Klassische Wahrscheinlichkeitsdichte - Classical probability density

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Klassische Mechanik
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Zweites Bewegungsgesetz
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v T e

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , die die Wahrscheinlichkeit darstellt, ein Teilchen in der Nähe eines bestimmten Ortes zu finden, der einer potentiellen Energie in einem klassischen mechanischen System unterliegt . Diese Wahrscheinlichkeitsdichten sind hilfreich, um Einblicke in das Korrespondenzprinzip zu gewinnen und Verbindungen zwischen dem untersuchten Quantensystem und dem klassischen Grenzwert herzustellen .

Mathematischer Hintergrund

Betrachten Sie das Beispiel eines einfachen harmonischen Oszillators, der anfänglich mit der Amplitude A ruht . Angenommen, dieses System befindet sich in einem lichtdichten Behälter, so dass man es nur mit einer Kamera betrachten kann, die nur eine Momentaufnahme von dem macht, was darin passiert. Jeder Schnappschuss hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit, den Oszillator an jeder möglichen Position x entlang seiner Flugbahn zu sehen. Die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte kapselt, welche Positionen wahrscheinlicher sind, welche weniger wahrscheinlich, die durchschnittliche Position des Systems usw. Um diese Funktion abzuleiten, bedenken Sie, dass die Positionen, an denen der Oszillator am wahrscheinlichsten gefunden wird, die Positionen sind, an denen der Oszillator die meiste Zeit verbringt. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem bestimmten x- Wert zu sein, proportional zu der Zeit, die in der Nähe dieses x- Werts verbracht wird. Verbringt der Oszillator eine infinitesimale Zeit dt in der Nähe dx eines gegebenen x -Wertes, dann ist die Wahrscheinlichkeit P ( x ) dx , sich in dieser Nähe zu befinden

${\displaystyle P(x)\,dx\propto dt.}$

Da die auf den Oszillator wirkende Kraft konservativ ist und die Bewegung über einen endlichen Bereich erfolgt, ist die Bewegung zyklisch mit einer gewissen Periode, die als T bezeichnet wird . Da die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Oszillator an einer beliebigen Position zwischen dem minimal möglichen x -Wert und dem maximal möglichen x -Wert befindet, gleich 1 sein muss, ist die Normierung

${\displaystyle \int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_ {f}}dt}$

verwendet, wobei N die Normierungskonstante ist. Da der Ball diesen Positionsbereich in der Hälfte seiner Periode abdeckt (eine volle Periode geht von − A zu + A dann zurück zu − A ), ist das Integral über t gleich T /2 , was N auf 2/ T setzt .

Unter Verwendung der Kettenregel kann dt als Höhe des Verweilens des Balls ausgedrückt werden, indem man feststellt, dass dt = dx /( dx / dt ) ist , sodass unsere Wahrscheinlichkeitsdichte zu wird

${\displaystyle P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\ frac {dx}{v(x)}},}$

wobei v ( x ) die Geschwindigkeit des Oszillators als Funktion seiner Position ist. (Beachten Sie, dass v ( x ) für beide Halbperioden gleich ist, da Geschwindigkeit ein Skalar ist.) An diesem Punkt ist es lediglich erforderlich, eine Funktion v ( x ) bereitzustellen , um P ( x ) zu erhalten . Bei Systemen, die konservativen Kräften unterliegen, geschieht dies durch das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Energie. Da kinetische Energie K ist 1 / 2 mv ² und die Gesamtenergie E = K + U , wobei U ( x ) die potentielle Energie des Systems ist, wodurch man

${\displaystyle v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[EU(x)]}}.}$

Setzen wir dies in unseren Ausdruck für P ( x ) ein, ergibt sich

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{EU(x)}}}.}$

Obwohl unser Ausgangsbeispiel der harmonische Oszillator war, war die gesamte Mathematik bis zu diesem Punkt für ein Teilchen, das einer konservativen Kraft unterliegt, völlig allgemein. Diese Formel kann für jedes eindimensionale physikalische System verallgemeinert werden, indem man die entsprechende potentielle Energiefunktion einsetzt. Sobald dies geschehen ist, wird P ( x ) leicht für jede erlaubte Energie E erhalten .

Beispiele

Einfacher harmonischer Oszillator

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des n = 30- Zustands des harmonischen Quantenoszillators. Die durchgezogene Darstellung repräsentiert die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte, während die gestrichelte Linie die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte repräsentiert. Die gestrichelten vertikalen Linien zeigen die klassischen Wendepunkte des Systems an.

Ausgehend von dem in der obigen Ableitung verwendeten Beispiel hat der einfache harmonische Oszillator die potentielle Energiefunktion

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},}$

wobei k die Federkonstante des Oszillators und ω = 2 π / T das ist natürliche Winkelfrequenz des Oszillators. Die Gesamtenergie des Oszillators ergibt sich aus der Auswertung von U ( x ) an den Wendepunkten x = ± A . Setzt man dies in den Ausdruck für P ( x ) ein, erhält man

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{\pi}}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.}$

Diese Funktion hat zwei vertikale Asymptoten an den Wendepunkten, was physikalisch sinnvoll ist, da die Wendepunkte dort sind, wo der Oszillator ruht, und daher höchstwahrscheinlich in der Nähe dieser x- Werte gefunden werden. Beachten Sie, dass, obwohl die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegen Unendlich tendiert, die Wahrscheinlichkeit aufgrund der Fläche unter der Kurve und nicht der Kurve selbst, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, immer noch endlich ist.

Flummi

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen des Quanten- (rot) und des klassischen (schwarzen) Quanten-Hüpfballs für n = 50 . Der Wendepunkt ist hier mit z _{n bezeichnet} (was in diesem Abschnitt als h bezeichnet wird ).

Für den verlustfreien springenden Ball sind die potentielle Energie und die Gesamtenergie

${\displaystyle U(z)=mgz,}$

${\displaystyle E=mgh,}$

wobei h die maximale Höhe ist, die der Ball erreicht. Einsetzen dieser in P ( z ) ergibt

${\displaystyle P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {hz}}},}$

wobei die Beziehung verwendet wurde, um die Faktoren im Voraus zu vereinfachen. Die Domäne dieser Funktion ist (die Kugel fällt nicht durch den Boden bei z = 0 ), also ist die Verteilung nicht symmetrisch wie beim einfachen harmonischen Oszillator. Auch hier liegt am Wendepunkt z = h eine vertikale Asymptote vor . ${\displaystyle T={\sqrt {8h/g}}}$${\displaystyle z\in [0,h]}$

Impuls-Raum-Verteilung

Neben der Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Ortsraum ist es auch hilfreich, ein System anhand seines Impulses zu charakterisieren. Nach einem ähnlichen Argument wie oben lautet das Ergebnis

${\displaystyle P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},}$

wobei F ( x ) = − dV / dx die auf das Teilchen wirkende Kraft als Funktion des Ortes ist. In der Praxis muss diese Funktion mit dem Impuls p durch Variablenänderung ausgedrückt werden.

Einfacher harmonischer Oszillator

Am Beispiel des einfachen harmonischen Oszillators oben kann die potentielle Energie und Kraft geschrieben werden als

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}$

${\displaystyle |F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kV(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})} }.}$

Identifiziert man √ 2 mE = p ₀ als maximalen Impuls des Systems, vereinfacht sich dies zu

${\displaystyle P(p)={\frac {1}{\pi}}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.}$

Beachten Sie, dass dies dieselbe funktionale Form wie die Ortsraum-Wahrscheinlichkeitsverteilung hat. Dies ist spezifisch für das Problem des einfachen harmonischen Oszillators und entsteht aufgrund der Symmetrie zwischen x und p in den Bewegungsgleichungen.

Flummi

Das Beispiel des springenden Balls ist einfacher, da in diesem Fall die Kraft eine Konstante ist,

${\displaystyle F(x)=mg,}$

ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ für }}|p|< p_{0},}$

wobei p ₀ = m √ 2 gh der maximale Impuls der Kugel ist. In diesem System sind alle Impulse gleich wahrscheinlich.

Siehe auch

Verweise