Fredholm-Betreiber - Fredholm operator

In der Mathematik sind Fredholm-Operatoren bestimmte Operatoren , die in der Fredholm-Theorie der Integralgleichungen vorkommen . Sie sind zu Ehren von Erik Ivar Fredholm benannt . Per Definition ist ein Fredholm-Operator ein beschränkter linearer Operator T  :  X  →  Y zwischen zwei Banach-Räumen mit endlichdimensionalem Kernel und endlichdimensionalem (algebraischem) Kokernel und mit geschlossenem Bereich . Die letzte Bedingung ist eigentlich überflüssig. ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {ran} \,T}$ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,T}$

Der Index eines Fredholm-Operators ist die ganze Zahl

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} \,T}$

oder mit anderen Worten,

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim\ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T.}$

Eigenschaften

Intuitiv sind Fredholm-Operatoren diejenigen Operatoren, die invertierbar sind, "wenn endlich-dimensionale Effekte ignoriert werden". Es folgt die formal korrekte Aussage. Ein beschränkter Operator T  :  X  →  Y zwischen den Banachräumen X und Y ist Fredholm genau dann, wenn es sich um invertierbare Modulo- Kompaktoperatoren handelt , dh wenn es einen beschränkten linearen Operator gibt

${\displaystyle S:Y\to X}$

so dass

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{und}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

sind kompakte Operatoren auf X und Y sind.

Wenn ein Fredholm-Operator leicht modifiziert wird, bleibt er Fredholm und sein Index bleibt gleich. Formal: Die Menge der Fredholm-Operatoren von X nach Y ist offen im Banachraum L( X ,  Y ) beschränkter linearer Operatoren, ausgestattet mit der Operatornorm , und der Index ist lokal konstant. Genauer gesagt, wenn T ₀ Fredholm von X bis Y ist , existiert ε  > 0 so dass jedes T in L( X ,  Y ) mit || T − T ₀ || < ε ist Fredholm, mit dem gleichen Index wie der von  T ₀ .

Wenn T Fredholm von X bis Y und U Fredholm von Y bis Z ist , dann ist die Zusammensetzung Fredholm von X bis Z und ${\displaystyle U\circ T}$

${\displaystyle \mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T).}$

Wenn T Fredholm ist, ist der Transponier- (oder Adjung-)Operator T  ′ Fredholm von Y  ′ nach X  ′ , und ind( T  ′) = −ind( T ) . Wenn X und Y sind Hilberträume , gilt das gleiche für den Abschluss Adjungierter Operator  T ^* .

Wenn T Fredholm und K ein kompakter Operator ist, dann ist T  +  K Fredholm. Der Index von T bleibt unter solch kompakten Störungen von T unverändert . Dies folgt aus der Tatsache, dass der Index i ( s ) von T + s  K eine ganze Zahl ist, die für jedes s in [0, 1] definiert ist und i ( s ) lokal konstant ist, also i (1) =  i (0) .

Invarianz durch Störung gilt für größere Klassen als die Klasse der kompakten Operatoren. Wenn beispielsweise U Fredholm und T ein streng singulärer Operator ist , dann ist T  +  U Fredholm mit demselben Index. Die Klasse der unwesentlichen Operatoren , die eigentlich die Klasse der streng singulären Operatoren enthält, ist die "Störungsklasse" für Fredholm-Operatoren. Dies bedeutet, dass ein Operator genau dann unwesentlich ist, wenn T+U für jeden Fredholm-Operator Fredholm ist . ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle U\in B(X,Y)}$

Beispiele

Sei ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis, die durch die nicht negativen ganzen Zahlen indiziert ist. Der (rechte) Verschiebungsoperator S auf H ist definiert durch ${\displaystyle H}$${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

Dieser Operator S ist injektiv (eigentlich isometrisch) und hat einen geschlossenen Bereich der Kodimension 1, daher ist S Fredholm mit . Die Befugnisse , sind Fredholmsche mit dem Index . Das adjungierte S* ist die Linksverschiebung, ${\displaystyle \mathrm {ind} (S)=-1}$${\displaystyle S^{k}}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle -k}$

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

Die Linksverschiebung S* ist Fredholm mit Index 1.

Ist H der klassische Hardy-Raum auf dem Einheitskreis T in der komplexen Ebene, dann ist der Verschiebungsoperator bezüglich der Orthonormalbasis komplexer Exponentialfunktionen ${\displaystyle H^{2}(\mathbf{T})}$

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \rightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\ geq 0,\,}$

ist der Multiplikationsoperator M _φ mit der Funktion . Allgemeiner sei φ eine komplexe stetige Funktion auf T , die auf nicht verschwindet , und T _φ bezeichne den Toeplitz-Operator mit dem Symbol φ , gleich der Multiplikation mit φ gefolgt von der orthogonalen Projektion : ${\displaystyle \varphi =e_{1}}$${\displaystyle\mathbf{T}}$${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf{T})\to H^{2}(\mathbf{T})}$

${\displaystyle T_{\varphi}:f\in H^{2}(\mathrm{T})\rightarrow P(f\varphi)\in H^{2}(\mathrm{T}).\,}$

Dann ist T _φ ein Fredholm-Operator auf , mit Index bezogen auf die Windungszahl um 0 des geschlossenen Pfades : Der Index von T _φ , wie in diesem Artikel definiert, ist das Gegenteil dieser Windungszahl. ${\displaystyle H^{2}(\mathbf{T})}$${\displaystyle t\in [0,2\pi]\mapsto \varphi (e^{it})}$

Anwendungen

Jeder elliptische Operator kann zu einem Fredholm-Operator erweitert werden. Die Verwendung von Fredholm-Operatoren in partiellen Differentialgleichungen ist eine abstrakte Form der Parametriermethode .

Der Indexsatz von Atiyah-Singer gibt eine topologische Charakterisierung des Index bestimmter Operatoren auf Mannigfaltigkeiten.

Der Satz von Atiyah-Jänich identifiziert die K-Theorie K ( X ) eines kompakten topologischen Raums X mit der Menge von Homotopieklassen stetiger Abbildungen von X in den Raum der Fredholm-Operatoren H → H , wobei H der separierbare Hilbert-Raum und die Menge dieser Operatoren trägt die Operatornorm.

Verallgemeinerungen

B-Fredholm-Betreiber

Für jede ganze Zahl , definiert die Beschränkung der sein , um als eine Karte aus betrachtet in (insbesondere ). Wenn für eine ganze Zahl der Raum geschlossen ist und ein Fredholm-Operator ist, dann wird er B-Fredholm-Operator genannt . Der Index eines B-Fredholm-Operators ist als Index des Fredholm-Operators definiert . Es wird gezeigt, dass der Index unabhängig von der ganzen Zahl ist . B-Fredholm-Operatoren wurden 1999 von M. Berkani als Verallgemeinerung der Fredholm-Operatoren eingeführt. ${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle T_{0}=T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$

Semi-Fredholm-Betreiber

Ein beschränkter linearer Operator T heißt semi-Fredholm, wenn sein Bereich abgeschlossen ist und mindestens einer von , endlichdimensional ist. Für einen Semi-Fredholm-Operator ist der Index definiert durch ${\displaystyle \ker T}$${\displaystyle \mathrm {coker} \,T}$

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \mathrm {coker} \,T ,&\dim \ker T+\dim \mathrm {coker} \,T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \mathrm {coker} \,T=\infty .\end{cases}}}$

Unbegrenzte Operatoren

Man kann auch unbeschränkte Fredholm-Operatoren definieren. Seien X und Y zwei Banachräume.

1. Der abgeschlossene lineare Operator heißt Fredholm, wenn sein Gebiet dicht in , sein Bereich geschlossen ist und sowohl Kernel als auch Kokern von T endlichdimensional sind.${\displaystyle T:\,X\to Y}$${\displaystyle {\mathfrak{D}}(T)}$${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$heißt semi-Fredholm, wenn sein Gebiet dicht in , sein Bereich geschlossen ist und entweder Kern oder Kokern von T (oder beides) endlichdimensional ist.${\displaystyle {\mathfrak{D}}(T)}$${\displaystyle X}$

Wie oben erwähnt, ist der Bereich eines abgeschlossenen Operators abgeschlossen, solange der Kokernel endlichdimensional ist (Edmunds und Evans, Satz I.3.2).

Anmerkungen

Verweise

• DE Edmunds und WD Evans (1987), Spektraltheorie und Differentialoperatoren, Oxford University Press. ISBN  0-19-853542-2 .
• AG Ramm, " Ein einfacher Beweis der Fredholm-Alternative und eine Charakterisierung der Fredholm-Operatoren ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) p. 855 (Hinweis: In diesem Papier bezieht sich das Wort "Fredholm-Operator" auf "Fredholm-Operator des Index 0").
• Weisstein, Eric W. "Fredholms Theorem" . MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], "Fredholm-Theoreme" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press
• Bruce K. Driver, „ Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem “, Analysis Tools with Applications , Kapitel 35, S. 579–600.
• Robert C. McOwen, „ Fredholm-Theorie partieller Differentialgleichungen auf vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten “, Pacific J. Math. 87 , nein. 1 (1980), 169–185.
• Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators , Geometry of Manifolds, Herbst 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)