Äquivariante Topologie - Equivariant topology

In der Mathematik ist die äquivariante Topologie das Studium topologischer Räume , die bestimmte Symmetrien besitzen. Bei der Untersuchung topologischer Räume werden häufig kontinuierliche Karten berücksichtigt , und während die äquivariante Topologie auch solche Karten berücksichtigt, gibt es die zusätzliche Einschränkung, dass jede Karte sowohl in ihrem Domänen- als auch in ihrem Zielraum "die Symmetrie respektiert" . ${\ displaystyle f: X \ bis Y}$

Der Begriff der Symmetrie wird normalerweise erfasst, indem eine Gruppenaktion einer Gruppe auf und betrachtet wird und erforderlich ist , dass diese Aktion unter dieser Aktion gleichwertig ist , so dass für alle eine Eigenschaft, die normalerweise mit bezeichnet wird . Heuristisch gesprochen Standardtopologie Ansichten , die zwei Räume als Äquivalent „bis zur Deformation“ , während äquivariante Topologie Äquivalent bis Deformationsräume hält so lange , wie es die Aufmerksamkeit auf jede Symmetrie durch beide Räume besaßen auszahlt. Ein berühmter Satz der äquivarianten Topologie ist der Borsuk-Ulam-Satz , der besagt , dass jede äquivariante Karte notwendigerweise verschwindet. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (g \ cdot x) = g \ cdot f (x)}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle f: X \ bis _ {G} Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle f: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Induzierte G- Bündel

Eine wichtige Konstruktion, die in der äquivarianten Kohomologie und anderen Anwendungen verwendet wird, umfasst ein natürlich vorkommendes Gruppenbündel ( Einzelheiten siehe Hauptbündel ).

Betrachten wir zunächst den Fall betrachtet, wirkt frei auf . Dann erhalten wir bei einer äquivarianten Karte Abschnitte, die durch gegeben sind , wobei die diagonale Aktion erhalten wird , und das Bündel ist gegeben , wobei Faser und Projektion gegeben sind durch . Oft wird der gesamte Speicherplatz geschrieben . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f: X \ bis _ {G} Y}$ ${\ displaystyle s_ {f}: X / G \ bis (X \ mal Y) / G}$ ${\ displaystyle [x] \ mapsto [x, f (x)]}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle g (x, y) = (gx, gy)}$ ${\ displaystyle p: (X \ mal Y) / G \ bis X / G}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle p ([x, y]) = [x]}$ ${\ displaystyle X \ times _ {G} Y}$

Im Allgemeinen ist die Zuordnung eigentlich nicht allgemein zugeordnet. Da es äquivariante ist, wenn (die Isotropie-Untergruppe), dann haben wir das durch Äquivarianz, so dass in der Tat auf die Sammlung von abgebildet wird . In diesem Fall kann man das Bündel durch einen ersetzt homotopy Quotienten wo frei wirkt und Bündel homotope das induzierte Bündel auf durch . ${\ displaystyle s_ {f}}$ ${\ displaystyle (X \ times Y) / G}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g \ in G_ {x}}$ ${\ displaystyle g \ cdot f (x) = f (g \ cdot x) = f (x)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ {[x, y] \ in (X \ mal Y) / G \ mid G_ {x} \ Teilmenge G_ {y} \}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Anwendungen zur diskreten Geometrie

Auf die gleiche Weise, wie man den Ham-Sandwich-Satz aus dem Borsuk-Ulam-Satz ableiten kann , kann man viele Anwendungen der äquivarianten Topologie auf Probleme diskreter Geometrie finden . Dies wird unter Verwendung des Konfigurationsraum-Testkartenparadigmas erreicht:

Bei einem geometrisches Problem definieren wir den Konfigurationsraum , , die parametrisiert alle dazugehörigen Lösungen für das Problem (wie Punkte, Linien oder Bögen.) Darüber hinaus betrachten wir einen Prüfraum und eine Karte , wo es eine Lösung für ein Problem , wenn und nur wenn . Schließlich ist es üblich, natürliche Symmetrien in einem diskreten Problem einer Gruppe zu berücksichtigen , auf die einwirkt und die unter diesen Aktionen gleichwertig ist. Das Problem ist gelöst, wenn wir die Nichtexistenz einer äquivarianten Karte zeigen können . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z \ subset V}$ ${\ displaystyle f: X \ bis V}$ ${\ displaystyle p \ in X}$ ${\ displaystyle f (p) \ in Z}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f: X \ bis V \ setminus Z}$

Hindernisse für die Existenz solcher Karten werden häufig algebraisch aus den topologischen Daten von und formuliert . Ein archetypisches Beispiel eines solchen Hindernisses kann mit einem Vektorraum und abgeleitet werden . In diesem Fall würde eine nicht verschwindende Karte auch einen nicht verschwindenden Abschnitt aus der obigen Diskussion hervorrufen , sodass die oberste Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden müsste. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V \ setminus Z}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Z = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle s_ {f}: x \ mapsto [x, f (x)]}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} (X \ times _ {G} Y)}$

Beispiele

Die Identitätskarte ist immer äquivariante. ${\ displaystyle i: X \ to X}$
Wenn wir auf den Einheitskreis antipodal wirken lassen , ist dies äquivariante, da es sich um eine ungerade Funktion handelt . ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {3}}$
Jede Karte ist äquivariante, wenn sie trivial auf den Quotienten einwirkt, da für alle . ${\ displaystyle h: X \ bis X / G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle h (g \ cdot x) = h (x)}$ ${\ displaystyle x}$

Siehe auch

Verweise

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