Betreibernorm - Operator norm

In der Mathematik misst die Operatornorm die "Größe" bestimmter linearer Operatoren, indem sie jedem eine reelle Zahl zuweist, die als Operatornorm bezeichnet wird . Formal ist es eine Norm, die auf dem Raum beschränkter linearer Operatoren zwischen zwei gegebenen normierten Vektorräumen definiert ist .

Einführung und Definition

Für zwei gegebene normierte Vektorräume und (über das gleiche Basisfeld entweder die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen ), eine lineare Karte ist kontinuierlich , wenn und nur wenn es eine reelle Zahl vorhanden ist, so dass ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle\mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}}$ ${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle c}$

Die Norm auf der linken Seite ist die in und die Norm auf der rechten Seite ist die in . Intuitiv erhöht der stetige Operator die Länge eines Vektors nie um mehr als einen Faktor von Somit ist auch das Bild einer beschränkten Menge unter einem stetigen Operator beschränkt. Aufgrund dieser Eigenschaft werden die stetigen linearen Operatoren auch als beschränkte Operatoren bezeichnet . Um die "Größe" zu messen, kann man das Infimum der Zahlen so nehmen, dass die obige Ungleichung für alle gilt. Diese Zahl stellt den maximalen Skalarfaktor dar, um den Vektoren "verlängert" werden. Mit anderen Worten, die "Größe" von wird daran gemessen, um wie viel es die Vektoren im "größten" Fall "verlängert". Wir definieren also die Operatornorm von as ${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle v\in V.}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Das Infimum ist als die Menge alles solche erreicht wird geschlossen , nicht leer , und begrenzt von unten. ${\displaystyle c}$

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Operatornorm von der Wahl der Normen für die normierten Vektorräume und W abhängt . ${\displaystyle V}$

Beispiele

Jeder reelle -by- Matrix entspricht eine lineare Karte der zu jedem Paar der Vielzahl von (Vektor) Normen für reale Vektorräume induzieren eine Operatornorm für alle -by- Matrizen von reellen Zahlen; diese induzierten Normen bilden eine Untermenge von Matrixnormen . ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{m}.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Wenn wir speziell für beide die euklidische Norm wählen und dann ist die einer Matrix gegebene Matrixnorm die Quadratwurzel des größten Eigenwerts der Matrix (wobei bezeichnet die konjugierte Transponierte von ). Dies entspricht der Zuweisung des größten Singulärwerts von${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{m},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$

Um zu einem typischen unendlich-dimensionalen Beispiel überzugehen, betrachten wir den Folgenraum, der ein L ^p- Raum ist , definiert durch ${\displaystyle \ell^{2},}$

Dies kann als unendlichdimensionales Analogon des euklidischen Raums betrachtet werden Betrachten Sie nun eine beschränkte Folge Die Folge ist ein Element des Raums mit einer Norm gegeben durch ${\displaystyle \mathbb{C}^{n}.}$${\displaystyle s_{\bullet}=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty}.}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle \ell^{\infty},}$

Definiere einen Operator durch punktweise Multiplikation: ${\displaystyle T_{s}}$

Der Operator ist beschränkt mit Operatornorm ${\displaystyle T_{s}}$

Diese Diskussion erstreckt sich direkt auf den Fall, in dem durch ein allgemeines Leerzeichen mit ersetzt wird und durch . ersetzt wird${\displaystyle \ell^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle L^{\infty}.}$

Äquivalente Definitionen

Sei ein linearer Operator zwischen normierten Räumen. Die ersten vier Definitionen sind immer äquivalent, und wenn zusätzlich, dann sind sie alle äquivalent: ${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{op}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~ &&~{\mbox{ für alle }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ und }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ und }}~&&v\in V \}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ und }}~&&v\in V\ }\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ und }}~&&v\in V\}\;\;\;{ \text{ diese Gleichheit gilt genau dann, wenn }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|} }~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ und }}~&&v\in V{\bigg\}}\;\;\;{\text{ diese Gleichheit gilt genau dann, wenn }}V \neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Wenn dann die Mengen in den letzten beiden Zeilen leer sind und folglich ihre Supremums über die Menge gleich sind statt dem korrekten Wert von Wenn stattdessen das Supremum über die Menge übernommen wird, dann ist das Supremum der leeren Menge und die Formeln gelten für jedes Wenn ist dann beschränkt ${\displaystyle V=\{0\}}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle\infty}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle [0,\infty ]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle A:V\to W}$

und wo das ist Transponierte von denen der lineare Operator definiert durch${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$${\displaystyle A:V\to W,}$${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

Eigenschaften

Die Operatornorm ist tatsächlich eine Norm auf dem Raum aller beschränkten Operatoren zwischen und . Das heisst ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0{\mbox{ und }}\|A\|_{op}=0{\mbox{ wenn und nur wenn }}A=0,}$$

$${\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}{\mbox{ für jeden Skalar }}a,}$$

$${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}$$

Die folgende Ungleichung ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition:

$${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\ {\mbox{ für jedes }}\ v\in V.}$$

Die Operatornorm ist auch mit der Zusammensetzung oder Multiplikation von Operatoren kompatibel: Wenn , und drei normierte Räume über dem gleichen Basiskörper und und zwei beschränkte Operatoren sind, dann ist sie eine

submultiplikative Norm , d.h.: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle B:W\to X}$

$${\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}$$

Für beschränkte Operatoren on bedeutet dies, dass die Operatormultiplikation gemeinsam stetig ist. ${\displaystyle V}$

Aus der Definition folgt, dass wenn eine Folge von Operatoren in der Operatornorm konvergiert, sie gleichmäßig auf beschränkten Mengen

konvergiert .

Tabelle gängiger Betreibernormen

Einige gängige Operatornormen sind leicht zu berechnen, andere sind NP-hart . Mit Ausnahme der NP-harten Normen können alle diese Normen in Operationen (für eine Matrix) berechnet werden, mit Ausnahme der Norm (die Operationen für die genaue Antwort erfordert , oder weniger, wenn Sie sie mit der

Potenzmethode oder Lanczos-Iterationen approximieren ). ${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle N\mal N}$${\displaystyle \ell_{2}-\ell_{2}}$${\displaystyle N^{3}}$

Berechenbarkeit von Betreibernormen

		Co-Domain
		${\displaystyle \ell_{1}}$	${\displaystyle \ell_{2}}$	${\displaystyle \ell_{\infty}}$
Domain	${\displaystyle \ell_{1}}$	Maximale Norm einer Spalte${\displaystyle \ell_{1}}$	Maximale Norm einer Spalte${\displaystyle \ell_{2}}$	Maximale Norm einer Spalte ${\displaystyle \ell_{\infty}}$
	${\displaystyle \ell_{2}}$	NP-hart	Maximaler singulärer Wert	Maximale Norm einer Reihe ${\displaystyle \ell_{2}}$
	${\displaystyle \ell_{\infty}}$	NP-hart	NP-hart	Maximale Norm einer Reihe ${\displaystyle \ell_{1}}$

Die Norm des Adjungierten oder Transponierten kann wie folgt berechnet werden. Wir haben , dass für jede dann wo sind

Hölder - Konjugat zu das heißt, und${\displaystyle p,q,}$${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$${\displaystyle p',q'}$${\displaystyle p,q,}$${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Operatoren auf einem Hilbertraum

Angenommen, es handelt sich um einen reellen oder komplexen

Hilbertraum . Ist ein beschränkter linearer Operator, dann gilt ${\displaystyle H}$${\displaystyle A:H\to H}$

$${\displaystyle \|A\|_{op}=\left\|A^{*}\right\|_{op}}$$

und

$${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{op}=\|A\|_{op}^{2},}$$

wobei bezeichnet den adjungierten Operator von (der in euklidischen Räumen mit dem inneren Standardprodukt der konjugierten Transponierten der Matrix entspricht ). ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Im Allgemeinen ist der Spektralradius von oben durch die Operatornorm von begrenzt : ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \rho(A)\leq\|A\|_{op}.}$$

Um zu sehen, warum Gleichheit nicht immer gilt, betrachten wir die kanonische Form einer Matrix nach

Jordanien im endlichdimensionalen Fall. Da auf der Superdiagonalen Einträge ungleich Null vorhanden sind, kann die Gleichheit verletzt werden. Die quasinilpotenten Operatoren sind eine Klasse solcher Beispiele. Ein quasinilpotenter Operator ungleich Null hat das Spektrum So, während${\displaystyle A}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle \rho(A)=0}$${\displaystyle \|A\|_{op}>0.}$

Wenn eine Matrix jedoch

normal ist , ist ihre kanonische Form nach Jordan diagonal (bis zur unitären Äquivalenz); Dies ist der Spektralsatz . In diesem Fall ist das leicht zu erkennen ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \rho(N)=\|N\|_{op}.}$$

Diese Formel kann manchmal verwendet werden, um die Operatornorm eines gegebenen beschränkten Operators zu berechnen : Definieren Sie den

hermiteschen Operator, bestimmen Sie seinen Spektralradius und ziehen Sie die Quadratwurzel , um die Operatornorm von zu erhalten${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$${\displaystyle A.}$

Der Raum der beschränkten Operatoren mit der durch die Operatornorm induzierten

Topologie ist nicht separierbar . Betrachten Sie zum Beispiel den Lp-Raum, der ein Hilbert-Raum ist. Denn sei die charakteristische Funktion von und sei der Multiplikationsoperator gegeben durch das heißt, ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$${\displaystyle 0<t\leq 1,}$${\displaystyle \Omega_{t}}$${\displaystyle [0,t],}$${\displaystyle P_{t}}$${\displaystyle \Omega_{t},}$

$${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot\Omega_{t}.}$$

Dann ist jeder ein beschränkter Operator mit der Operatornorm 1 und ${\displaystyle P_{t}}$

$${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{op}=1\quad {\mbox{ für alle }}\quad t\neq s.}$$

Aber ist eine

unzählbare Menge . Dies impliziert, dass der Raum der beschränkten Operatoren on in Operatornorm nicht separierbar ist. Man kann dies damit vergleichen, dass der Folgenraum nicht separierbar ist. ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle \ell^{\infty}}$

Die assoziative Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum ergibt zusammen mit der Operatornorm und der adjungierten Operation eine C*-Algebra .

Siehe auch

• Kontinuierlicher Linearoperator
• Diskontinuierliche lineare Karte
• Doppelnorm
• Matrixnorm  – Norm auf einem Vektorraum von Matrizen
• Norm (Mathematik)  – Länge in einem Vektorraum
• Genormter Raum
• Operatoralgebra  – Zweig der Funktionalanalysis
• Operatortheorie
• Topologischer Vektorraum  – Vektorraum mit dem Begriff der Nähe
• Topologien auf der Menge von Operatoren auf einem Hilbertraum
• Unbegrenzter Operator

Anmerkungen

Literaturverzeichnis

• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

Verweise

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007), Infinite Dimensional Analysis: A Tramper's Guide , Springer, p. 229, ISBN 9783540326960.
• Conway, John B. (1990), "III.2 Linear Operators on Normed Spaces", A Course in Functional Analysis , New York: Springer-Verlag, S. 67–69, ISBN 0-387-97245-5