Dichte auf einer Mannigfaltigkeit - Density on a manifold

In der Mathematik und insbesondere in der Differentialgeometrie ist eine Dichte eine räumlich variierende Größe auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , die auf intrinsische Weise integriert werden kann. Abstrakt ist eine Dichte ein Abschnitt eines bestimmten Linienbündels , das als Dichtebündel bezeichnet wird . Ein Element des Dichtebündels bei x ist eine Funktion, die dem Parallelotop ein Volumen zuweist, das von den n gegebenen Tangentenvektoren bei x überspannt wird .

Aus betrieblicher Sicht ist eine Dichte eine Sammlung von Funktionen in Koordinatendiagrammen, die bei der Änderung der Koordinaten mit dem Absolutwert der Jacobi-Determinante multipliziert werden . Dichten können in s- Dichten verallgemeinert werden , deren Koordinatendarstellungen mit der s- ten Potenz des Absolutwerts der jakobischen Determinante multipliziert werden. Auf einer orientierten Mannigfaltigkeit können 1-Dichten kanonisch mit den n- Formen auf M identifiziert werden . Bei nicht orientierbaren Verteilern kann diese Identifizierung nicht vorgenommen werden, da das Dichtebündel das Tensorprodukt des Orientierungsbündels von M und das n- te äußere Produktbündel von T ^∗ M ist (siehe Pseudotensor ).

Motivation (Dichten in Vektorräumen)

Im Allgemeinen gibt es kein natürliches Konzept eines "Volumens" für ein Parallelotop, das durch die Vektoren v ₁ , ..., v _n in einem n- dimensionalen Vektorraum V erzeugt wird . Wenn man jedoch eine Funktion μ definieren möchte  : V × ... × V → R , die einem solchen Parallelotop ein Volumen zuweist, sollte es die folgenden Eigenschaften erfüllen:

• Wenn einer der Vektoren v _k mit λ ∈ R multipliziert wird , sollte das Volumen mit | multipliziert werden λ |.
• Wenn eine lineare Kombination der Vektoren v ₁ , ..., v _{j - 1} , v _{j + 1} , ..., v _n zum Vektor v _j addiert wird , sollte das Volumen unveränderlich bleiben.

Diese Bedingungen entsprechen der Aussage, dass μ durch ein translatorisch invariantes Maß für V gegeben ist , und können wie folgt umformuliert werden

${\ displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ left | \ det A \ right | \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V).}$

Eine solche Abbildung μ  : V × ... × V → R wird als Dichte im Vektorraum V bezeichnet . Es ist zu beachten, dass, wenn ( v ₁ , ..., v _n ) eine Basis für V ist , das Fixieren von μ ( v ₁ , ..., v _n ) μ vollständig fixiert ; Daraus folgt, dass die Menge Vol ( V ) aller Dichten auf V einen eindimensionalen Vektorraum bildet. Jede n- Form ω auf V definiert eine Dichte | ω | auf V von

${\ displaystyle | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) |.}$

Orientierungen auf einem Vektorraum

Die Menge Or ( V ) aller Funktionen o  : V × ... × V → R , die erfüllen

${\ displaystyle o (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ operatorname {sign} (\ det A) o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V)}$

bildet einen eindimensionalen Vektorraum, und eine Orientierung auf V ist eines der beiden Elemente o ∈ Or ( V ), so dass | o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1 für jedes linear unabhängige v ₁ , ..., v _n . Jede Nicht-Null- n- Form ω auf V definiert eine Orientierung o ∈ oder ( V ), so dass

${\ displaystyle o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ { n}),}$

und umgekehrt definieren jedes o ∈ Or ( V ) und jede beliebige Dichte μ ∈ Vol ( V ) eine n- Form ω auf V durch

${\ displaystyle \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n} ).}$

In Bezug auf Tensorprodukträume ,

${\ displaystyle \ operatorname {Or} (V) \ otimes \ operatorname {Vol} (V) = \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}, \ quad \ operatorname {Vol} (V) = \ operatorname {Or} (V) \ otimes \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}.}$

s- Dichten auf einem Vektorraum

Die s- Dichten auf V sind Funktionen μ  : V × ... × V → R, so dass

${\ displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ left | \ det A \ right | ^ {s} \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V).}$

Genau wie Dichten, s -densities bilden einen eindimensionalen Vektorraum Vol ^s ( V ), und jedes n -Form ω auf V eine definiert s -Dichte | ω | ^s auf V von

${\ displaystyle | \ omega | ^ {s} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | ^ {s}. }}$

Das Produkt aus s ₁ - und s ₂ -Dichten μ ₁ und μ ₂ bildet eine ( s ₁ + s ₂ ) -Dichte μ durch

${\ displaystyle \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = \ mu _ {1} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu _ {2} (v_ { 1}, \ ldots, v_ {n}).}$

In Bezug auf Tensorprodukträume kann diese Tatsache wie folgt angegeben werden

${\ displaystyle \ operatorname {Vol} ^ {s_ {1}} (V) \ otimes \ operatorname {Vol} ^ {s_ {2}} (V) = \ operatorname {Vol} ^ {s_ {1} + s_ { 2}} (V).}$

Definition

Formal wird das s- Dichte-Bündel Vol ^s ( M ) eines differenzierbaren Verteilers M durch eine zugehörige Bündelkonstruktion erhalten , die die eindimensionale Gruppendarstellung verflochten

${\ displaystyle \ rho (A) = \ left | \ det A \ right | ^ {- s}, \ quad A \ in \ operatorname {GL} (n)}$

die allgemeinen linearen Gruppe mit dem Rahmenbündel von M .

Das resultierende Linienbündel ist als das Bündel von s- Dichten bekannt und wird mit bezeichnet

${\ displaystyle \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s} = \ left | \ Lambda \ right | ^ {s} (TM).}$

Eine 1-Dichte wird auch einfach als Dichte bezeichnet.

Allgemeiner gesagt , ermöglicht es die zugehörige Bündelkonstruktion auch von jedem konstruierten Dichten werden Vektorbündel E auf M .

Wenn ( U _α , φ _α ) ein Atlas von Koordinatendiagrammen auf M ist , dann ist im Detail eine lokale Trivialisierung von assoziiert ${\ displaystyle \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s}}$

${\ displaystyle t _ {\ alpha}: \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s} | _ {U _ {\ alpha}} \ to \ phi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha}) \ times \ mathbb {R}}$

der offenen Abdeckung U _{& agr;} untergeordnet, so dass der zugehörige GL (1) -Cocyclus erfüllt

${\ displaystyle t _ {\ alpha \ beta} = \ left | \ det (d \ phi _ {\ alpha} \ circ d \ phi _ {\ beta} ^ {- 1}) \ right | ^ {- s}. }}$

Integration

Die Dichte spielt eine wichtige Rolle in der Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Tatsächlich wird die Definition einer Dichte dadurch motiviert, wie sich ein Maß dx bei einer Änderung der Koordinaten ändert ( Folland 1999 , Abschnitt 11.4, S. 361-362).

Bei einer in einem Koordinatendiagramm U _α unterstützten 1-Dichte ƒ ist das Integral definiert durch

${\ displaystyle \ int _ {U _ {\ alpha}} f = \ int _ {\ phi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha})} t _ {\ alpha} \ circ f \ circ \ phi _ {\ alpha } ^ {- 1} d \ mu}$

wobei sich das letztere Integral auf das Lebesgue-Maß für R ^{n bezieht} . Das Transformationsgesetz für 1-Dichten zusammen mit der Jacobi-Änderung von Variablen gewährleistet die Kompatibilität mit den Überlappungen verschiedener Koordinatendiagramme, sodass das Integral einer allgemein kompakt unterstützten 1-Dichte durch ein Argument der Aufteilung der Einheit definiert werden kann . Somit sind 1-Dichten eine Verallgemeinerung des Begriffs einer Volumenform, die nicht notwendigerweise erfordert, dass der Verteiler orientiert oder sogar orientierbar ist. Man kann allgemeiner eine allgemeine Theorie der Radonmaße als Verteilungsabschnitte der Verwendung des Riesz-Markov-Kakutani-Repräsentationssatzes entwickeln . ${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {1}}$

Die Menge der 1 / p- Dichten, so dass es sich um einen normierten linearen Raum handelt, dessen Vervollständigung als intrinsischer L ^p -Raum von M bezeichnet wird . ${\ displaystyle | \ phi | _ {p} = \ left (\ int | \ phi | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} <\ infty}$${\ displaystyle L ^ {p} (M)}$

Konventionen

In einigen Bereichen, insbesondere in der konformen Geometrie , wird eine andere Gewichtungskonvention verwendet: Das Bündel von s- Dichten wird stattdessen dem Zeichen zugeordnet

${\ displaystyle \ rho (A) = \ left | \ det A \ right | ^ {- s / n}.}$

Mit dieser Konvention integriert man beispielsweise n- Dichten (anstelle von 1-Dichten). Auch in diesen Konventionen wird eine konforme Metrik mit einer Tensordichte des Gewichts 2 identifiziert .

Eigenschaften

• Das duale Vektorbündel von ist . ${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {s}}$${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {- s}}$
• Tensordichten sind Abschnitte des Tensorprodukts eines Dichtebündels mit einem Tensorbündel.

Verweise

• Berline, Nicole; Getzler, Esra; Vergne, Michèle (2004), Wärmekerne und Dirac-Betreiber , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-20062-8 .
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Moderne Techniken und ihre Anwendungen (2. Aufl.), ISBN   978-0-471-31716-6 , bietet eine kurze Diskussion der Dichten im letzten Abschnitt.
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Vorträge über die Geometrie von Mannigfaltigkeiten , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN   978-981-02-2836-1 , MR   1435504
• Lee, John M (2003), Einführung in glatte Mannigfaltigkeiten , Springer-Verlag