn der Körper selbst kugelsymmetrisch ist, r _cg in seinem Massenschwerpunkt liegt. Im Allgemeinen nähert sich der Schwerpunkt mit zunehmendem Abstand zwischen r und dem Körper dem Schwerpunkt.

Eine andere Möglichkeit, diese Definition zu betrachten, besteht darin, das Gravitationsfeld des Körpers zu betrachten. dann ist r _cg die offensichtliche Quelle der Anziehungskraft für einen Beobachter, der sich bei r befindet . Aus diesem Grund wird r _cg manchmal als der Schwerpunkt von M relativ zum Punkt r bezeichnet .

Verwendung

Die oben definierten Schwerpunkte sind keine Fixpunkte am Körper; Sie ändern sich vielmehr, wenn sich die Position und Ausrichtung des Körpers ändert. Diese Eigenschaft macht es schwierig, mit dem Schwerpunkt zu arbeiten, so dass das Konzept wenig praktischen Nutzen hat.

Wenn ein Gravitationsdrehmoment berücksichtigt werden muss, ist es einfacher, die Schwerkraft als eine im Massenmittelpunkt wirkende Kraft plus ein orientierungsabhängiges Paar darzustellen . Letzteres lässt sich am besten erreichen, indem das Gravitationspotential als Feld behandelt wird .

Anmerkungen

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