Elliott Formel - Elliott formula

Die Elliott-Formel beschreibt analytisch oder mit wenigen einstellbaren Parametern wie der Dephasierungskonstante die Lichtabsorptions- oder Emissionsspektren von Festkörpern . Es wurde ursprünglich von Roger James Elliott abgeleitet , um die lineare Absorption basierend auf den Eigenschaften eines einzelnen Elektron-Loch-Paares zu beschreiben. Die Analyse kann auf eine Vielkörperuntersuchung mit voller Vorhersagekraft erweitert werden, wenn alle Parameter mikroskopisch berechnet werden, z. B. unter Verwendung der Halbleiter-Bloch-Gleichungen (abgekürzt als SBEs) oder der Halbleiter-Lumineszenzgleichungen (abgekürzt als SLEs).

Hintergrund

Eine der präzisesten Theorien des Halbleiter Absorption und Photolumineszenz wird durch die SBEs und SLEs vorgesehen. Beide werden systematisch ausgehend vom Vielkörper- / quantenoptischen System Hamiltonian abgeleitet und beschreiben die resultierende Quantendynamik optischer und quantenoptischer Observablen wie optische Polarisation (SBEs) und Photolumineszenzintensität (SLEs) vollständig. Alle relevanten Vielteilcheneffekte können mithilfe verschiedener Techniken wie dem Cluster-Expansions-Ansatz systematisch einbezogen werden .

Sowohl die SBEs als auch die SLEs enthalten einen identischen homogenen Teil, der entweder von einem klassischen Feld (SBEs) oder von einer Spontanemissionsquelle (SLEs) angetrieben wird. Dieser homogene Teil ergibt ein Eigenwertproblem, das durch die verallgemeinerte Wannier-Gleichung ausgedrückt werden kann, die in speziellen Fällen analytisch gelöst werden kann. Insbesondere ist die Wannier-Gleichung niedriger Dichte analog zu gebundenen Lösungen des Wasserstoffproblems der Quantenmechanik. Diese werden oft als Exzitonenlösungen bezeichnet und beschreiben formal die Coulomb-Bindung durch entgegengesetzt geladene Elektronen und Löcher. Die tatsächliche physikalische Bedeutung von exzitonischen Zuständen wird im Zusammenhang mit den SBEs und SLEs weiter diskutiert . Die Exzitonen Eigenfunktionen sind bezeichnet mit dem Etikett des Exzitonen Zustandes mit Eigenenergie und ist der Kristallimpuls von Ladungsträgern in dem Feststoff . ${\ displaystyle \ phi _ {\ lambda} ({\ mathbf {k}})}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ hbar {\ mathbf {k}}}$

Diese Exzitonen-Eigenzustände liefern wertvolle Einblicke in SBEs und SLEs, insbesondere wenn man das lineare Halbleiterabsorptionsspektrum oder die Photolumineszenz unter stationären Bedingungen analysiert . Man verwendet einfach die konstruierten Eigenzustände, um die homogenen Teile der SBEs und SLEs zu diagonalisieren . Unter stationären Bedingungen können die resultierenden Gleichungen analytisch gelöst werden, wenn man sich der Dephasierung aufgrund von Mehrkörpereffekten höherer Ordnung weiter annähert. Wenn solche Effekte vollständig enthalten sind, muss auf einen numerischen Ansatz zurückgegriffen werden. Nachdem die Exzitonenzustände erhalten wurden, kann man schließlich die lineare Absorption und die stationäre Photolumineszenz analytisch ausdrücken.

Der gleiche Ansatz kann angewendet werden, um das Absorptionsspektrum für Felder zu berechnen, die im Terahertz-Bereich (abgekürzt als THz) der elektromagnetischen Strahlung liegen . Da die THz-Photonenenergie im meV- Bereich liegt, ist sie meistens mit den Vielkörperzuständen resonant, nicht mit den Interbandübergängen, die typischerweise im eV- Bereich liegen. Technisch gesehen sind die THz-Untersuchungen eine Erweiterung der gewöhnlichen SBEs und / oder beinhalten die explizite Lösung der Dynamik von Zwei-Teilchen-Korrelationen. Wie beim optischen Absorptions- und Emissionsproblem kann man die homogenen Teile, die analytisch entstehen, mit Hilfe der Exzitonen-Eigenzustände diagonalisieren. Sobald die Diagonalisierung abgeschlossen ist, kann man die THz-Absorption analytisch berechnen.

Alle diese Ableitungen beruhen auf den stationären Bedingungen und der analytischen Kenntnis der Exzitonenzustände. Darüber hinaus kann der Effekt weiterer Vielteilchenbeiträge, wie der anregungsinduzierten Dephasierung , mikroskopisch in den Wannier-Löser einbezogen werden, wodurch die Notwendigkeit entfällt, eine phänomenologische Dephasierungskonstante, Energieverschiebungen oder ein Screening der Coulomb-Wechselwirkung einzuführen .

Lineare optische Absorption

Charakteristisches lineares Absorptionsspektrum von Bulk-GaAs unter Verwendung von Zweiband-SBEs. Der Polarisationsabfall wird mit einer Abklingkonstante angenähert und als Funktion der Photonenenergie des Pumpfeldes berechnet . Die Energie wird gegenüber der Bandlückenenergie verschoben und der Halbleiter wird anfänglich nicht angeregt. Aufgrund der verwendeten kleinen Dephasierungskonstante treten mehrere exzitonische Resonanzen (vertikale Linien) weit unterhalb der Bandlückenenergie auf. Die Größe der energiereichen Resonanzen wird zur besseren Sichtbarkeit mit 5 multipliziert.

{\ displaystyle \ alpha (E)}

{\ displaystyle \ hbar \ gamma = 0.13 \, \ mathrm {meV}}

{\ displaystyle \ alpha (E)}

{\ displaystyle E}

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {gap}} = 1.490 \, \ mathrm {meV}}

Die lineare Absorption einer breitbandigen schwachen optischen Sonde kann dann ausgedrückt werden als

Lineare Elliott-Formel

${\ displaystyle \ alpha (\ omega) = \ mathrm {Im} \ left [\ sum _ {\ lambda} {\ frac {F _ {\ lambda}} {E _ {\ lambda} - \ hbar \ omega - \ mathrm { i} \ gamma _ {\ lambda} (\ omega)}} \ right]}$

wobei die Sonde-Photonen - Energie ist, ist die Oszillatorstärke des Exzitonen - Zustand und ist die Dephasierung Konstante mit dem Exciton Zustand zugeordnet . Für eine phänomenologische Beschreibung kann als einzelner Anpassungsparameter verwendet werden, d . H. Eine vollständige mikroskopische Berechnung ergibt jedoch im Allgemeinen, dass sowohl der Exzitonenindex als auch die Photonenfrequenz abhängen . Als allgemeine Tendenz steigt für erhöhte, während die Abhängigkeit oft schwach ist. ${\ displaystyle \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle F _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda} \ rightarrow \ gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda} (\ omega)}$ ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Jede der Exzitonenresonanzen kann einen Peak im Absorptionsspektrum erzeugen, wenn die Photonenenergie mit übereinstimmt . Für direkte Halbleiter-gap , ist die Oszillatorstärke zu dem Produkt aus proportional Dipol-Matrixelement quadriert und daß Vanishes für alle Staaten mit Ausnahme derjenigen , die sphärisch symmetrisch sind. Mit anderen Worten, verschwindet nur für die -ähnlichen Zustände gemäß der Quantenzahlkonvention des Wasserstoffproblems. Daher erzeugt das optische Spektrum von Halbleitern mit direkter Lücke nur für den ähnlichen Zustand eine Absorptionsresonanz . Die Breite der Resonanz wird durch die entsprechende Dephasierungskonstante bestimmt. ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle | \ sum _ {\ mathbf {k}} \ phi _ {\ lambda} ({\ mathbf {k}}) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle F _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s}$

Im Allgemeinen bestehen die Exzitonen-Eigenenergien aus einer Reihe gebundener Zustände, die energetisch weit unterhalb der fundamentalen Bandlückenenergie entstehen, und einem Kontinuum ungebundener Zustände, die für Energien oberhalb der Bandlücke auftreten. Daher zeigt das Absorptionsspektrum eines typischen Halbleiters mit niedriger Dichte eine Reihe von Exzitonenresonanzen und dann einen Kontinuumsabsorptionsschwanz. Erhöht sich in realistischen Situationen schneller als der Abstand im Exzitonenzustand, so dass man in tatsächlichen Experimenten typischerweise nur wenige niedrigste Exzitonenresonanzen auflöst. ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda}}$

Die Konzentration der Ladungsträger beeinflusst die Form des Absorptionsspektrums erheblich. Bei ausreichend hohen Dichten entsprechen alle Energien Kontinuumszuständen, und einige der Oszillatorstärken können aufgrund des Pauli-Blocking- Effekts negativ bewertet werden . Physikalisch kann dies als die elementare Eigenschaft von Fermionen verstanden werden; Wenn ein bestimmter elektronischer Zustand bereits angeregt ist, kann er aufgrund des Pauli-Ausschlusses unter den Fermionen nicht ein zweites Mal angeregt werden. Daher können die entsprechenden elektronischen Zustände nur eine Photonenemission erzeugen, die als negative Absorption angesehen wird, dh eine Verstärkung, die die Voraussetzung für die Realisierung von Halbleiterlasern ist . ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$

Obwohl kann man das Hauptverhalten der Halbleiter - Absorption auf der Basis der Elliott Formel, detaillierten Prognosen über die genauen verstehen , und erfordert eine vollständige Vielteilchen-Berechnung bereits für mittlere Trägerdichten. ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle F _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda} (\ omega)}$

Photolumineszenz-Elliott-Formel

Photolumineszenzintensität berechnet nach der Elliott-Formel. Die Population von s-ähnlichen Exzitonenzuständen folgt einer Boltzmann-Verteilung bei 35 Kelvin, wobei die Population von 1 s auf vier Prozent unterdrückt wird und die Dephasierungskonstante ist . Die vertikalen Linien geben die Position von s- ähnlichen exzitonischen Resonanzen an, dh 1 s , 2 s , 3 s usw. Die Bandlückenenergie wird mit und 'arb bezeichnet. u. ' bedeutet beliebige Einheiten.

{\ displaystyle \ hbar \ gamma \ ca. 1 /, \ mathrm {meV}}

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {gap}}}

Nachdem der Halbleiter elektronisch angeregt wurde, entspannt sich das Trägersystem in ein Quasiequilibrium. Gleichzeitig lösen Vakuumfeldschwankungen eine spontane Rekombination von Elektronen und Löchern (elektronische Leerstellen) durch spontane Emission von Photonen aus. Im Quasiequilibrium ergibt sich ein vom Halbleiter emittierter stationärer Photonenfluss. Ausgehend von den SLEs kann die stationäre Photolumineszenz (abgekürzt als PL) in die Form gegossen werden

Photolumineszenz-Elliott-Formel

${\ displaystyle \ mathrm {PL} (\ omega) = \ mathrm {Im} \ left [\ sum _ {\ lambda} {\ frac {F _ {\ lambda} S _ {\ lambda}} {E _ {\ lambda} - \ hbar \ omega - \ mathrm {i} \ gamma _ {\ lambda} (\ omega)}} \ right] \ ,,}$

das ist der Elliott-Formel für die optische Absorption sehr ähnlich. Als Hauptunterschied hat der Zähler einen neuen Beitrag - die Quelle der spontanen Emission

${\ displaystyle S _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mathbf {k}} | \ phi _ {\ lambda} ({\ mathbf {k}}) | ^ {2} f _ {\ mathbf {k}} ^ {e} f _ {\ mathbf {k}} ^ {h} + \ Delta N _ {\ lambda} \;}$

das enthält Elektronen- und Lochverteilungen und wo ist der Trägerimpuls. Darüber hinaus enthält auch einen direkten Beitrag von Exzitonen - Populationen , die wirklich gebunden beschreiben Elektron-Loch - Paare. ${\ displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {e}}$ ${\ displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {h}}$ ${\ displaystyle \ hbar {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle S _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ Delta N _ {\ lambda}}$

Der Begriff definiert die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron und ein Loch mit demselben zu finden . Eine solche Form wird für eine Wahrscheinlichkeit erwartet, dass zwei unkorrelierte Ereignisse gleichzeitig bei einem gewünschten Wert auftreten. Daher stammt die Quelle für spontane Emissionen aus nicht korreliertem Elektronen-Loch- Plasma . Die Möglichkeit, wirklich korrelierte Elektron-Loch- Paare zu haben, wird durch eine Zwei-Teilchen-Exzitonen-Korrelation definiert . Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist direkt proportional zur Korrelation. Trotzdem kann sowohl das Vorhandensein von Elektronenlochplasma als auch von Exzitonen die spontane Emission äquivalent induzieren. Eine weitere Diskussion des relativen Gewichts und der Art von Plasma gegenüber Exzitonenquellen wird im Zusammenhang mit den SLEs vorgestellt . ${\ displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {e} f _ {\ mathbf {k}} ^ {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {e} f _ {\ mathbf {k}} ^ {h}}$ ${\ displaystyle \ Delta N _ {\ lambda}}$

Wie bei der Absorption emittiert ein Halbleiter mit direkter Lücke Licht nur bei den Resonanzen, die den gleichartigen Zuständen entsprechen. Als typischer Trend ist eine Quasiequilibrium-Emission um die 1 s- Resonanz herum stark ausgeprägt, da sie normalerweise für den Grundzustand am größten ist . Dieser Emissionspeak bleibt selbst bei hohen Anregungen, bei denen alle Zustände Kontinuumszustände sind, oft deutlich unter der fundamentalen Bandlückenenergie. Dies zeigt, dass Halbleiter häufig massiven Coulomb-induzierten Renormierungen ausgesetzt sind, selbst wenn das System nur Elektronen-Loch-Plasmazustände als Emissionsresonanzen zu haben scheint. Um eine genaue Vorhersage der genauen Position und Form bei erhöhten Trägerdichten zu treffen, muss auf die vollständigen SLEs zurückgegriffen werden. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda = 1s}$

Terahertz Elliott Formel

Terahertz-Absorptionsspektrum in Bulk-GaAs, berechnet nach der THz-Elliott-Formel. Die vertikalen Linien geben die n p -1 s Übergangsenergien an, von denen die erste (2 p -1 s Übergang) dominiert. Der 1 s -Bandlückenübergang liegt etwas über 4 meV, während die Dephasierungskonstante gewählt wird .

{\ displaystyle \ hbar \ gamma = 1.7 \, \ mathrm {meV}}

Wie oben diskutiert, ist es oft sinnvoll, das elektromagnetische Feld so abzustimmen, dass es mit den Übergängen zwischen zwei Vielkörperzuständen in Resonanz steht. Zum Beispiel kann man verfolgen, wie ein gebundenes Exziton von seinem 1 s- Grundzustand in einen 2 p- Zustand angeregt wird . In mehreren Halbleitersystemen benötigt man THz-Felder, um solche Übergänge zu induzieren. Ausgehend von einer stationären Konfiguration von Elektron-Loch-Korrelationen ergibt die Diagonalisierung der THz-induzierten Dynamik ein THz-Absorptionsspektrum

THz Elliott Formel

${\ displaystyle \ alpha _ {\ rm {THz}} (\ omega) = \ mathrm {Im} \ left [{\ frac {\ sum _ {\ nu, \ lambda} S ^ {\ nu, \ lambda} ( \ omega) \ Delta N _ {\ nu, \ lambda} - \ left [S ^ {\ nu, \ lambda} (- \ omega) \ Delta N _ {\ nu, \ lambda} \ right] ^ {\ star}} {\ omega (\ hbar \ omega + \ mathrm {i} \ gamma (\ omega))}} \ right] \;.}$

In dieser Notation bestimmen die diagonalen Beiträge die Population der Exzitonen. Die nicht diagonalen Elemente bestimmen formal die Übergangsamplituden zwischen zwei Exzitonenzuständen und . Bauen Sie sich bei erhöhten Dichten spontan auf und beschreiben Sie korreliertes Elektronen-Loch-Plasma , bei dem sich Elektronen und Löcher relativ zueinander bewegen, ohne gebundene Paare zu bilden. ${\ displaystyle \ Delta N _ {\ lambda, \ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ Delta N _ {\ nu, \ lambda \ neq \ nu}}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq \ nu}$ ${\ displaystyle \ Delta N _ {\ nu, \ lambda \ neq \ nu}}$

Im Gegensatz zur optischen Absorption und Photolumineszenz kann die THz-Absorption alle Exzitonenzustände umfassen. Dies ist aus der Spektralantwortfunktion ersichtlich

${\ displaystyle S ^ {\ nu, \ lambda} (\ omega) = \ sum _ {\ beta} {\ frac {(E _ {\ beta} -E _ {\ nu}) J _ {\ nu \ beta} J_ { \ beta \ lambda}} {E _ {\ beta} -E _ {\ nu} - \ hbar \ omega - \ mathrm {i} \ gamma _ {\ lambda, \ nu} (\ omega)}}}$

das enthält die Strommatrixelemente zwischen zwei Exzitonenzuständen. Der Einheitsvektor wird durch die Richtung des THz-Feldes bestimmt. Dies führt zu einem Dipol - Auswahlregeln unter Exzitonenzuständen, vollständig analog zu den atomaren Dipol Auswahlregeln . Jeder erlaubte Übergang erzeugt eine Resonanz in und die Resonanzbreite wird durch eine Dephasierungskonstante bestimmt , die im Allgemeinen von den beteiligten Exzitonenzuständen und der THz-Frequenz abhängt . Die THz-Antwort enthält auch diejenigen, die sich aus der Abklingkonstante makroskopischer THz-Ströme ergeben. ${\ displaystyle J _ {\ nu \ beta} \ propto \ sum _ {\ mathbf {k}} \ phi _ {\ nu} ^ {\ star} ({\ mathbf {k}}) {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {k}} _ {\ rm {THz}} \ phi _ {\ beta} ({\ mathbf {k}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {k}} _ {\ rm {THz}}}$ ${\ displaystyle S ^ {\ nu, \ lambda} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda, \ nu} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ gamma (\ omega)}$

Im Gegensatz zur optischen und Photolumineszenzspektroskopie kann die THz-Absorption das Vorhandensein von Exzitonenpopulationen in voller Analogie zur Atomspektroskopie direkt messen. Zum Beispiel identifiziert das Vorhandensein einer ausgeprägten 1 s- zu-2 p- Resonanz in der THz-Absorption das Vorhandensein von Exzitonen eindeutig, wie experimentell in Lit. 1 nachgewiesen. Als Hauptunterschied zur Atomspektroskopie enthalten Halbleiterresonanzen eine starke anregungsinduzierte Dephasierung, die viel breitere Resonanzen erzeugt als bei der Atomspektroskopie. In der Tat kann in der Regel ein einzigen 1 lösen s -bis-2 p - Resonanz , weil die Dephasierung konstant breite als energetischer Abstand der n- p und (n + 1) - p Zustände Herstellung 1 s -bis-n- p und 1 s- zu- (n + 1) p Resonanzen verschmelzen zu einem asymmetrischen Schwanz. ${\ displaystyle \ gamma _ {\ nu, \ lambda}}$

Siehe auch

Weiterführende Literatur

Haug, H.; Koch, SW (2009). Quantentheorie der optischen und elektronischen Eigenschaften von Halbleitern (5. Aufl.). World Scientific. p. 216. ISBN 978-9812838841 .
Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Festkörperphysik . Holt, Rinehart und Winston . ISBN 978-0-03-083993-1 .
Kira, M.; Koch, SW (2011). Halbleiterquantenoptik . Cambridge University Press. ISBN 978-0521875097 .
Klingshirn, CF (2006). Halbleiteroptik . Springer. ISBN 978-3540383451 .
Kalt, H.; Hetterich, M. (2004). Optik von Halbleitern und ihren Nanostrukturen . Springer. ISBN 978-3540383451 .

Verweise

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