Derivat - Derivator

In der Mathematik sind Ableitungen ein vorgeschlagener neuer Rahmen ^{S. 190-195} für homologische Algebra , der einen Rahmen für nichtabelsche homologische Algebra und verschiedene Verallgemeinerungen davon gibt. Sie wurden eingeführt, um die Unzulänglichkeiten abgeleiteter Kategorien (wie die Nichtfunktionalität der Kegelkonstruktion) zu beheben und gleichzeitig eine Sprache für die homotopische Algebra bereitzustellen .

Derivate wurden erstmals von Alexander Grothendieck in seinem lange unveröffentlichten Manuskript Pursuing Stacks von 1983 vorgestellt . Sie wurden dann von ihm in dem riesigen unveröffentlichten Manuskript Les Dérivateurs von 1991 von fast 2000 Seiten weiterentwickelt.

Das Manuskript wurde von Georges Maltsiniotis für die Online-Veröffentlichung bearbeitet. Die Theorie wurde von mehreren anderen Personen weiterentwickelt, darunter Heller, Franke , Keller und Groth.

Motivationen

Einer der motivierenden Gründe für die Betrachtung von Derivaten ist die fehlende Funktorialität bei der Kegelkonstruktion mit triangulierten Kategorien . Ableitungen sind in der Lage, dieses Problem und die Einbeziehung allgemeiner Homotopie-Kolimits zu lösen , indem sie alle möglichen Diagramme in einer Kategorie mit schwachen Äquivalenzen und deren Beziehungen untereinander verfolgen . Heuristisch ist das Diagramm gegeben

${\displaystyle\bullet\to\bullet}$

das ist eine Kategorie mit zwei Objekten und einem Nicht-Identitätspfeil und einem Funktor

${\displaystyle F:(\bullet\to\bullet)\to A}$

zu einer Kategorie mit einer Klasse von schwachen Äquivalenzen (und die die richtigen Hypothesen erfüllen), sollten wir einen zugehörigen Funktor haben${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}$

wobei das Zielobjekt bis auf schwache Äquivalenz in eindeutig ist . Ableitungen sind in der Lage, diese Art von Informationen zu kodieren und einen Diagrammkalkül bereitzustellen, der in abgeleiteten Kategorien und in der Homotopietheorie verwendet werden kann. ${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$

Definition

Vorläufer

Formal ist ein Präderivator ein 2-Functor${\displaystyle \mathbb{D}}$

${\displaystyle \mathbb{D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}$

von einer geeigneten 2-Kategorie von Indizes zur Kategorie der Kategorien. Typischerweise kommen solche 2-Funktionen aus der Betrachtung der Kategorien, wo man die Kategorie der Koeffizienten nennt . Könnte zum Beispiel die Kategorie der kleinen Kategorien sein, die gefiltert werden, deren Objekte man sich als Indizierungssätze für ein gefiltertes Colimit vorstellen kann . Dann sei ein Morphismus von Diagrammen${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{Ind}}}$

${\displaystyle f:I\to J}$

bezeichnen mit${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}:\mathbb{D} (J)\to \mathbb{D} (I)}$

Dies wird als inverser Bildfunktor bezeichnet. Im motivierenden Beispiel ist dies nur eine Vorkomposition, also gibt es einen Funktor, der mit einem zugehörigen Funktor verknüpft ist . Beachten Sie, dass diese 2-Funktionen als${\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$${\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}$

wobei eine geeignete Klasse schwacher Äquivalenzen in einer Kategorie ist . ${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$

Indexierungskategorien

Es gibt eine Reihe von Beispielen für Indexierungskategorien, die in dieser Konstruktion verwendet werden können

• Die 2-Kategorie der endlichen Kategorien, also die Objekte sind Kategorien, deren Sammlung von Objekten endliche Mengen sind.${\displaystyle {\text{FinCat}}}$
• Die ordinale Kategorie kann in eine Kategorie mit zwei Kategorien kategorisiert werden, wobei die Objekte Kategorien mit einem Objekt sind und die Funktoren aus den Pfeilen in der ordinalen Kategorie stammen.${\displaystyle \Delta}$
• Eine andere Möglichkeit besteht darin, einfach die Kategorie der kleinen Kategorien zu verwenden.
• Außerdem ist jedem topologischen Raum eine Kategorie zugeordnet , die als Indexierungskategorie verwendet werden könnte.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Öffnen}}(X)}$
• Darüber hinaus ist die Websites , die zugrunde liegende Zariksi , Etale , etc, Topoi der für einige Schemata oder algebraischen Raum können zusammen mit ihrem morphisms für die Indizierung Kategorie verwendet werden${\displaystyle (X)_{\tau}}$ ${\displaystyle X}$
• Dies kann auf jeden beliebigen Topos verallgemeinert werden , sodass die Indexierungskategorie die zugrunde liegende Site ist.${\displaystyle T}$

Derivate

Ableitungen sind dann die Axiomatisierung von Vorableitungen, die mit adjungierten Funktoren ausgestattet sind

${\displaystyle {\begin{matrix}f^{?}&f_{!}&f^{*}&f_{*}&f^{!}\end{matrix}}}$

wo bleibt neben und so weiter. Heuristisch sollte inversen Limits, Colimits, entsprechen. ${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$

Verweise

• Les Dérivateurs: Texte von Alexandre Grothendieck. dité von M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis
• Ableitungen, spitze Ableitungen und stabile Ableitungen (Moritz Groth)

Externe Links

• Derivat in nLab
• Subtopoi, offene Subtopos und geschlossene Subtopos
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html