Euler charakteristisch für eine Orbifold - Euler characteristic of an orbifold

In der Differentialgeometrie ist die Euler-Charakteristik eines Orbifolds oder die Orbifold-Euler-Charakteristik eine Verallgemeinerung der topologischen Euler-Charakteristik , die Beiträge von nichttrivialen Automorphismen enthält . Insbesondere ist es im Gegensatz zu einem topologischen Euler-Merkmal nicht auf ganzzahlige Werte beschränkt und im Allgemeinen eine rationale Zahl . Es ist von Interesse für die mathematische Physik, insbesondere für die Stringtheorie . Bei einer kompakten Mannigfaltigkeit quotiented durch eine endliche Gruppe , die Euler - Charakteristik von IS ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M / G}$

{\ displaystyle \ chi (M, G) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g_ {1} g_ {2} = g_ {2} g_ {1}} \ chi (M ^ {g_ {1}, g_ {2}}),}

Wo ist die Reihenfolge der Gruppe , läuft die Summe über alle Paare von Pendelelementen von und ist die Menge der gleichzeitigen Fixpunkte von und . Wenn die Aktion frei ist, hat die Summe nur einen einzigen Term, und so reduziert sich dieser Ausdruck auf das topologische Euler-Merkmal von geteilt durch . ${\ displaystyle | G |}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M ^ {g_ {1}, g_ {2}}}$ ${\ displaystyle g_ {1}}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle | G |}$