Cole-Cole-Gleichung - Cole–Cole equation

Die Cole-Cole-Gleichung ist ein Relaxationsmodell , das häufig verwendet wird, um die dielektrische Relaxation in Polymeren zu beschreiben .

Es ist gegeben durch die Gleichung

${\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega)=\varepsilon_{\infty}+{\frac {\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha}}}}$

wo das ist komplexer Dielektrizitätskonstante , und sind die „statisch“ und „unendliche Frequenz“ Dielektrizitätskonstanten, ist die Winkelfrequenz und eine Zeitkonstante ist . ${\displaystyle\varepsilon^{*}}$${\displaystyle \varepsilon_{s}}$${\displaystyle \varepsilon_{\infty}}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle \tau}$

Der Exponentenparameter , der einen Wert zwischen 0 und 1 annimmt, ermöglicht die Beschreibung verschiedener Spektralformen. Wenn wird das Cole-Cole-Modell auf das Debye -Modell reduziert . Wann wird die Entspannung gedehnt . Das heißt, sie erstreckt sich auf einer logarithmischen Skala über einen breiteren Bereich als die Debye-Relaxation. ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle\omega}$

Die Trennung der komplexen Dielektrizitätskonstante wurde in der Originalarbeit von Cole und Cole wie folgt beschrieben: ${\displaystyle\varepsilon (\omega)}$

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon_{\infty}+(\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}){\frac {1+(\omega\tau)^{1-\alpha} \sin\alpha\pi/2}{1+2(\omega\tau)^{1-\alpha}\sin\alpha\pi/2+(\omega\tau)^{2(1-\alpha) }}}}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty})(\omega\tau)^{1-\alpha}\cos\alpha\pi/2} {1+2(\omega\tau)^{1-\alpha}\sin\alpha\pi/2+(\omega\tau)^{2(1-\alpha)}}}}$

Bei Einführung hyperbolischer Funktionen reduzieren sich die obigen Ausdrücke auf:

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon_{\infty}+{\frac {1}{2}}(\varepsilon_{0}-\varepsilon_{\infty})\left[1-{\frac { \sinh((1-\alpha)x)}{\cosh((1-\alpha)x)+\sin(\alpha\pi/2)}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon_{0}-\varepsilon_{\infty}){\frac {\cos(\alpha \pi /2)}{ \cosh((1-\alpha)x)+\sin(\alpha\pi/2)}}}$

Hier . ${\displaystyle x=\ln(\omega\tau)}$

Diese Gleichungen reduzieren sich auf den Debye-Ausdruck, wenn . ${\displaystyle \alpha =0}$

Die Cole-Cole-Relaxation stellt einen Spezialfall der Havriliak-Negami-Relaxation dar, wenn der Symmetrieparameter , dh die Relaxationspeaks symmetrisch sind. Ein weiterer Sonderfall der Havriliak-Negami-Entspannung, bei dem und ist als Cole-Davidson-Entspannung bekannt . Eine verkürzte und aktualisierte Übersicht über die anomale dielektrische Relaxation in ungeordneten Systemen findet sich bei Kalmykov. ${\displaystyle \beta=1}$${\displaystyle \beta <1}$${\displaystyle \alpha=1}$

Verweise

Weiterlesen

• Cole, KS; Cole, RH (1941). „Dispersion und Absorption in Dielektrika I. Alternating Current Characteristics“. Zeitschrift für Chemische Physik . 9 (4): 341–352. Bibcode : 1941JChPh...9..341C . doi : 10.1063.1.1750906 .
• Cole, KS; Cole, RH (1942). „Dispersion und Absorption in Dielektrika II. Gleichstromeigenschaften“. Zeitschrift für Chemische Physik . 10 (2): 98–105. Bibcode : 1942JChPh..10...98C . doi : 10.1063.1.1723677 .
• Kalmykov, YP; Coffey, WT; Crothers, DSF; Titow, SV (2004). „Mikroskopische Modelle für die dielektrische Relaxation in ungeordneten Systemen“. Physical Review E . 70 (4): 041103. Bibcode : 2004PhRvE..70d1103K . doi : 10.1103/PhysRevE.70.041103 . PMID  15600393 .