Frenet-Serret-Formeln - Frenet–Serret formulas

Eine Raumkurve; die Vektoren T , N und B ; und die von T und N . aufgespannte Schmiegfläche

In der Differentialgeometrie beschreiben die Frenet-Serret-Formeln die kinematischen Eigenschaften eines Teilchens, das sich entlang einer kontinuierlichen, differenzierbaren Kurve im dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ bewegt , oder die geometrischen Eigenschaften der Kurve selbst unabhängig von jeder Bewegung. Insbesondere beschreiben die Formeln die Ableitungen der sogenannten Tangenten-, Normalen- und Binormalen- Einheitsvektoren zueinander. Die Formeln sind nach den beiden französischen Mathematikern benannt, die sie unabhängig voneinander entdeckt haben: Jean Frédéric Frenet in seiner Dissertation von 1847 und Joseph Alfred Serret von 1851. Vektornotation und lineare Algebra, die derzeit verwendet werden, um diese Formeln zu schreiben, wurden zu dieser Zeit noch nicht verwendet ihrer Entdeckung.

Die Tangens-, Normal- und Binormal-Einheitsvektoren, oft als T , N und B bezeichnet , oder zusammen der Frenet-Serret-Rahmen oder TNB-Rahmen bilden zusammen eine Orthonormalbasis, die R ³ umspannt und wie folgt definiert ist:

• T ist der Einheitsvektor tangential zur Kurve, der in Bewegungsrichtung zeigt.
• N ist der normale Einheitsvektor, die Ableitung von T bezüglich des Bogenlängenparameters der Kurve, dividiert durch seine Länge.
• B ist der binormale Einheitsvektor, das Kreuzprodukt von T und N .

Die Frenet-Serret-Formeln sind:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa\mathbf {N} ,\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds} }&=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B},\\{\frac{d\mathbf{B} }{ds}}&=-\tau\mathbf{N},\end {ausgerichtet}}}$

wobei d / ds die Ableitung in Bezug auf Bogenlänge ist, κ die Krümmung , und τ ist die Torsion der Kurve. Die beiden Skalare & kgr; und τ effektiv die Krümmung und Torsion einer Raumkurve definieren. Die zugehörige Sammlung T , N , B , κ und τ wird Frenet-Serret-Apparat genannt . Intuitiv misst die Krümmung das Versagen einer Kurve als gerade Linie, während die Torsion misst, ob eine Kurve nicht eben ist.

Definitionen

Die T- und N- Vektoren an zwei Punkten auf einer ebenen Kurve, eine übersetzte Version des zweiten Rahmens (gestrichelt) und die Änderung von T : δ T' . δs ist der Abstand zwischen den Punkten. Im Grenzfall wird in Richtung N und die Krümmung die Rotationsgeschwindigkeit des Rahmens beschrieben.${\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}}$

Sei r ( t ) eine Kurve im euklidischen Raum , die den Ortsvektor des Teilchens als Funktion der Zeit darstellt. Die Frenet-Serret-Formeln gelten für Kurven, die nicht entartet sind , was grob bedeutet, dass sie eine Krümmung ungleich Null haben . Formal in dieser Situation der Geschwindigkeitsvektor r '( t ) und die Beschleunigungsvektor r ' '( t proportional sind nicht zu sein) erforderlich.

Sei s ( t ) die Bogenlänge, die das Teilchen in der Zeit t entlang der Kurve zurückgelegt hat . Die Größe s wird verwendet, um der durch die Flugbahn des Partikels gezogenen Kurve eine natürliche Parametrisierung durch die Bogenlänge (dh Bogenlängen-Parametrisierung ) zu verleihen , da viele verschiedene Partikelpfade dieselbe geometrische Kurve verfolgen können, indem sie sie mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durchlaufen. Im Detail ist s gegeben durch

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .}$

Da wir außerdem angenommen haben, dass r ′ ≠ 0 ist, folgt, dass s ( t ) eine streng monoton wachsende Funktion ist. Daher ist es möglich, nach t als Funktion von s aufzulösen und somit r ( s ) = r ( t ( s )) zu schreiben . Die Kurve wird somit in bevorzugter Weise durch ihre Bogenlänge parametrisiert.

Mit einer nicht entarteten Kurve r ( s ), parametrisiert durch ihre Bogenlänge, ist es nun möglich, den Frenet-Serret-Rahmen (oder TNB-Rahmen ) zu definieren:

• Der Tangenteneinheitsvektor T ist definiert als

  ${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}}$

  ( 1 )

• Der normale Einheitsvektor N ist definiert als

  ${\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\| }.}$

  ( 2 )

Beachten Sie, dass wir durch den Aufruf von Krümmung automatisch die erste Beziehung erhalten. ${\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}$

• Der binormale Einheitsvektor B ist als das Kreuzprodukt von T und N definiert :

  ${\displaystyle \mathbf{B} =\mathbf{T} \times \mathbf{N} .}$

  ( 3 )

Der Frenet-Serret-Rahmen bewegt sich entlang einer Helix . Das T wird durch den blauen Pfeil dargestellt, N wird durch den roten Pfeil dargestellt, während B durch den schwarzen Pfeil dargestellt wird.

Aus der Gleichung ( 2 ) folgt, da T immer Einheit Größenordnung , dass N (die Änderung von T ) ist immer senkrecht zur T , da es keine Längenänderung ist T . Aus Gleichung ( 3 ) folgt, dass B immer senkrecht zu T und N steht . Somit stehen die drei Einheitsvektoren T , N und B alle senkrecht aufeinander.

Die Frenet-Serret-Formeln sind:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa\mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa\mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&& -\tau\mathbf{N} &\end{matrix}}}$

wo ist die Krümmung und ist die Torsion . ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \tau}$

Die Frenet-Serret-Formeln sind auch als Frenet-Serret-Theorem bekannt und können mit Matrixnotation prägnanter ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\ -\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}} .}$

Diese Matrix ist schiefsymmetrisch .

Formeln in n Dimensionen

Die Frenet-Serret-Formeln wurden 1874 von Camille Jordan auf höherdimensionale euklidische Räume verallgemeinert .

Nehmen wir an, dass r ( s ) eine glatte Kurve in R ⁿ , und daß die ersten n - Derivate von R linear unabhängig sind. Die Vektoren im Frenet-Serret-Rahmen sind eine Orthonormalbasis, die durch Anwendung des Gram-Schmidt-Prozesses auf die Vektoren ( r ( s ), r ( s ), ..., r ^{( n )} ( s )) konstruiert wurde .

Im Detail ist der Einheitstangensvektor der erste Frenet-Vektor e ₁ ( s ) und ist definiert als

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e } _{1}}}(s)\|}}}$

wo

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}$

Der Normalenvektor , manchmal auch Krümmungsvektor genannt , zeigt die Abweichung der Kurve von einer geraden Linie an. Es ist definiert als

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e } _{1}(s)\rangle\,\mathbf{e} _{1}(s)}$

Seine normierte Form, der Einheitsnormalenvektor , ist der zweite Frenet-Vektor e ₂ ( s ) und definiert als

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e } _{2}}}(s)\|}}}$

Die Tangente und der Normalenvektor am Punkt s definieren die Schmiegebene am Punkt r ( s ).

Die verbleibenden Vektoren im Rahmen (die Binormale, Trinormale usw.) werden ähnlich definiert durch

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {e} _{j}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\ überstreichen {\mathbf {e}_{j}}}(s)\|}}{\mbox{, }}\end{ausgerichtet}}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1 }^{j-1}\langle\mathbf{r}^{(j)}(s),\mathbf{e}_{i}(s)\rangle\,\mathbf{e}_{i}( s).\end{ausgerichtet}}}$

Der letzte Vektor im Frame wird durch das Kreuzprodukt der ersten n-1 Vektoren definiert:

${\displaystyle {\mathbf {e} _{n}}(s)={\mathbf {e} _{1}}(s)\times {\mathbf {e} _{2}}(s)\times \dots \times {\mathbf{e}_{n-2}}(s)\times {\mathbf{e}_{n-1}}(s)}$

Die unter _i ( s ) verwendeten reellwertigen Funktionen werden als verallgemeinerte Krümmung bezeichnet und sind definiert als

${\displaystyle \chi_{i}(s)={\frac{\langle\mathbf{e}_{i}'(s),\mathbf{e}_{i+1}(s)\rangle} {\|\mathbf {r} '(s)\|}}}$

Die in Matrixsprache angegebenen Frenet-Serret-Formeln sind

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\ end{bmatrix}}=\\\end{ausgerichtet}}\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{ausgerichtet}{\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s )&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1} (s)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\ \end{bmatrix}}\end{ausgerichtet}}}$

Beachten Sie, dass die verallgemeinerten Krümmungen und der Rahmen, wie hier definiert, geringfügig von den Konventionen in anderen Quellen abweichen können. Die obere Krümmung (in diesem Zusammenhang auch Torsion genannt) und der letzte Vektor im Rahmen unterscheiden sich um ein Vorzeichen ${\displaystyle \chi_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {oder} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)}$

(die Orientierung der Basis) von der üblichen Torsion. Die Frenet-Serret-Formeln sind invariant beim Umkehren des Vorzeichens von beiden und , und dieser Vorzeichenwechsel bewirkt eine positive Orientierung des Rahmens. Wie oben definiert, erbt der Rahmen seine Ausrichtung vom Strahl von . ${\displaystyle \chi_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle\mathbf{r}}$

Nachweisen

Betrachten Sie die 3 mal 3 Matrix

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$

Die Zeilen dieser Matrix sind zueinander senkrechte Einheitsvektoren: eine Orthonormalbasis von . Als Ergebnis ist die Transponierte von Q gleich der Inversen von Q : Q ist eine orthogonale Matrix . Es genügt zu zeigen, dass ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

${\displaystyle \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}}$

Beachten Sie, dass die erste Zeile dieser Gleichung bereits gilt, nach der Definition der Normalen N und der Krümmung κ , sowie die letzte Zeile nach der Definition der Torsion. Es reicht also, das zu zeigendQ/dsQ ^T ist eine schiefsymmetrische Matrix . Wegen I = QQ ^T ergibt eine Ableitung und Anwendung der Produktregel

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}0={\frac {dI}{ds}}=\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }+Q\left({ \frac {dQ}{ds}}\right)^{\top }\\\impliziert \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }=-\left(\left ({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }\right)^{\top }\\\end{ausgerichtet}}}$

was die erforderliche Skew-Symmetrie festlegt.

Anwendungen und Interpretation

Kinematik des Rahmens

Der Frenet-Serret-Rahmen bewegt sich entlang einer Helix im Raum

Der Frenet-Serret-Rahmen, der aus der Tangente T , der Normalen N und der Binormalen B besteht , bildet zusammen eine Orthonormalbasis des 3-Raums. An jedem Punkt der Kurve, dies legt ein Bezugssystem oder geradliniges Koordinatensystem (siehe Abbildung).

Die Frenet-Serret-Formeln lassen eine kinematische Interpretation zu. Stellen Sie sich vor, ein Beobachter bewegt sich zeitlich entlang der Kurve und verwendet den an jedem Punkt angebrachten Rahmen als sein Koordinatensystem. Die Frenet-Serret-Formeln bedeuten, dass sich dieses Koordinatensystem ständig dreht, wenn sich ein Beobachter entlang der Kurve bewegt. Daher ist dieses Koordinatensystem immer nicht inertial . Der Drehimpuls des Koordinatensystems des Beobachters ist proportional zum Darboux-Vektor des Rahmens.

Es wird beobachtet, dass sich ein Kreisel, dessen Achse entlang der Binormalen liegt, mit der Winkelgeschwindigkeit κ dreht. Wenn die Achse entlang der Tangente liegt, wird beobachtet, dass sie sich mit der Winkelgeschwindigkeit τ dreht.

Nehmen wir konkret an, der Beobachter trägt einen (Trägheits-) Kreisel (oder ein Gyroskop ) entlang der Kurve mit sich. Wenn die Achse der Spitze entlang der Tangente an die Kurve zeigt, wird beobachtet, dass sie sich mit der Winkelgeschwindigkeit -τ relativ zum nichtinertialen Koordinatensystem des Beobachters um ihre Achse dreht. Wenn andererseits die Achse der Spitze in die binormale Richtung zeigt, dann wird beobachtet, dass sie sich mit der Winkelgeschwindigkeit -κ dreht. Dies kann man sich leicht vorstellen, wenn die Krümmung eine positive Konstante ist und die Torsion verschwindet. Der Beobachter befindet sich dann in einer gleichmäßigen Kreisbewegung . Zeigt der Kreisel in Richtung der Binormalen, so muss er sich unter Drehimpulserhaltung entgegen der Kreisbewegung drehen . Im Grenzfall, in dem die Krümmung verschwindet, präzediert die Normale des Beobachters um den Tangentenvektor, und ähnlich dreht sich der Kreisel in die entgegengesetzte Richtung dieser Präzession.

Der allgemeine Fall ist unten dargestellt . Auf Wikimedia gibt es weitere Illustrationen .

Anwendungen. Die Kinematik des Rahmens hat viele Anwendungen in den Wissenschaften.

• In den Biowissenschaften , insbesondere in Modellen der mikrobiellen Bewegung, wurden Betrachtungen des Frenet-Serret-Systems verwendet, um den Mechanismus zu erklären, durch den ein sich bewegender Organismus in einem viskosen Medium seine Richtung ändert.
• In der Physik ist der Frenet-Serret-Rahmen nützlich, wenn es unmöglich oder unbequem ist, einer Flugbahn ein natürliches Koordinatensystem zuzuweisen. Dies ist beispielsweise in der Relativitätstheorie häufig der Fall . In dieser Umgebung wurden Frenet-Serret-Frames verwendet, um die Präzession eines Gyroskops in einem Gravitationsbrunnen zu modellieren.

Grafische Illustrationen

1. Beispiel für eine sich bewegende Frenet-Basis ( T in Blau, N in Grün, B in Violett) entlang der Viviani-Kurve .

2. Am Beispiel eines Torusknotens sind der Tangentenvektor T , der Normalenvektor N und der Binormalenvektor B sowie die Krümmung κ(s) und die Torsion τ(s) dargestellt.
   An den Spitzen der Torsionsfunktion ist die Drehung des Frenet-Serret-Rahmens ( T , N , B ) um den Tangentenvektor deutlich sichtbar.

3. Die kinematische Bedeutung der Krümmung lässt sich am besten mit ebenen Kurven (mit konstanter Torsion gleich Null) veranschaulichen. Siehe die Seite zur Krümmung ebener Kurven .

Frenet-Serret-Formeln in der Infinitesimalrechnung

Die Frenet-Serret-Formeln werden häufig in Kursen zur Multivariablenrechnung als Begleiter zum Studium von Raumkurven wie der Helix eingeführt . Eine Helix kann durch die Höhe 2π h und den Radius r einer einzelnen Windung charakterisiert werden . Die Krümmung und Torsion einer Helix (mit konstantem Radius) sind durch die Formeln

${\displaystyle \kappa ={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \tau =\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.}$

Zwei Helices (Slinkies) im Weltraum. (a) Eine kompaktere Helix mit höherer Krümmung und geringerer Torsion. (b) Eine gestreckte Helix mit etwas höherer Torsion, aber geringerer Krümmung.

Das Vorzeichen der Torsion wird durch den rechts- oder linkshändig bestimmt Sinn , bei dem die Helix dreht sich um seine Mittelachse. Explizit ist die Parametrisierung einer einzigen Windung einer rechtshändigen Helix mit 2π Höhe h und dem Radius r ist ,

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

und für eine linkshändige Helix,

x = r cos t

y = − r sin t

z = h t

(0 t ≤ 2 π).

Beachten Sie, dass dies nicht die Bogenlängenparametrisierungen sind (in diesem Fall müsste jedes von x , y und z durch geteilt werden .) ${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

Rudy Rucker verwendet in seinen erläuternden Schriften zur Geometrie von Kurven das Modell eines Slinkys , um die Bedeutung von Torsion und Krümmung zu erklären. Das Slinky, sagt er, zeichnet sich durch die Eigenschaft aus, dass die Menge

${\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}$

bleibt konstant, wenn der Slinky vertikal entlang seiner Mittelachse gestreckt wird. (Hier ist 2π h die Höhe einer einzelnen Drehung des Slinky und r der Radius.) Insbesondere sind Krümmung und Torsion komplementär in dem Sinne, dass die Torsion auf Kosten der Krümmung durch Strecken des Slinkys erhöht werden kann.

Taylor-Erweiterung

Wiederholtes Differenzieren der Kurve und Anwenden der Frenet-Serret-Formeln ergibt die folgende Taylor-Approximation für die Kurve in der Nähe von s  = 0:

${\displaystyle \mathbf{r}(s)=\mathbf{r} (0)+\left(s-{\frac{s^{3}\kappa^{2}(0)}{6}}\ rechts)\mathbf{T} (0)+\left({\frac{s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)} {6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B } (0)+o(s^{4}).}$

Für eine generische Kurve mit nicht verschwindender Torsion hat die Projektion der Kurve auf verschiedene Koordinatenebenen im T , N , B Koordinatensystem bei s = 0 die folgenden Interpretationen:

• Die Schmiegungsebene ist die Ebene, die T und N enthält . Die Projektion der Kurve auf diese Ebene hat die Form:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+ o(s^{2}).}$$

  
  Dies ist eine Parabel bis zur Ordnung o ( s ² ), deren Krümmung bei 0 gleich κ (0) ist.
• Die Normalebene ist die Ebene, die N und B enthält . Die Projektion der Kurve auf diese Ebene hat die Form:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0) }{6}}\right)\mathbf{N} (0)+\left({\frac{s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf { B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  das ist ein kuspidales Kubikum in Ordnung o ( s ³ ).
• Die gleichrichtende Ebene ist die Ebene, die T und B enthält . Die Projektion der Kurve auf diese Ebene ist:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0 )+\left({\frac{s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf{B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  die den Graphen eines kubischen Polynoms bis zur Ordnung o ( s ³ ) verfolgt.

Bänder und Tuben

Ein Band, das durch eine Kurve konstanter Torsion und eine stark oszillierende Krümmung definiert ist. Die Parametrisierung der Bogenlänge der Kurve wurde durch Integration der Frenet-Serret-Gleichungen definiert.

Die Frenet-Serret-Apparatur erlaubt es, bestimmte optimale Bänder und Röhren zu definieren , die um eine Kurve zentriert sind. Diese haben vielfältige Anwendungen in der Materialwissenschaft und Elastizitätstheorie sowie in der Computergrafik .

Das Frenet-Band entlang einer Kurve C ist die Fläche, die durch Überstreichen des Liniensegments [− N , N ] nachgezeichnet wird , das von der Einheitsnormalen entlang der Kurve erzeugt wird. Diese Fläche wird manchmal mit der Tangente abwickelbar verwechselt , die die Einhüllende E der Schmiegflächen von C ist . Dies liegt vielleicht daran, dass sowohl das Frenet-Band als auch E entlang C ähnliche Eigenschaften aufweisen . Die Tangentialebenen beider Blätter von E , nahe dem singulären Ort C, wo sich diese Blätter schneiden, nähern sich nämlich den Schmiegflächen von C ; die Tangentialebenen des Frenet-Bandes entlang C sind gleich diesen Schmiegebenen. Das Frenet-Bändchen ist im Allgemeinen nicht entwickelbar.

Kongruenz von Kurven

In der klassischen euklidischen Geometrie interessiert man sich für das Studium der Eigenschaften von Figuren in der Ebene, die unter Kongruenz invariant sind , so dass, wenn zwei Figuren kongruent sind, sie die gleichen Eigenschaften haben müssen. Der Frenet-Serret-Apparat präsentiert die Krümmung und Torsion als numerische Invarianten einer Raumkurve.

Grob gesagt sind zwei Raumkurven C und C ′ deckungsgleich, wenn eine starr zur anderen verschoben werden kann. Eine starre Bewegung besteht aus einer Kombination aus Translation und Rotation. Eine Translation verschiebt einen Punkt von C zu einem Punkt von C ′. Die Drehung passt dann die Ausrichtung der Kurve C an die von C an. Eine solche Kombination aus Translation und Rotation wird als euklidische Bewegung bezeichnet . In Bezug auf die Parametrisierung r ( t ), die die erste Kurve C definiert , ist eine allgemeine euklidische Bewegung von C eine Zusammensetzung der folgenden Operationen:

• ( Translation ) r ( t ) → r ( t ) + v , wobei v ein konstanter Vektor ist.
• ( Rotation ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), wobei M die Matrix einer Rotation ist.

Der Frenet-Serret-Rahmen verhält sich besonders gut in Bezug auf euklidische Bewegungen. Da erstens T , N und B alle als aufeinanderfolgende Ableitungen der Parametrisierung der Kurve angegeben werden können, ist jede von ihnen unempfindlich gegenüber der Addition eines konstanten Vektors zu r ( t ). Intuitiv der TNB befestigt Rahmen r ( t ) ist die gleiche wie der TNB - Rahmen an die neue Kurve r ( t ) + v .

Damit bleiben nur die Drehungen zu berücksichtigen. Wenn wir eine Drehung M auf die Kurve anwenden , dreht sich intuitiv auch der TNB- Rahmen. Genauer gesagt ändert sich die Matrix Q, deren Zeilen die TNB- Vektoren des Frenet-Serret-Rahmens sind, um die Matrix einer Drehung

${\displaystyle Q\rightarrow QM.}$

A fortiori , die MatrixdQ/dsQ ^T ist von einer Drehung nicht betroffen:

${\displaystyle {\frac {d(QM)}{ds}}(QM)^{\top }={\frac {dQ}{ds}}MM^{\top }Q^{\top }={\ frac {dQ}{ds}}Q^{\top }}$

da MM ^T = I für die Matrix einer Rotation.

Daher die Einträge κ und τ vondQ/dsQ ^T sind Invarianten der Kurve unter euklidischen Bewegungen: Wenn eine euklidische Bewegung auf eine Kurve angewendet wird, dann hat die resultierende Kurve die gleiche Krümmung und Torsion.

Darüber hinaus kann man mit dem Frenet-Serret-Rahmen auch das Gegenteil beweisen: Zwei beliebige Kurven mit gleicher Krümmungs- und Torsionsfunktion müssen durch eine euklidische Bewegung kongruent sein. Grob gesagt drücken die Frenet-Serret-Formeln die Darboux-Ableitung des TNB- Rahmens aus. Wenn die Darboux-Ableitungen zweier Frames gleich sind, dann behauptet eine Version des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung , dass die Kurven kongruent sind. Insbesondere Krümmung und Torsion sind ein vollständiger Satz von Invarianten für eine dreidimensionale Kurve.

Andere Ausdrücke des Rahmens

Die oben angegebenen Formeln für T , N und B hängen davon ab, dass die Kurve in Form des Bogenlängenparameters angegeben wird. Dies ist eine natürliche Annahme in der euklidischen Geometrie, da die Bogenlänge eine euklidische Invariante der Kurve ist. In der Terminologie der Physik ist die Bogenlänge Parametrisierung eine natürliche Wahl der Lehre . In der Praxis kann es jedoch umständlich sein, damit zu arbeiten. Es stehen eine Reihe anderer äquivalenter Ausdrücke zur Verfügung.

Angenommen, die Kurve sei durch r ( t ) gegeben, wobei der Parameter t nicht mehr die Bogenlänge sein muss. Dann kann der Einheitstangensvektor T geschrieben werden als

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}.}$

Der Normalenvektor N hat die Form

${\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf { r} '(t)\mal \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t) \right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}.}$

Das Binormale B ist dann

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r } ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}.}$

Ein alternativer Weg, um zu denselben Ausdrücken zu gelangen, besteht darin, die ersten drei Ableitungen der Kurve r ′( t ), r ′′( t ), r ′′′( t ) zu nehmen und den Gram-Schmidt-Prozess anzuwenden . Die resultierende geordnete Orthonormalbasis ist genau der TNB- Rahmen. Dieses Verfahren lässt sich auch verallgemeinern, um Frenet-Rahmen in höheren Abmessungen herzustellen.

Bezüglich des Parameters t nehmen die Frenet-Serret-Formeln einen zusätzlichen Faktor von || r ′( t )|| wegen der Kettenregel :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf { r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Explizite Ausdrücke für die Krümmung und Torsion können berechnet werden. Zum Beispiel,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\| ^{3}}}.}$

Die Torsion kann mit einem Skalartripelprodukt wie folgt ausgedrückt werden :

${\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}.}$

Sonderfälle

Wenn die Krümmung immer Null ist, ist die Kurve eine gerade Linie. Hier sind die Vektoren N , B und die Torsion nicht genau definiert.

Wenn die Torsion immer Null ist, liegt die Kurve in einer Ebene.

Eine Kurve kann eine Krümmung ungleich null und eine Torsion von null aufweisen. Zum Beispiel hat der Kreis mit dem Radius R, gegeben durch r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) in der z = 0-Ebene keine Torsion und Krümmung gleich 1/ R . Das Gegenteil ist jedoch falsch. Das heißt, eine reguläre Kurve mit einer Torsion ungleich null muss eine Krümmung ungleich null haben. (Dies ist nur das Gegenteil der Tatsache, dass keine Krümmung eine Null-Torsion impliziert.)

Eine Helix hat konstante Krümmung und konstante Torsion.

Ebene Kurven

Bei einer Kurve auf der enthaltenen x - y - Ebene, dessen Tangentenvektor T ist auch auf dieser Ebene enthalten ist . Es kann natürlich postuliert werden, dass sein binormaler Vektor B mit der Normalen zur Ebene (entlang der z- Achse) übereinstimmt . Schließlich kann die Kurvennormale gefunden werden, die das rechtshändige System vervollständigt, N = B × T . Diese Form ist selbst dann wohldefiniert, wenn die Krümmung null ist; zum Beispiel ist die Normale zu einer geraden Linie in einer Ebene senkrecht zur Tangente, alle koplanar.

Siehe auch

• Affine Kurvengeometrie
• Differentialgeometrie von Kurven
• Darboux-Rahmen
• Kinematik
• Beweglicher Rahmen

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links

• Erstellen Sie Ihre eigenen animierten Illustrationen von sich bewegenden Frenet-Serret-Rahmen, Krümmungs- und Torsionsfunktionen ( Maple -Worksheet)
• Rudy Ruckers KappaTau Papier .
• Sehr schöne visuelle Darstellung für den Trieder