Verallgemeinerte Riemann-Hypothese - Generalized Riemann hypothesis

Die Riemannsche Vermutung ist eine der wichtigsten Mutmaßungen in Mathematik . Es ist eine Aussage über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion . Verschiedene geometrische und arithmetische Aufgaben können durch sogenannte beschrieben globale L -Funktionen , die sich formal ähnlich der Riemann Zeta-Funktion. Man kann dann die gleiche Frage nach den Nullstellen dieser L -Funktionen stellen, was verschiedene Verallgemeinerungen der Riemannschen Hypothese ergibt. Viele Mathematiker halten diese Verallgemeinerungen der Riemannschen Hypothese für wahr. Die einzigen Fälle dieser Vermutungen, die bewiesen wurden, treten im Fall des algebraischen Funktionskörpers (nicht im Fall des Zahlenkörpers) auf.

Globale L-Funktionen können elliptischen Kurven , Zahlenfeldern (in diesem Fall werden sie Dedekind-Zeta-Funktionen genannt ), Maass-Formen und Dirichlet-Zeichen (in diesem Fall werden sie Dirichlet-L-Funktionen genannt ) zugeordnet werden. Wenn die Riemann-Hypothese für Dedekind-Zeta-Funktionen formuliert wird, wird sie als erweiterte Riemann-Hypothese (ERH) und für Dirichlet- L -Funktionen als verallgemeinerte Riemann-Hypothese (GRH) bezeichnet. Auf diese beiden Aussagen wird im Folgenden näher eingegangen. (Viele Mathematiker verwenden die Bezeichnung generalisierte Riemann-Hypothese , um die Erweiterung der Riemann-Hypothese auf alle globalen L-Funktionen abzudecken, nicht nur den Spezialfall der Dirichlet- L-Funktionen .)

Generalisierte Riemann-Hypothese (GRH)

Die verallgemeinerte Riemann-Hypothese (für Dirichlet- L-Funktionen ) wurde vermutlich erstmals 1884 von Adolf Piltz formuliert. Wie die ursprüngliche Riemann-Hypothese hat sie weitreichende Konsequenzen für die Verteilung von Primzahlen .

Es folgt die formale Aussage der Hypothese. Ein Dirichlet-Zeichen ist eine vollständig multiplikative arithmetische Funktion χ, so dass es eine positive ganze Zahl k mit χ ( n + k ) = χ ( n ) für alle n und χ ( n ) = 0 gibt, wenn gcd( n , k ) > 1 ist . Ist ein solches Zeichen gegeben, definieren wir die entsprechende Dirichlet L -Funktion durch

${\displaystyle L(\chi,s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {\chi(n)}{n^{s}}}}$

für jede komplexe Zahl s , so dass Re s > 1 . Durch analytische Fortsetzung kann diese Funktion zu einer meromorphen Funktion erweitert werden (nur wenn sie primitiv ist), die auf der gesamten komplexen Ebene definiert ist. Die generali Riemann Hypothese besagt , daß für jedes Zeichen Dirichlet χ und jede komplexe Zahl s mit L ( χ , s ) = 0 , wenn s nicht negative reelle Zahl ist, dann ist der Realteil von s beträgt 1/2. ${\displaystyle\chi}$

Der Fall χ ( n ) = 1 für alle n ergibt die gewöhnliche Riemannsche Hypothese.

Folgen von GRH

Dirichlet-Theorem besagt , dass , wenn ein und d sind Coprime natürliche Zahlen , dann ist die arithmetische Folge a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... enthält unendlich viele Primzahlen. Sei π( x , a , d ) die Anzahl der Primzahlen in dieser Folge, die kleiner oder gleich x sind . Wenn die verallgemeinerte Riemann-Hypothese wahr ist, dann gilt für jede Teilerregung a und d und für jedes ε > 0 ,

${\displaystyle \pi(x,a,d)={\frac{1}{\varphi(d)}}\int _{2}^{x}{\frac{1}{\ln t}}\ ,dt+O(x^{1/2+\varepsilon})\quad {\mbox{ as }}\x\to \infty,}$

wobei φ ( d ) die Totient-Funktion von Euler und O die Notation Big O ist . Dies ist eine erhebliche Verstärkung des Primzahlsatzes .

Wenn GRH wahr ist, lässt jede echte Untergruppe der multiplikativen Gruppe eine Zahl kleiner als 2(ln n ) ^{2 aus} , sowie eine Zahl, die zu n kleiner als 3(ln n ) ² teilerfremd ist . Mit anderen Worten, wird durch eine Menge von Zahlen kleiner als 2(ln n ) ^{2 erzeugt} . Dies wird oft in Beweisen verwendet und hat viele Konsequenzen, zum Beispiel (angenommen GRH): ${\displaystyle (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times}}$${\displaystyle (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times}}$

• Der Miller-Rabin-Primalitätstest läuft garantiert in polynomieller Zeit. (Ein Primalitätstest in Polynomialzeit, der kein GRH erfordert, der AKS-Primalitätstest , wurde 2002 veröffentlicht.)
• Der Shanks-Tonelli-Algorithmus läuft garantiert in polynomieller Zeit.
• Der deterministische Ivanyos-Karpinski-Saxena-Algorithmus zum Faktorisieren von Polynomen über endlichen Körpern mit Primkonstanten-Glattgrad läuft garantiert in polynomieller Zeit.

Wenn GRH wahr ist, dann existiert für jede Primzahl p eine primitive Wurzel mod p (ein Generator der multiplikativen Gruppe von ganzen Zahlen modulo p ), die kleiner als . ist${\displaystyle O((\ln p)^{6}).}$

Die schwache Vermutung von Goldbach folgt auch aus der verallgemeinerten Riemann-Hypothese. Der noch zu verifizierende Beweis dieser Vermutung von Harald Helfgott verifiziert die GRH für mehrere tausend kleine Zeichen bis zu einem bestimmten Imaginärteil, um ausreichende Schranken zu erhalten, die die Vermutung für alle ganzen Zahlen über 10 ²⁹ beweisen , darunter bereits rechnerisch verifizierte Zahlen .

Unter der Annahme der Wahrheit des GRH kann die Schätzung der Zeichensumme in der Pólya-Vinogradov-Ungleichung auf verbessert werden , wobei q der Modul des Zeichens ist. ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log\log q\right)}$

Erweiterte Riemann-Hypothese (ERH)

Angenommen K ist ein Zahlenkörper (eine endlichdimensionale Körpererweiterung der rationalen Zahlen Q ) mit einem Ring von ganzen Zahlen O _K (dieser Ring ist der ganzzahlige Abschluss der ganzen Zahlen Z in K ). Wenn a ein anderes Ideal von O _K als das Nullideal ist, bezeichnen wir seine Norm mit Na . Die Dedekind-Zeta-Funktion von K ist dann definiert durch

${\displaystyle \zeta_{K}(s)=\sum_{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

für jede komplexe Zahl s mit Realteil > 1. Die Summe erstreckt sich über alle von Null verschiedenen Ideale a von O _K .

Die Dedekind-Zeta-Funktion erfüllt eine Funktionalgleichung und kann durch analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Ebene erweitert werden. Die resultierende Funktion kodiert wichtige Informationen über das Zahlenfeld K . Die erweiterte Riemannsche Hypothese besagt , dass für jeden Zahlenkörper K und jede komplexe Zahl s mit ζ _K ( s ) = 0 gilt: wenn der Realteil von s zwischen 0 und 1 liegt, dann ist er tatsächlich 1/2.

Die gewöhnliche Riemann-Hypothese folgt aus der erweiterten, wenn man den Zahlenkörper Q annimmt , mit Ring ganzer Zahlen Z .

Die ERH impliziert eine effektive Version des Chebotarev-Dichtesatzes : wenn L / K eine endliche Galois-Erweiterung mit der Galois-Gruppe G und C eine Vereinigung von Konjugationsklassen von G ist , die Anzahl der unverzweigten Primzahlen von K der Norm unter x mit Frobenius-Konjugation Klasse in C ist

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\ log |\Delta |){\bigr)}{\bigr)},}$

wobei die in der Big-O-Notation implizierte Konstante absolut ist, n der Grad von L über Q und Δ seine Diskriminante ist.

Siehe auch

• Artins Vermutung
• Dirichlet L-Funktion
• Selberg-Klasse
• Grand-Riemann-Hypothese

Verweise

Weiterlesen

• "Riemann-Hypothese, verallgemeinert" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]