Kristall (Mathematik) - Crystal (mathematics)
In der Mathematik Kristalle sind cartesianischen Abschnitte bestimmter fibered Kategorien . Sie wurden von Alexander Grothendieck ( 1966a ) eingeführt, der sie Kristalle nannte, weil sie in gewissem Sinne "starr" sind und "wachsen". Insbesondere quasikohärente Kristalle über dem kristallinen Zentrum sind analog zu quasikohärenten Modulen über einem Schema .
Ein Isokristall ist ein Kristall bis zur Isogenie. Sie sind p- adische Analoga von Q l- adischen étale- Garben , eingeführt von Grothendieck (1966a) und Berthelot und Ogus ( 1983 ) (obwohl die Definition von Isokristallen nur in Teil II dieser Arbeit von Ogus (1984) erscheint ). Konvergente Isokristalle sind eine Variation von Isokristallen, die über nicht-perfekten Feldern besser funktionieren, und überkonvergente Isokristalle sind eine weitere Variation im Zusammenhang mit überkonvergenten Kohomologietheorien.
Ein Dieudonné-Kristall ist ein Kristall mit Verschiebung und Frobenius-Karten. Ein F-Kristall ist eine Struktur in der semilinearen Algebra, die etwas mit Kristallen verwandt ist.
Kristalle über den infinitesimalen und kristallinen Stellen
Der unendlich kleinen Ort Inf ( X / S ) hat als die unendlich kleine Erweiterungen von offenen Mengen von Objekten X . Wenn X ein Schema über S ist, dann ist die Garbe O X / S definiert durch O X / S ( T ) = Koordinatenring von T , wobei wir T als Abkürzung für ein Objekt U → T von Inf( X / S ) schreiben . Garben an dieser Stelle wachsen in dem Sinne, dass sie von offenen Mengen zu infinitesimalen Erweiterungen von offenen Mengen erweitert werden können.
Ein Kristall auf der Stelle Inf( X / S ) ist ein Bündel F von O X / S- Modulen, das im folgenden Sinne starr ist :
- für jede Abbildung f zwischen Objekten T , T ′ von Inf( X / S ) ist die natürliche Abbildung von f * F ( T ) nach F ( T ′) ein Isomorphismus.
Dies ähnelt der Definition eines quasikohärenten Modulbündels in der Zariski-Topologie.
Ein Beispiel für einen Kristall ist die Garbe O X / S .
Kristalle auf der kristallinen Stelle werden auf ähnliche Weise definiert.
Kristalle in Faserkategorien
Im Allgemeinen, wenn E eine Faserkategorie über F ist , dann ist ein Kristall ein kartesischer Abschnitt der Faserkategorie. In dem speziellen Fall, wenn F die Kategorie infinitesimaler Erweiterungen eines Schemas X und E die Kategorie quasikohärenter Module über Objekte von F ist , dann sind Kristalle dieser faserigen Kategorie dieselben wie Kristalle des infinitesimalen Ortes.
Verweise
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