Kurvenskizze - Curve sketching

Diagramm der Funktion 3 x ³ -5 x ² +8 (schwarz) und ihrer ersten (9 x ² -10 x , rot) und zweiten (18 x -10, blau) Ableitungen . Ein x- Wert, bei dem der y- Wert der roten oder blauen Kurve verschwindet (zu 0 wird), führt zu einem lokalen Extremum (markiert mit "HP", "TP") oder einem Wendepunkt ("WP") der schwarze Kurve.

In der Geometrie sind Kurvenskizzen (oder Kurvenverfolgungen ) Techniken, um anhand der Gleichung eine grobe Vorstellung von der Gesamtform einer ebenen Kurve zu erhalten, ohne die große Anzahl von Punkten zu berechnen, die für ein detailliertes Diagramm erforderlich sind. Es ist eine Anwendung der Kurventheorie, um ihre Hauptmerkmale zu finden.

Grundtechniken

Folgendes ist normalerweise einfach durchzuführen und gibt wichtige Hinweise auf die Form einer Kurve:

• Bestimmen Sie die x- und y- Abschnitte der Kurve. Die x- Abschnitte werden gefunden, indem y in der Gleichung der Kurve auf 0 gesetzt und nach x aufgelöst wird . In ähnlicher Weise werden die y- Abschnitte gefunden, indem x in der Gleichung der Kurve gleich 0 gesetzt und nach y aufgelöst wird .
• Bestimmen Sie die Symmetrie der Kurve. Wenn der Exponent von x in der Gleichung der Kurve immer gerade ist, ist die y- Achse eine Symmetrieachse für die Kurve. In ähnlicher Weise ist die x- Achse eine Symmetrieachse für die Kurve , wenn der Exponent von y in der Gleichung der Kurve immer gerade ist. Wenn die Summe der Grade von x und y in jedem Term immer gerade oder immer ungerade ist, ist die Kurve symmetrisch zum Ursprung und der Ursprung wird als Mittelpunkt der Kurve bezeichnet.
• Bestimmen Sie alle Grenzen für die Werte von x und y .
• Wenn die Kurve durch den Ursprung verläuft, bestimmen Sie dort die Tangentenlinien. Bei algebraischen Kurven kann dies erreicht werden, indem alle bis auf die Terme niedrigster Ordnung aus der Gleichung entfernt und gelöst werden.
• In ähnlicher Weise ergibt das Entfernen aller Terme außer der höchsten Ordnung aus der Gleichung und das Lösen die Punkte, an denen die Kurve im Unendlichen auf die Linie trifft .
• Bestimmen Sie die Asymptoten der Kurve. Bestimmen Sie auch, von welcher Seite sich die Kurve den Asymptoten nähert und wo die Asymptoten die Kurve schneiden.
• Setzen Sie die erste und zweite Ableitung mit 0 gleich, um die stationären Punkte bzw. Wendepunkte zu finden . Wenn die Gleichung der Kurve nicht explizit für x oder y gelöst werden kann , erfordert das Finden dieser Ableitungen eine implizite Differenzierung .

Newtons Diagramm

Das Newtonsche Diagramm ( nach Isaac Newton auch als Newtonsches Parallelogramm bekannt ) ist eine Technik zur Bestimmung der Form einer algebraischen Kurve nahe und weit vom Ursprung entfernt. Es besteht aus der Darstellung (α, β) für jeden Term Ax ^α y ^β in der Kurvengleichung. Das resultierende Diagramm wird dann analysiert, um Informationen über die Kurve zu erhalten.

Zeichnen Sie insbesondere eine diagonale Linie, die zwei Punkte im Diagramm verbindet, sodass jeder zweite Punkt entweder auf oder rechts und darüber liegt. Es gibt mindestens eine solche Linie, wenn die Kurve durch den Ursprung verläuft. Die Gleichung der Linie sei q α + p β = r . Angenommen, die Kurve wird in der Nähe des Ursprungs durch y = Cx ^{p / q} angenähert . Dann ist der Term Ax ^{& agr;} y ^{& bgr} ; ungefähr Dx ^& agr ^{; + &} bgr ^{; p / q} . Der Exponent ist r / q, wenn (α, β) auf der Linie liegt, und höher, wenn er über und rechts liegt. Daher sind die signifikanten Begriffe in der Nähe des Ursprungs unter dieser Annahme nur diejenigen, die auf der Linie liegen, und die anderen können ignoriert werden; Es wird eine einfache Näherungsgleichung für die Kurve erstellt. Es kann mehrere solcher diagonalen Linien geben, die jeweils einem oder mehreren Zweigen der Kurve entsprechen, und die ungefähren Gleichungen der Zweige können gefunden werden, indem dieses Verfahren nacheinander auf jede Linie angewendet wird.

Zum Beispiel wird das Folium von Descartes durch die Gleichung definiert

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} -3axy = 0 \,}$.

Dann hat Newtons Diagramm Punkte bei (3, 0), (1, 1) und (0, 3). Es können zwei diagonale Linien wie oben beschrieben gezeichnet werden, 2α + β = 3 und α + 2β = 3. Diese produzieren

${\ displaystyle x ^ {2} -3ay = 0 \,}$

${\ displaystyle y ^ {2} -3ax = 0 \,}$

als ungefähre Gleichungen für die horizontalen und vertikalen Zweige der Kurve, wo sie sich am Ursprung kreuzen.

Das analytische Dreieck

De Gua erweiterte Newtons Diagramm, um eine Technik zu bilden, die als analytisches Dreieck (oder de Guas Dreieck ) bezeichnet wird. Die Punkte (α, β) werden wie bei der Newtonschen Diagrammmethode aufgetragen, aber die Linie α + β = n , wobei n der Grad der Kurve ist, wird addiert, um ein Dreieck zu bilden, das das Diagramm enthält. Diese Methode berücksichtigt alle Linien, die das kleinste konvexe Polygon begrenzen, das die eingezeichneten Punkte enthält (siehe konvexe Hülle ).

Anwendungen

• Optimieren Sie die Verfolgung in der Fluiddynamik

Siehe auch

• Kurve
• Ort
• Algebraische Kurve
• Übergeordnete Funktion
• Numerische Fortsetzung
• Marschwürfel
• Grenzverfolgung
• Dreiecksstreifen

Verweise

• Hilton, Harold (1920). "Kapitel III: Kurvenverfolgung". Flugzeugalgebraische Kurven . Oxford.
• Frost, Percival (1918). Eine elementare Abhandlung über die Kurvenverfolgung . MacMillan.

Externe Links

• Trenogin, VA (2001) [1994], "Newton-Diagramm" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press