Kipptheorie - Tilting theory

In der Mathematik , insbesondere der Darstellungstheorie , beschreibt die Kipptheorie eine Möglichkeit, die Modulkategorien zweier Algebren mit sogenannten Kippmodulen und zugehörigen Kippfunktoren in Beziehung zu setzen . Hier ist die zweite Algebra die Endomorphismusalgebra eines Kippmoduls über der ersten Algebra.

Kipp - Theorie wurde durch die Einführung der Reflexion motiviert functors von Joseph Bernstein , Israel Gelfand und VA Ponomarev ( 1973 ); diese Funktoren wurden verwendet, um Darstellungen von zwei Köchern in Beziehung zu setzen . Diese Funktoren wurden von Maurice Auslander , María Inés Platzeck und Idun Reiten  ( 1979 ) umformuliert und von Sheila Brenner und Michael CR Butler ( 1980 ) verallgemeinert , die Kippfunktoren einführten. Als weitere Verallgemeinerungen haben Dieter Happel und Claus Michael Ringel ( 1982 ) Tilted Algebren und Tiling Modules definiert.

Definitionen

Angenommen, A ist eine endlichdimensionale unitale assoziative Algebra über einem Körper . Ein endlich erzeugter rechter A -Modul T heißt Kippmodul, wenn er die folgenden drei Eigenschaften besitzt:

• T hat höchstens eine projektive Dimension 1, dh es ist ein Quotient eines projektiven Moduls durch einen projektiven Untermodul.
• Ext¹
  _A( T , T ) = 0.
• Der rechte A- Modul A ist der Kern eines surjektiven Morphismus zwischen endlichen direkten Summen direkter Summanden von T .

Bei einem solchen Kippmodul definieren wir die Endomorphismusalgebra B  = End _A ( T ). Dies ist eine weitere endlichdimensionale Algebra, und T ist ein endlich erzeugter linker B- Modul. Die Kippfunktionen Hom _A ( T ,−), Ext¹
_A( T ,−), −⊗ _B T und Tor^B
₁(−, T ) beziehen die Kategorie mod- A endlich erzeugter rechter A- Module auf die Kategorie mod- B endlich erzeugter rechter B- Module.

In der Praxis betrachtet man oft erbliche endlichdimensionale Algebren A, weil die Modulkategorien über solche Algebren ziemlich gut verstanden sind. Die Endomorphismusalgebra eines Kippmoduls über einer erblichen endlichdimensionalen Algebra wird als Kippalgebra bezeichnet .

Fakten

Angenommen, A ist eine endlichdimensionale Algebra, T ist ein Kippmodul über A und B  = End _A ( T ). Schreiben Sie F =Hom _A ( T ,−), F′ =Ext¹
_A( T ,−), G =−⊗ _B T und G′ =Tor^B
₁(–, T ). F ist rechtsadjungiert zu G und F′ ist rechtsadjungiert zu G′ .

Brenner & Butler (1980) zeigten, dass Kippfunktoren Äquivalenzen zwischen bestimmten Unterkategorien von mod- A und mod- B ergeben . Konkret, wenn wir die beiden Unterkategorien und von A -mod und die beiden Unterkategorien und von B -mod definieren, dann ist ein Torsionspaar in A -mod (dh und sind maximale Unterkategorien mit der Eigenschaft ; dies impliziert, dass jedes M in A -mod lässt eine natürliche kurze exakte Folge mit U in und V in zu und ist ein Torsionspaar in B -mod. Weiterhin ergeben die Restriktionen der Funktoren F und G inverse Äquivalenzen zwischen und , während die Restriktionen von F′ und G′ inverse Äquivalenzen zwischen und ergeben . (Beachten Sie, dass diese Äquivalenzen die Reihenfolge der Torsionspaare und ändern .) ${\displaystyle {\mathcal{F}}=\ker(F)}$${\displaystyle {\mathcal{T}}=\ker(F')}$${\displaystyle {\mathcal{X}}=\ker(G)}$${\displaystyle {\mathcal{Y}}=\ker(G')}$${\displaystyle ({\mathcal{T}},{\mathcal{F}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0}$${\displaystyle 0\nach U\nach M\nach V\nach 0}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle ({\mathcal{X}},{\mathcal{Y}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal{Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal{X}}}$${\displaystyle ({\mathcal{T}},{\mathcal{F}})}$${\displaystyle ({\mathcal{X}},{\mathcal{Y}})}$

Die Kipptheorie kann als eine Verallgemeinerung der Morita-Äquivalenz angesehen werden, die wiederhergestellt wird, wenn T ein projektiver Generator ist ; in diesem Fall und . ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B}$

Wenn A eine endliche globale Dimension hat , dann hat B auch eine endliche globale Dimension, und die Differenz von F und F' induziert eine Isometrie zwischen den Grothendieck-Gruppen K ₀ ( A ) und K ₀ ( B ).

Falls A erblich ist (dh B ist eine gekippte Algebra), beträgt die globale Dimension von B höchstens 2, und das Torsionspaar teilt sich, dh jedes unzerlegbare Objekt von B -mod ist entweder in oder in . ${\displaystyle ({\mathcal{X}},{\mathcal{Y}})}$${\displaystyle {\mathcal{X}}}$${\displaystyle {\mathcal{Y}}}$

Happel (1988) und Cline, Parshall & Scott (1986) zeigten, dass A und B im Allgemeinen äquivalent sind (dh die abgeleiteten Kategorien D ^b ( A -mod) und D ^b ( B -mod) sind als triangulierte Kategorien äquivalent ).

Verallgemeinerungen und Erweiterungen

Ein verallgemeinerter Kippmodul über der endlichdimensionalen Algebra A ist ein rechter A -Modul T mit den folgenden drei Eigenschaften:

• T hat endliche projektive Dimension.
• Ext^ich
  _A( T , T ) = 0 für alle i > 0.
• Es gibt eine exakte Folge, bei der die T _i endliche direkte Summen von direkten Summanden von T sind .${\displaystyle 0\to A\to T_{1}\to\dots\to T_{n}\to 0}$

Diese verallgemeinerten Kippmodule liefern auch abgeleitete Äquivalenzen zwischen A und B , wobei B = End _A ( T ).

Rickard (1989) erweiterte die Ergebnisse zur abgeleiteten Äquivalenz, indem er bewies, dass zwei endlichdimensionale Algebren R und S genau dann äquivalent sind, wenn S die Endomorphismusalgebra eines "Kippkomplexes" über R ist . Kippkomplexe sind Verallgemeinerungen von generalisierten Kippmodulen. Eine Version dieses Satzes gilt für beliebige Ringe R und S .

Happel, Reiten & Smalø (1996) definierten Kippobjekte in erblichen abelschen Kategorien, in denen alle Hom- und Ext-Räume über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k endlichdimensional sind . Die Endomorphismus-Algebren dieser Kippobjekte sind die Quasi-Neigealgebren , eine Verallgemeinerung von Kippalgebren. Die quasi-gekippten Algebren über k sind genau die endlichdimensionalen Algebren über k der globalen Dimension ≤ 2, so dass jeder unzerlegbare Modul entweder eine projektive Dimension ≤ 1 oder eine injektive Dimension ≤ 1 hat. Happel (2001) klassifizierte die erblichen abelschen Kategorien, die auftreten können in obiger Konstruktion.

Colpi & Fuller (2007) definiert Kippobjekte T in einer beliebigen abelschen Kategorie C ; ihre Definition erfordert, dass C die direkten Summen beliebiger (möglicherweise unendlicher) Kopien von T enthält , also ist dies keine direkte Verallgemeinerung der oben betrachteten endlich-dimensionalen Situation. Bei einem solchen Kippobjekt mit Endomorphismusring R bilden sie Kippfunktoren, die Äquivalenzen zwischen einem Torsionspaar in C und einem Torsionspaar in R- Mod, der Kategorie aller R- Module, liefern.

Aus der Theorie der Cluster-Algebren stammt die Definition der Cluster-Kategorie (von Buan et al. (2006) ) und der Cluster-Tilted-Algebra ( Buan, Marsh & Reiten (2007) ), die mit einer erblichen Algebra A assoziiert ist . Eine Cluster-Tilted-Algebra entsteht aus einer Tilt-Algebra als bestimmtes semidirektes Produkt , und die Cluster-Kategorie von A fasst alle Modul-Kategorien der Cluster-Tilted-Algebra zusammen, die sich aus A ergeben .

Verweise