Differenzierbare Kurve - Differentiable curve

Die Differentialgeometrie von Kurven ist der Zweig der Geometrie , der sich mit glatten Kurven in der Ebene und im euklidischen Raum mit Methoden der Differential- und Integralrechnung befasst .

Viele spezifische Kurven wurden mit dem synthetischen Ansatz gründlich untersucht . Die Differentialgeometrie geht einen anderen Weg: Kurven werden parametrisiert dargestellt und ihre geometrischen Eigenschaften und verschiedene damit verbundene Größen wie die Krümmung und die Bogenlänge werden mittels Vektorrechnung über Ableitungen und Integrale ausgedrückt . Eines der wichtigsten Werkzeuge zur Analyse einer Kurve ist der Frenet-Rahmen , ein beweglicher Rahmen, der an jedem Punkt der Kurve ein Koordinatensystem bereitstellt, das an die Kurve in der Nähe dieses Punktes "am besten angepasst" ist.

Die Kurventheorie ist viel einfacher und enger als die Flächentheorie und ihre höherdimensionalen Verallgemeinerungen, weil eine regelmäßige Kurve in einem euklidischen Raum keine intrinsische Geometrie hat. Jede reguläre Kurve kann durch die Bogenlänge parametrisiert werden (die natürliche Parametrisierung ). Aus der Sicht eines theoretischen Punktteilchens auf der Kurve, das nichts über den Umgebungsraum weiß, würden alle Kurven gleich erscheinen. Unterschiedliche Raumkurven unterscheiden sich nur dadurch, wie sie sich biegen und verdrehen. Quantitativ wird dies durch die differentiell-geometrischen Invarianten gemessen, die als Krümmung und Torsion einer Kurve bezeichnet werden. Der fundamentale Kurvensatz besagt , dass die Kenntnis dieser Invarianten die Kurve vollständig bestimmt.

Definitionen

Eine parametrische C ^r - Kurve oder eine C ^r - Parametrisierung ist eine vektorwertige Funktion

${\displaystyle \gamma:I\to\mathbb{R}^{n}}$

das heißt r -fache stetig differenzierbar (das heißt, die Komponentenfunktionen von γ sind stetig differenzierbar), wobei n ∈ n , r ∈ n ∪ {∞} und I ein nicht-leer - Intervall von reellen Zahlen. Das Bild der parametrischen Kurve γ [ I ] ⊆ r ⁿ . Die parametrische Kurve γ und ihr Bild γ [ I ] müssen unterschieden werden, da eine gegebene Teilmenge von ℝ ⁿ das Bild mehrerer verschiedener parametrischer Kurven sein kann. Der Parameter t in γ ( t ) kann als die Zeit darstellt gedacht werden, und & gamma; die Trajektorie eines sich bewegenden Punkt im Raum. Wenn I ein abgeschlossenes Intervall [ a , b ] ist , heißt γ ( a ) der Startpunkt und γ ( b ) der Endpunkt von γ . Wenn Start- und Endpunkt zusammenfallen (d. h. γ ( a ) = γ ( b ) ), dann ist γ eine geschlossene Kurve oder eine Schleife . Für ein Wesen C ^r -loop, die Funktion γ müssen r stetig differenzierbar -mal und erfüllt γ ^{( k )} ( ein ) = γ ^{( k )} ( b ) für 0 ≤ k ≤ r .

Die parametrische Kurve ist einfach, wenn

${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb{R}^{n}}$

ist injektiv . Sie ist analytisch, wenn jede Komponentenfunktion von γ eine analytische Funktion ist, dh von der Klasse C ^ω .

Die Kurve γ ist regelmäßig der Ordnung m (wobei m ≤ r ) , wenn für jede t ∈ I ,

${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma^{(m)}}(t)\right\}}$

ist eine linear unabhängige Teilmenge von ℝ ⁿ . Insbesondere ist ein parametrischer C ¹ -Kurve γ ist regulär , wenn und nur wenn γ '( t ) ≠ 0 für alle t ∈ I .

Umparametrierung und Äquivalenzrelation

Für das Bild einer parametrischen Kurve gibt es mehrere verschiedene Parametrisierungen der parametrischen Kurve. Die Differentialgeometrie zielt darauf ab, die Eigenschaften parametrischer Kurven zu beschreiben, die unter bestimmten Umparametrierungen invariant sind. Auf der Menge aller parametrischen Kurven muss eine geeignete Äquivalenzrelation definiert werden. Die differentiell-geometrischen Eigenschaften einer parametrischen Kurve (wie ihre Länge, ihr Frenet-Rahmen und ihre verallgemeinerte Krümmung) sind bei einer Reparametrierung invariant und daher Eigenschaften der Äquivalenzklasse selbst. Die Äquivalenzklassen heißen C ^r -Kurven und sind zentrale Objekte der Differentialgeometrie von Kurven.

Zwei parametrische C ^r -Kurven, γ ₁  : I ₁ → ℝ ⁿ und γ ₂  : I ₂ → ℝ ⁿ , heißen genau dann äquivalent, wenn es eine bijektive C ^r -Abbildung φ  : I ₁ → I ₂ so gibt Das

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$

und

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad\gamma_{2}{\bigl(}\varphi(t){\bigr)}=\gamma_{1}(t).}$

γ ₂ heißt dann eine Umparametrierung von γ ₁ .

Die Reparametrierung definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller parametrischen C ^r -Kurven der Klasse C ^r . Die Äquivalenzklasse dieser Relation ist einfach eine C ^r -Kurve.

Eine noch feinere ¨Aquivalenzrelation aus orientiertem parametrisch C ^r -Kurven kann durch die Forderung definiert werden φ zu erfüllen φ '( t )> 0 .

Äquivalente parametrische C ^r -Kurven haben das gleiche Bild, und äquivalente orientierte parametrische C ^r -Kurven durchqueren das Bild sogar in der gleichen Richtung.

Länge und natürliche Parametrisierung

Die Länge l einer parametrischen C ¹ -Kurve γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ ist definiert als

${\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d } {t}.}$

Die Länge einer parametrischen Kurve ist bei einer Reparametrierung invariant und daher eine differentiell-geometrische Eigenschaft der parametrischen Kurve.

Für jede reguläre parametrische C ^r -Kurve γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ , mit r ≥ 1 , ist die Funktion definiert

${\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\| \gamma '(x)\rechts\|\,\mathrm {d} {x}.}$

Schreiben von γ (s) = γ ( t ( s ) ) , wobei t ( s ) die Umkehrfunktion von s ( t ) ist . Dies ist eine Umparametrierung γ von γ , die als an . bezeichnet wird Bogenlängen-Parametrisierung , natürliche Parametrisierung,Einheitsgeschwindigkeits-Parametrierung. Die Parameter s ( t )ist die genanntenatürlichen Parametervonγ.

Diese Parametrisierung wird bevorzugt, weil der natürliche Parameter s ( t ) das Bild von γ mit Einheitsgeschwindigkeit durchquert , so dass

${\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma}}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}$

In der Praxis ist es oft sehr schwierig, die natürliche Parametrisierung einer parametrischen Kurve zu berechnen, ist aber für theoretische Argumente nützlich.

Für eine gegebene parametrische Kurve γ ist die natürliche Parametrisierung bis auf eine Parameterverschiebung eindeutig.

Die Quantität

${\displaystyle E(\gamma)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\rechts\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$

wird manchmal als Energie oder Aktion der Kurve bezeichnet; dieser Name ist gerechtfertigt, da die geodätischen Gleichungen die Euler-Lagrange- Bewegungsgleichungen für diese Aktion sind.

Frenet-Rahmen

Eine Illustration des Frenet-Rahmens für einen Punkt auf einer Raumkurve. T ist die Einheitstangente, P die Einheitsnormale und B die Einheitsbinormale.

Ein Frenet-Rahmen ist ein beweglicher Referenzrahmen von n orthonormalen Vektoren e _i ( t ), die verwendet werden, um eine Kurve lokal an jedem Punkt γ ( t ) zu beschreiben . Es ist das Hauptwerkzeug bei der differentiellen geometrischen Behandlung von Kurven, da es viel einfacher und natürlicher ist, lokale Eigenschaften (zB Krümmung, Torsion) in Bezug auf ein lokales Bezugssystem zu beschreiben, als ein globales wie beispielsweise euklidische Koordinaten zu verwenden.

Gegeben eine C ^{n + 1} -Kurve γ in ℝ ^n, die regulär der Ordnung n ist, ist der Frenet-Rahmen für die Kurve die Menge der orthonormalen Vektoren

${\displaystyle \mathbf{e}_{1}(t),\ldots,\mathbf{e}_{n}(t)}$

genannt Frenet Vektoren . Sie werden aus den Ableitungen von γ ( t ) unter Verwendung des Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsalgorithmus mit

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma}}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\ gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}} }(t)}{\links\|{\overline {\mathbf{e}_{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf{e}_{j} }}(t)={\boldsymbol {\gamma}}^{(j)}(t)-\sum_{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma}} ^{(j)}(t),\mathbf{e}_{i}(t)\right\rangle\,\mathbf{e}_{i}(t)\end{ausgerichtet}}}$

Die reellwertigen Funktionen χ _i ( t ) heißen verallgemeinerte Krümmungen und sind definiert als

${\displaystyle \chi_{i}(t)={\frac{{\bigl\langle}\mathbf{e}_{i}'(t),\mathbf{e}_{i+1}(t ){\bigr\rangle}}{\left\|{\boldsymbol {\gamma}}^{'}(t)\right\|}}}$

Der Frenet-Rahmen und die verallgemeinerten Krümmungen sind bei der Reparametrierung invariant und sind daher differentielle geometrische Eigenschaften der Kurve.

Bertrand-Kurve

Eine Bertrand-Kurve ist eine Frenet-Kurve mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es eine zweite Kurve gibt, so dass die Hauptnormalenvektoren zu diesen beiden Kurven an jedem entsprechenden Punkt identisch sind. Mit anderen Worten, wenn r → ₁ ( t ) und r → ₂ ( t ) sind zwei Kurven in derart , dass für jeden t , N → ₁ = N → ₂ , dann r → ₁ und r → ₂ sind Kurven Bertrand. Aus diesem Grund ist es üblich, von einem Bertrand-Kurvenpaar zu sprechen (wie r → ₁ und r → ₂ im vorherigen Beispiel). Gemäß Aufgabe 25 in Kühnels "Differential Geometry Curves – Surfaces – Manifolds" gilt auch, dass zwei Bertrand-Kurven, die nicht in derselben zweidimensionalen Ebene liegen, durch die Existenz einer linearen Beziehung aκ + bτ = 1 gekennzeichnet sind, wobei a und b sind reelle Konstanten und a ≠ 0 . Außerdem ist das Produkt der Torsionen eines Bertrand-Kurvenpaares konstant. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

Spezielle Frenet-Vektoren und verallgemeinerte Krümmungen

Die ersten drei Frenet-Vektoren und verallgemeinerten Krümmungen können im dreidimensionalen Raum visualisiert werden. Sie haben zusätzliche Namen und weitere semantische Informationen.

Tangentenvektor

Wenn eine Kurve γ den Weg eines Teilchens darstellt, dann wird die momentane Geschwindigkeit des Teilchens an einem bestimmten Punkt P durch einen Vektor ausgedrückt , der als Tangentenvektor an die Kurve bei P bezeichnet wird . Mathematisch ist bei einer parametrisierten C ¹ -Kurve γ = γ ( t ) für jeden Wert t = t ₀ des Parameters der Vektor

${\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}{\boldsymbol {\gamma}}(t)\ {\text{at}}\ t=t_{ 0}}$

ist der Tangentenvektor an dem Punkt P = γ ( t ₀ ) . Im Allgemeinen kann der Tangentenvektor null sein . Die Größe des Tangensvektors

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma}}'(t_{0})\right\|}$

ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ₀ .

Der erste Frenet-Vektor e ₁ ( t ) ist der Einheitstangensvektor in derselben Richtung, definiert an jedem regulären Punkt von γ :

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma}}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma}}'(t) \right\|}}.}$

Wenn t = s der natürliche Parameter ist, hat der Tangentenvektor eine Einheitslänge. Die Formel vereinfacht:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma}}'(s)}$.

Der Einheitstangensvektor bestimmt die Orientierung der Kurve oder die Vorwärtsrichtung entsprechend den steigenden Werten des Parameters. Der als Kurve genommene Einheitstangensvektor zeichnet das sphärische Bild der ursprünglichen Kurve nach.

Normalen- oder Krümmungsvektor

Der Normalenvektor, manchmal auch Krümmungsvektor genannt, gibt die Abweichung der Kurve von einer geraden Linie an.

Es ist definiert als

${\displaystyle {\overline {\mathbf{e}_{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma}}''(t)-{\bigl\langle }{\boldsymbol {\gamma}} ''(t),\mathbf{e}_{1}(t){\bigr\rangle}\,\mathbf{e}_{1}(t).}$

Seine normierte Form, der Einheitsnormalenvektor, ist der zweite Frenet-Vektor e ₂ ( t ) und ist definiert als

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}$

Die Tangente und der Normalenvektor im Punkt t definieren die Schmiegebene im Punkt t .

Es kann gezeigt werden , dass ç ₂ ( t ) α e ' ₁ ( t ) . Deshalb,

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'( t)\rechts\|}}.}$

Krümmung

Die erste verallgemeinerte Krümmung χ ₁ ( t ) wird Krümmung genannt und misst die Abweichung von γ von einer Geraden relativ zur Schmiegfläche. Es ist definiert als

${\displaystyle \kappa(t)=\chi_{1}(t)={\frac {{\bigl\langle}\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{ 2}(t){\bigr\rangle}}{\left\|{\boldsymbol {\gamma}}'(t)\right\|}}}$

und heißt Krümmung von γ im Punkt t . Es kann gezeigt werden, dass

${\displaystyle \kappa(t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma}}'( t)\rechts\|}}.}$

Der Kehrwert der Krümmung

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa(t)}}}$

heißt Krümmungsradius .

Ein Kreis mit Radius r hat eine konstante Krümmung von

${\displaystyle \kappa(t)={\frac {1}{r}}}$

wohingegen eine Linie eine Krümmung von 0 hat.

Binormaler Vektor

Der binormale Einheitsvektor ist der dritte Frenet-Vektor e ₃ ( t ) . Er ist immer orthogonal zu den Einheitstangenten- und Normalenvektoren bei t . Es ist definiert als

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e } _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma}}'''(t) -{\bigr\langle}{\boldsymbol{\gamma}}'''(t),\mathbf{e} _{1}(t){\bigr\rangle}\,\mathbf{e}_{1 }(t)-{\bigl\langle}{\boldsymbol {\gamma}}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr\rangle}\,\mathbf {e } _{2}(t)}$

Im dreidimensionalen Raum vereinfacht sich die Gleichung zu

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$

oder zu

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}$

Dass beide Vorzeichen auftreten können, wird durch die Beispiele einer rechtsgängigen Helix und einer linksgängigen Helix veranschaulicht.

Drehung

Die zweite verallgemeinerte Krümmung χ ₂ ( t ) heißt Torsion und misst die Abweichung von γ von einer ebenen Kurve. Mit anderen Worten, wenn die Torsion Null ist, liegt die Kurve vollständig in der gleichen Schmiegeebene (für jeden Punkt t gibt es nur eine Schmiegebene ). Es ist definiert als

${\displaystyle \tau(t)=\chi_{2}(t)={\frac {{\bigl\langle}\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{ 3}(t){\bigr\rangle}}{\left\|{\boldsymbol {\gamma}}'(t)\right\|}}}$

und heißt Torsion von γ im Punkt t .

Aberranz

Die dritte Ableitung kann verwendet werden, um Aberranz zu definieren , eine Metrik der Nicht-Kreisförmigkeit einer Kurve.

Hauptsatz der Kurventheorie

Gegeben n − 1 Funktionen:

${\displaystyle \chi_{i}\in C^{ni}([a,b],\mathbb{R}^{n}),\quad\chi_{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$

dann existiert eine (bis auf Transformationen mit der euklidischen Gruppe ) eindeutige C ^{n + 1} -Kurve γ, die regulär der Ordnung n ist und folgende Eigenschaften hat:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi_{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf{e}_{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma}}'(t)\|}}\end {ausgerichtet}}}$

wo die menge

${\displaystyle \mathbf{e}_{1}(t),\ldots,\mathbf{e}_{n}(t)}$

ist der Frenet-Rahmen für die Kurve.

Durch zusätzliches Bereitstellen eines Starts t ₀ in I , eines Startpunkts p ₀ in ℝ ⁿ und eines anfänglichen positiven orthonormalen Frenet-Rahmens { e ₁ , …, e _{n − 1} } mit

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma}}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0} )&=\mathbf{e}_{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{ausgerichtet}}}$

die euklidischen Transformationen werden eliminiert eine eindeutige Kurve zu erhalten γ .

Frenet-Serret-Formeln

Die Frenet-Serret-Formeln sind ein Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Lösung ist der Satz von Frenet-Vektoren, der die durch die verallgemeinerten Krümmungsfunktionen χ _i spezifizierte Kurve beschreibt .

2 Abmessungen

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

3 Dimensionen

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'( t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t) &0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _ {2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

n Dimensionen (allgemeine Formel)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{ n-1}'(t)\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{ bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\ \mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Siehe auch

• Liste der Kurventhemen

Verweise

Weiterlesen

• Kreyszig, Erwin (1991). Differentialgeometrie . New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 0-486-66721-9.Kapitel II ist eine klassische Behandlung der Kurventheorie in 3 Dimensionen.