Vierte Macht - Fourth power

In Arithmetik und Algebra ist die vierte Potenz einer Zahl n das Ergebnis der Multiplikation von vier Instanzen von n . So:

n ⁴ = n × n × n × n

Vierte Potenzen werden auch gebildet, indem man eine Zahl mit ihrem Kubus multipliziert . Außerdem sind sie Quadrate von Quadraten.

Die Folge der vierten Potenzen ganzer Zahlen (auch als Biquadrate oder tesseraktische Zahlen bekannt ) ist:

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... (Sequenz A000583 im OEIS ).

Eigenschaften

Die letzte Ziffer einer vierten Potenz in Dezimalzahlen kann nur 0 (eigentlich 0000), 1, 5 (eigentlich 0625) oder 6 sein.

Jede positive ganze Zahl kann als Summe von höchstens 19 vierten Potenzen ausgedrückt werden; jede ganze Zahl größer als 13792 kann als Summe von höchstens 16 vierten Potenzen ausgedrückt werden (siehe Warings Problem ).

Fermat wusste, dass eine vierte Potenz nicht die Summe von zwei anderen vierten Potenzen sein kann (der Fall n = 4 von Fermats letztem Satz ; siehe Fermats Satz für rechtwinklige Dreiecke ). Euler vermutete, dass eine vierte Potenz nicht als Summe von drei vierten Potenzen geschrieben werden kann, aber 200 Jahre später, 1986, wurde dies von Elkies widerlegt mit:

${\displaystyle 20615673^{4}=18796760^{4}+15365639^{4}+2682440^{4}.}$

Elkies zeigte, dass es unendlich viele andere Gegenbeispiele für Exponent vier gibt, von denen einige lauten:

${\displaystyle 2813001^{4}=2767624^{4}+1390400^{4}+673865^{4}}$ (Allan MacLeod)

${\displaystyle 8707481^{4}=8332208^{4}+5507880^{4}+1705575^{4}}$ (DJ Bernstein)

${\displaystyle 12197457^{4}=11289040^{4}+8282543^{4}+5870000^{4}}$ (DJ Bernstein)

${\displaystyle 16003017^{4}=14173720^{4}+12552200^{4}+4479031^{4}}$ (DJ Bernstein)

${\displaystyle 16430513^{4}=16281009^{4}+7028600^{4}+3642840^{4}}$ (DJ Bernstein)

${\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}}$ (Roger Frye, 1988)

${\displaystyle 638523249^{4}=630662624^{4}+275156240^{4}+219076465^{4}}$ (Allan MacLeod, 1998)

Gleichungen mit einer vierten Potenz

Gleichungen vierten Grades, die ein Polynom vierten Grades (aber kein höheres) enthalten, sind nach dem Satz von Abel-Ruffini die Gleichungen höchsten Grades, die eine allgemeine Lösung mit Radikalen haben .

Siehe auch

• Quadrat (Algebra)
• Würfel (Algebra)
• Potenzierung
• Fünfte Potenz (Algebra)
• Sechste Potenz
• Siebte Macht
• Perfekte Kraft

Verweise

• Weisstein, Eric W. "Biquadratische Zahl" . MathWorld .