Gas in einer Kiste - Gas in a box

In der Quantenmechanik können die Ergebnisse des Quantenteilchens in einer Box verwendet werden, um die Gleichgewichtssituation für ein quantenideales Gas in einer Box zu untersuchen, bei der es sich um eine Box handelt, die eine große Anzahl von Molekülen enthält, die nur augenblicklich miteinander interagieren thermisierende Kollisionen. Dieses einfache Modell kann verwendet werden, um das klassische ideale Gas sowie die verschiedenen quantenidealen Gase wie das ideale massive Fermi-Gas , das ideale massive Bose-Gas sowie Schwarzkörperstrahlung ( Photonengas ) zu beschreiben, die als masselos behandelt werden können Bose-Gas, bei dem normalerweise angenommen wird, dass die Thermalisierung durch die Wechselwirkung der Photonen mit einer äquilibrierten Masse erleichtert wird .

Unter Verwendung der Ergebnisse der Maxwell-Boltzmann-Statistik , der Bose-Einstein-Statistik oder der Fermi-Dirac-Statistik und unter Berücksichtigung der Grenze einer sehr großen Box wird die Thomas-Fermi-Näherung (benannt nach Enrico Fermi und Llewellyn Thomas ) verwendet, um die Entartung auszudrücken der Energiezustände als Differential und Summationen über Zustände als Integrale. Dies ermöglicht die Berechnung der thermodynamischen Eigenschaften des Gases unter Verwendung der Verteilungsfunktion oder der Hauptverteilungsfunktion . Diese Ergebnisse werden sowohl auf massive als auch auf masselose Partikel angewendet. Vollständigere Berechnungen werden den einzelnen Artikeln überlassen, in diesem Artikel werden jedoch einige einfache Beispiele aufgeführt.

Thomas-Fermi-Näherung für die Entartung von Staaten

Sowohl für massive als auch für masselose Teilchen in einer Box werden die Zustände eines Teilchens durch eine Reihe von Quantenzahlen [ n x , n y , n z ] aufgezählt . Die Größe des Impulses ist gegeben durch

Dabei ist h die Plancksche Konstante und L die Länge einer Seite der Box. Jeder mögliche Zustand eines Teilchens kann als Punkt auf einem dreidimensionalen Gitter positiver Ganzzahlen betrachtet werden. Der Abstand vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt beträgt

Angenommen, jeder Satz von Quantenzahlen spezifiziert f Zustände, wobei f die Anzahl der inneren Freiheitsgrade des Teilchens ist, die durch Kollision verändert werden können. Zum Beispiel hätte ein Spin ½ -Partikel f = 2 , einen für jeden Spinzustand. Für große Werte von n beträgt die Anzahl der Zustände mit einer Impulsgröße kleiner oder gleich p aus der obigen Gleichung ungefähr

Dies ist nur das f- fache des Volumens einer Kugel mit dem Radius n geteilt durch acht, da nur der Oktant mit positivem n i berücksichtigt wird. Unter Verwendung einer Kontinuumsnäherung beträgt die Anzahl der Zustände mit der Impulsgröße zwischen p und p + dp daher

wobei V = L 3 das Volumen der Box ist. Beachten Sie, dass bei Verwendung dieser Kontinuumsnäherung, auch als Thomas-Fermi-Näherung bekannt , die Fähigkeit zur Charakterisierung der Niedrigenergiezustände einschließlich des Grundzustands mit n i = 1 verloren geht. In den meisten Fällen ist dies kein Problem, aber wenn man die Bose-Einstein-Kondensation betrachtet , bei der sich ein großer Teil des Gases im oder in der Nähe des Grundzustands befindet , wird die Fähigkeit, mit Niedrigenergiezuständen umzugehen, wichtig.

Ohne Annäherung ist die Anzahl der Teilchen mit der Energie ε i gegeben durch

wo

Entartung des Staates i
 
mit β = 1 / k B , Boltzmannsche Konstante k B , Temperatur T und chemischem Potential μ .
(Siehe Maxwell-Boltzmann-Statistiken , Bose-Einstein-Statistiken und Fermi-Dirac-Statistiken .)

Unter Verwendung der Thomas-Fermi-Näherung beträgt die Anzahl der Teilchen dN E   mit einer Energie zwischen E   und E + dE   :

wo   ist die Anzahl der Zustände mit Energie zwischen E und E + dE .

Energieverteilung

Unter Verwendung der Ergebnisse aus den vorherigen Abschnitten dieses Artikels können nun einige Verteilungen für das Gas in einer Box bestimmt werden. Für ein Partikelsystem wird die Verteilung für eine Variable durch den Ausdruck definiert, der den Anteil der Partikel darstellt, deren Werte zwischen und liegen

wo

Anzahl der Partikel mit Werten zwischen und
, Anzahl der Zustände, die Werte für zwischen und haben
, Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand, der den Wert hat, von einem Teilchen besetzt ist
Gesamtzahl der Partikel.

Es folgt dem:

Für eine Impulsverteilung beträgt der Anteil der Partikel mit der Impulsgröße zwischen und :

und für eine Energieverteilung ist der Anteil der Teilchen mit Energie zwischen und :

Für ein Teilchen in einer Box (und auch für ein freies Teilchen) ist die Beziehung zwischen Energie und Impuls für massive und masselose Teilchen unterschiedlich. Für massive Partikel,

während für masselose Partikel,

Wo ist die Masse des Teilchens und ist die Lichtgeschwindigkeit. Verwenden Sie diese Beziehungen,

  • Für massive Partikel

Dabei ist Λ die thermische Wellenlänge des Gases.

Dies ist eine wichtige Größe, da bei Λ in der Größenordnung des Abstandes zwischen den Teilchen 1/3 Quanteneffekte zu dominieren beginnen und das Gas nicht mehr als Maxwell-Boltzmann-Gas betrachtet werden kann.

  • Für masselose Partikel

Dabei ist Λ nun die thermische Wellenlänge für masselose Partikel.

Spezifische Beispiele

Die folgenden Abschnitte enthalten ein Beispiel für Ergebnisse für bestimmte Fälle.

Massive Maxwell-Boltzmann-Partikel

Für diesen Fall:

Die Integration der Energieverteilungsfunktion und das Auflösen nach N ergibt

Einsetzen in die ursprüngliche Energieverteilungsfunktion ergibt

Dies sind die gleichen Ergebnisse, die klassisch für die Maxwell-Boltzmann-Verteilung erhalten wurden . Weitere Ergebnisse finden Sie im klassischen Abschnitt des Artikels über das ideale Gas .

Massive Bose-Einstein-Partikel

Für diesen Fall:

wo   

Die Integration der Energieverteilungsfunktion und das Auflösen nach N ergibt die Partikelzahl

wobei Li s ( z ) die Polylogarithmusfunktion ist. Der Polylogarithmus-Term muss immer positiv und reell sein, was bedeutet, dass sein Wert von 0 auf ζ (3/2) geht, wenn von 0 auf 1 geht. Wenn die Temperatur gegen Null fällt, wird Λ immer größer, bis schließlich Λ erreicht einen kritischen Wert Λ c mit z = 1 und

wobei die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet . Die Temperatur, bei der Λ = Λ c ist, ist die kritische Temperatur. Für Temperaturen unterhalb dieser kritischen Temperatur hat die obige Gleichung für die Partikelanzahl keine Lösung. Die kritische Temperatur ist die Temperatur, bei der sich ein Bose-Einstein-Kondensat zu bilden beginnt. Das Problem ist, wie oben erwähnt, dass der Grundzustand in der Kontinuumsnäherung ignoriert wurde. Es stellt sich jedoch heraus, dass die obige Gleichung für die Teilchenzahl die Anzahl der Bosonen in angeregten Zuständen ziemlich gut ausdrückt und somit:

wobei der hinzugefügte Term die Anzahl der Partikel im Grundzustand ist. Die Grundzustandsenergie wurde ignoriert. Diese Gleichung hält die Temperatur auf Null. Weitere Ergebnisse finden Sie im Artikel über das ideale Bose-Gas .

Masselose Bose-Einstein-Partikel (zB Schwarzkörperstrahlung)

Für den Fall von masselosen Partikeln muss die masselose Energieverteilungsfunktion verwendet werden. Es ist zweckmäßig, diese Funktion in eine Häufigkeitsverteilungsfunktion umzuwandeln:

Dabei ist Λ die thermische Wellenlänge für masselose Partikel. Die spektrale Energiedichte (Energie pro Volumeneinheit pro Frequenzeinheit) beträgt dann

Andere thermodynamische Parameter können analog zum Fall für massive Partikel abgeleitet werden. Zum Beispiel ergibt die Integration der Häufigkeitsverteilungsfunktion und das Auflösen nach N die Anzahl der Partikel:

Das häufigste masselose Bose-Gas ist ein Photonengas in einem schwarzen Körper . Wenn man die "Box" als Schwarzkörperhöhle betrachtet, werden die Photonen kontinuierlich von den Wänden absorbiert und wieder emittiert. In diesem Fall bleibt die Anzahl der Photonen nicht erhalten. Wenn bei der Ableitung der Bose-Einstein-Statistik die Beschränkung der Partikelanzahl aufgehoben wird, entspricht dies praktisch der Einstellung des chemischen Potentials ( μ ) auf Null. Da Photonen zwei Spinzustände haben, ist der Wert von f außerdem 2. Die spektrale Energiedichte ist dann

Dies ist nur die spektrale Energiedichte für das Plancksche Gesetz der Schwarzkörperstrahlung . Beachten Sie, dass die Wien-Verteilung wiederhergestellt wird, wenn dieses Verfahren für masselose Maxwell-Boltzmann-Partikel durchgeführt wird, was einer Planck-Verteilung für hohe Temperaturen oder niedrige Dichten nahekommt.

In bestimmten Situationen führen die Reaktionen mit Photonen zur Erhaltung der Anzahl der Photonen (z. B. Leuchtdioden , "weiße" Hohlräume). In diesen Fällen beinhaltet die Photonenverteilungsfunktion ein chemisches Potential ungleich Null. (Hermann 2005)

Ein weiteres masseloses Bose-Gas liefert das Debye-Modell für die Wärmekapazität . Dieses Modell betrachtet ein Phononengas in einer Box und unterscheidet sich von der Entwicklung für Photonen darin, dass die Geschwindigkeit der Phononen geringer als die Lichtgeschwindigkeit ist und für jede Achse der Box eine maximal zulässige Wellenlänge vorliegt. Dies bedeutet, dass die Integration über den Phasenraum nicht bis ins Unendliche durchgeführt werden kann und dass die Ergebnisse nicht in Polylogarithmen ausgedrückt werden, sondern in den zugehörigen Debye-Funktionen .

Massive Fermi-Dirac-Teilchen (zB Elektronen in einem Metall)

Für diesen Fall:

Die Integration der Energieverteilungsfunktion ergibt

wobei wiederum Li s ( z ) die Polylogarithmusfunktion und Λ die thermische De-Broglie-Wellenlänge ist . Weitere Ergebnisse finden Sie im Artikel über das ideale Fermigas . Anwendungen des Fermi-Gases finden sich im freien Elektronenmodell , in der Theorie der Weißen Zwerge und in entarteter Materie im Allgemeinen.

Siehe auch

Verweise

  • Herrmann, F.; Würfel, P. (August 2005). "Licht mit einem chemischen Potential ungleich Null" . American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119 / 1.1904623 . Abgerufen am 20.11.2006 .
  • Huang, Kerson (1967). Statistische Mechanik . New York: John Wiley & Sons.
  • Isihara, A. (1971). Statistische Physik . New York: Akademische Presse.
  • Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Statistische Physik (3. Auflage Teil 1 Hrsg.). Oxford: Butterworth-Heinemann.
  • Yan, Zijun (2000). "Allgemeine thermische Wellenlänge und ihre Anwendungen". EUR. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh ... 21..625Y . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 21/6/314 .
  • Vu-Quoc, L., Konfigurationsintegral (statistische Mechanik) , 2008. Diese Wiki-Site ist nicht verfügbar. Siehe diesen Artikel im Webarchiv vom 28. April 2012 .