Perfekte Kraft - Perfect power

Demonstration der perfekten Kraftnatur von 4, 8 und 9 . mit Cuisenaire-Ruten

In der Mathematik ist eine perfekte Potenz eine natürliche Zahl , die ein Produkt gleicher natürlicher Faktoren ist, oder mit anderen Worten eine ganze Zahl , die als Quadrat oder eine höhere ganzzahlige Potenz einer anderen ganzen Zahl größer als eins ausgedrückt werden kann . Formaler ausgedrückt ist n eine perfekte Potenz, wenn es natürliche Zahlen m > 1 und k > 1 mit m ^k = n gibt . In diesem Fall kann n als perfekte k- te Potenz bezeichnet werden . Wenn k = 2 oder k = 3 ist , dann n ist ein sogenanntes Quadrat oder perfekten Würfel , respectively. Manchmal werden 0 und 1 auch als perfekte Potenzen angesehen (0 ^k = 0 für jedes k > 0, 1 ^k = 1 für jedes k ).

Beispiele und Summen

Durch Iteration durch die möglichen Werte für m und k kann eine Folge perfekter Potenzen erzeugt werden . Die ersten aufsteigenden perfekten Potenzen in numerischer Reihenfolge (mit doppelten Potenzen) sind (Sequenz A072103 im OEIS ):

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^ {2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^ {2}=64,\dots}$

Die Summe der Kehrwerte der perfekten Potenzen (einschließlich Duplikate wie 3 ⁴ und 9 ² , die beide gleich 81 sind) ist 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

was wie folgt bewiesen werden kann:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m= 2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\ Summe _{m=2}^{\infty}{\frac{1}{m^{2}}}\left({\frac{m}{m-1}}\right)=\sum _{m =2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty}\left({\frac {1}{m-1 }}-{\frac{1}{m}}\right)=1\,.}$

Die ersten perfekten Potenzen ohne Duplikate sind:

(manchmal 0 und 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256 , 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (Sequenz A001597 im OEIS )

Die Summe der Kehrwerte der perfekten Potenzen p ohne Duplikate ist:

${\displaystyle \sum_{p}{\frac{1}{p}}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k))\approx 0,874464368 \Punkte}$

wobei μ( k ) die Möbius-Funktion und ζ( k ) die Riemann-Zeta-Funktion ist .

Laut Euler hat Goldbach (in einem verlorengegangenen Brief) gezeigt, dass die Summe von1/p − 1über der Menge perfekter Potenzen p , ohne 1 und ohne Duplikate, ist 1:

${\displaystyle \sum_{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1 }{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}} +\cdots=1.}$

Dies wird manchmal als Goldbach-Euler-Theorem bezeichnet .

Perfekte Kräfte erkennen

Das Erkennen, ob eine gegebene natürliche Zahl n eine perfekte Potenz ist oder nicht, kann auf viele verschiedene Arten und mit unterschiedlichen Komplexitätsgraden erreicht werden . Eine der einfachsten Methoden dieser Art besteht darin, alle möglichen Werte für k über jeden der Teiler von n bis zu berücksichtigen . Wenn also die Teiler von sind , muss einer der Werte gleich n sein, wenn n tatsächlich eine perfekte Potenz ist. ${\displaystyle k\leq\log_{2}n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots,n_{j}}$${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3} ,\dots}$

Dieses Verfahren kann sofort vereinfacht werden, indem stattdessen nur Primwerte von k betrachtet werden . Dies liegt daran, dass für eine Zusammensetzung, bei der p eine Primzahl ist, dies einfach umgeschrieben werden kann als . Aufgrund dieses Ergebnisses muss der Minimalwert von k notwendigerweise eine Primzahl sein. ${\displaystyle n=m^{k}}$ ${\displaystyle k=ap}$${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$

Wenn die vollständige Faktorisierung von n bekannt ist, sagen wir, wo es verschiedene Primzahlen gibt, dann ist n genau dann eine perfekte Potenz, wenn gcd den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet . Betrachten wir als Beispiel n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴ . Da gcd(96, 60, 24) = 12 ist, ist n eine perfekte 12. Potenz (und eine perfekte 6. Potenz, 4. Potenz, Würfel und Quadrat, da 6, 4, 3 und 2 12 teilen). ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}}}$${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \gcd(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r})>1}$

Lücken zwischen perfekten Kräften

Im Jahr 2002 bewies der rumänische Mathematiker Preda Mihăilescu , dass das einzige Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen 2 ³ = 8 und 3 ² = 9 ist, womit er die katalanische Vermutung bewies .

Die Vermutung von Pillai besagt, dass es für jede gegebene positive ganze Zahl k nur eine endliche Anzahl von Paaren perfekter Potenzen gibt, deren Differenz k ist . Dies ist ein ungelöstes Problem.

Siehe auch

• Primärleistung

Verweise

• Daniel J. Bernstein (1998). "Erkennen perfekter Potenzen in im Wesentlichen linearer Zeit" (PDF) . Mathematik der Berechnung . 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

Externe Links

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader und Jaume Paradís, Über eine Serie von Goldbach und Euler, 2004 (Pdf)