Doxastische Logik - Doxastic logic

Doxastische Logik ist eine Art von Logik, die sich mit dem Nachdenken über Glaubenssätze beschäftigt .

Der Begriff doxastic leitet sich vom altgriechischen δόξα ( doxa , „Meinung, Glaube“) ab, von dem auch der englische Begriff doxa („populäre Meinung oder Glaube“) entlehnt ist. Typischerweise verwendet eine doxastische Logik die Notation , um "Es wird angenommen, dass dies der Fall ist" zu bedeuten , und die Menge bezeichnet eine Menge von Überzeugungen . In der doxastischen Logik wird Glaube als modaler Operator behandelt . ${\displaystyle {\mathcal {B}}x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb{B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$

Es besteht eine vollständige Parallelität zwischen einer Person, die Aussagen glaubt , und einem formalen System , das Aussagen ableitet . Unter Verwendung der doxastischen Logik kann man das epistemische Gegenstück von Gödels Unvollständigkeitssatz der Metalogik sowie von Löbs Satz und andere metalogische Ergebnisse in Bezug auf Glauben ausdrücken .

Arten von Denkern

Um die Eigenschaften von Glaubenssätzen zu demonstrieren, definiert Raymond Smullyan die folgenden Arten von Denkern:

• Genauer Denker : Ein genauer Denker glaubt niemals an falsche Aussagen. (modales Axiom T )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to p}$

• Ungenauer Denker : Ein ungenauer Denker glaubt an mindestens eine falsche Aussage.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p}$

• Eingebildeter Denker : Ein eingebildeter Denker glaubt, dass seine Überzeugungen niemals ungenau sind.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}} [\forall p({\mathcal{B}}p\to p)]}$

• Konsequenter Denker : Ein konsequenter Denker glaubt nie gleichzeitig an einen Satz und seine Negation. (modales Axiom D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B} }p\to\neg {\mathcal{B}}\neg p}$

• Normaler Denker : Ein normaler Denker ist jemand, der zwar glaubt, aber auch an p glaubt (modales Axiom 4 ).${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

• Eigentümlicher Denker : Ein eigentümlicher Denker glaubt Satz p, glaubt aber auch nicht zu glauben Obwohl ein eigentümlicher Denker wie ein seltsames psychologisches Phänomen erscheinen mag (siehe Moores Paradox ), ist ein eigentümlicher Denker notwendigerweise ungenau, aber nicht unbedingt inkonsistent.${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Regelmäßiger Denker : Ein regelmäßiger Denker ist jemand, der zwar glaubt , aber auch glaubt .${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}} Q)}$

• Reflexiver Denker : Ein reflexiver Denker ist einer, für den jeder Satz einen Satz hat , an den der Denker glaubt .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p:\exists q{\mathcal{B}}(q\equiv ({\mathcal{B}}q\to p))}$

Wenn ein reflexiver Denker vom Typ 4 [siehe unten ] glaubt , wird er p. Dies ist eine Parallelität des Satzes von Löb für Vernunftgründer.${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$

• Instabiler Denker : Ein instabiler Denker ist jemand, der glaubt, dass er eine Aussage glaubt, aber tatsächlich nicht glaubt. Dies ist ein ebenso seltsames psychologisches Phänomen wie eine Besonderheit; ein instabiler Denker ist jedoch nicht unbedingt inkonsistent.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• Stabiler Reasoner : Ein stabiler Reasoner ist nicht instabil. Das heißt, für alle , die glauben, dann glauben sie Beachten Sie, dass Stabilität das Gegenteil von Normalität ist. Wir werden sagen, dass ein Denker glaubt, dass er stabil ist, wenn er für jede Aussage glaubt (glaubt: "Wenn ich jemals glauben sollte, dass ich glaube, dann werde ich wirklich glauben ").${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal{B}}{\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• Bescheidener Denker : Ein bescheidener Denker ist einer, der für jeden geglaubten Satz nur dann glaubt , wenn er glaubt . Ein bescheidener Denker glaubt nie, es sei denn, er glaubt . Jeder reflexive Denker vom Typ 4 ist bescheiden. ( Satz von Löb )${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• Queer Reasoner : Ein Queer Reasoner ist vom Typ G und glaubt, dass er inkonsistent ist – aber er liegt in dieser Annahme falsch.
• Schüchterner Denker : Ein ängstlicher Denker glaubt nicht [hat "Angst zu" zu glauben ], wenn er glaubt, dass der Glaube zu einem widersprüchlichen Glauben führt.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot)\to \neg {\mathcal {B}}p}$

Steigerung der Rationalität

• Denker vom Typ 1 : Ein Denker vom Typ 1 hat vollständige Kenntnisse der Aussagenlogik, dh er glaubt früher oder später jeder Tautologie (jedem Satz, der durch Wahrheitstafeln beweisbar ist ). Auch ihre Glaubenssätze (Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft) sind im Modus Ponens logisch geschlossen . Wenn sie jemals glauben und dann werden sie (früher oder später) glauben .${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

Man kann sich diese Regel auch so vorstellen, dass sich der Glaube über die Implikation verteilt, da sie logisch äquivalent zu ist

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

• Denker vom Typ 1* : Ein Denker vom Typ 1* glaubt an alle Tautologien; ihre Glaubenssätze (Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft) sind unter dem Modus Ponens logisch geschlossen, und für alle Aussagen, und wenn sie glauben, werden sie glauben, dass sie glauben werden, wenn sie glauben . Der Denker vom Typ 1* hat „eine Nuance mehr“ Selbstbewusstsein als ein Denker vom Typ 1.${\displaystyle p}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}} Q)}$

• Typ 2 reasoner : A reasoner vom Typ 2 , wenn sie vom Typ 1 sind und wenn für jeden und sie (richtig) glauben: „Wenn ich jemals beide glauben soll und , dann werde ich glauben .“ Da sie vom Typ 1 sind, glauben sie auch an die logisch äquivalente Aussage: Ein Denker vom Typ 2 weiß, dass seine Überzeugungen unter dem Modus Ponens geschlossen sind.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal{B}}(p\to q)\to ({\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B }}Q)}$

• Typ 3 reasoner : A reasoner ist vom Typ 3 , wenn sie ein normalen reasoner vom Typ 2 sind.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}{\mathcal{B}}p}$

• Typ 4 reasoner : A reasoner ist vom Typ 4 , wenn sie vom Typ 3 sind und auch glauben , dass sie normal sind.

${\displaystyle {\mathcal{B}}[\forall p({\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}{\mathcal{B}}p)]}$

• Denker vom Typ G : Ein Denker vom Typ 4, der glaubt, bescheiden zu sein.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

Selbsterfüllende Glaubenssätze

Für Systeme definieren wir Reflexivität so, dass es für jedes (in der Sprache des Systems) ein solches gibt, das im System beweisbar ist. Der Satz von Löb (in allgemeiner Form) ist, dass für jedes reflexive System vom Typ 4, wenn im System beweisbar ist, so ist${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p.}$

Inkonsistenz des Glaubens an die eigene Stabilität

Wenn ein konsequenter reflexiver Denker vom Typ 4 glaubt, dass sie stabil sind, dann werden sie instabil. Anders ausgedrückt, wenn ein stabiler reflexiver Denker vom Typ 4 glaubt, dass er stabil ist, dann wird er inkonsistent. Warum ist das? Angenommen, ein stabiler reflexiver Denker vom Typ 4 glaubt, dass er stabil ist. Wir werden zeigen, dass sie (früher oder später) jeden Satz glauben (und daher widersprüchlich sind). Nehmen Sie irgendeinen Satz an Der Denker glaubt daher nach Löbs Theorem, dass er glauben wird (weil er glaubt, wo der Satz ist und deshalb glauben er, was der Satz ist ). Da sie stabil sind, werden sie dann glauben${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\mathcal{B}}{\mathcal{B}}p\to {\mathcal{B}}p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$

Siehe auch

• Epistemische Modallogik
• Glaubensrevision
• Allgemeinwissen (Logik)
• George Boolos
• Jaakko Hintikka
• Modale Logik
• Raymond Smullyan

Verweise

Weiterlesen

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). „DDL Unlimited. Dynamische Doxastic Logic für introspektive Agenten“. Erkenntnis . 51 (2–3): 353–385. doi : 10.1023/A:1005577906029 .
• Linski, L. (1968). „Über die Interpretation der doxastischen Logik“. Zeitschrift für Philosophie . 65 (17): 500–502. JSTOR  2024352 .
• Segerberg, Kr. (1999). „Standardlogik als dynamische doxastische Logik“. Erkenntnis . 50 (2–3): 333–352. doi : 10.1023/A:1005546526502 .
• Winging, H. (2000). „Eine Reduktion der doxastischen Logik auf Aktionslogik“. Erkenntnis . 53 (1–2): 267–283. doi : 10.1023/A:1005666218871 .