Geodätische Abweichung - Geodesic deviation

In der allgemeinen Relativitätstheorie , Deviationsgleichung beschreibt die Tendenz von Objekten zu nähern oder recede voneinander , während sie unter dem Einfluss eines räumlich variierenden bewegendes Gravitationsfeldes . Anders ausgedrückt, wenn zwei Objekte entlang zweier anfänglich paralleler Trajektorien in Bewegung gesetzt werden, führt das Vorhandensein einer Gezeitenkraft dazu, dass sich die Trajektorien zueinander hin oder voneinander weg biegen und eine relative Beschleunigung zwischen den Objekten erzeugen .

Mathematisch wird die Gezeitenkraft in der allgemeinen Relativitätstheorie durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben , und die Flugbahn eines Objekts, das ausschließlich unter dem Einfluss der Schwerkraft steht, wird als geodätisch bezeichnet . Die geodätische Abweichungsgleichung bezieht den Riemannschen Krümmungstensor auf die relative Beschleunigung zweier benachbarter Geodäten. In der Differentialgeometrie ist die geodätische Abweichungsgleichung allgemein als Jacobi-Gleichung bekannt .

Mathematische Definition

Um die geodätische Abweichung zu quantifizieren, beginnt man mit dem Aufbau einer Familie eng beieinander liegender Geodäten, die durch eine kontinuierliche Variable s indiziert und durch einen affinen Parameter τ parametrisiert sind . Das heißt, für jedes feste s ist die von γ _s (τ) überstrichene Kurve, wenn τ variiert, eine geodätische. Wenn man die Geodät eines massiven Objekts betrachtet, ist es oft zweckmäßig, τ als die richtige Zeit des Objekts zu wählen . Wenn x ^μ ( s , τ) die Koordinaten des geodätischen γ _s (τ) sind, dann ist der Tangentenvektor dieser geodätischen

${\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partielle x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partielle \ tau}}.}$

Wenn τ die richtige Zeit ist, dann ist T ^μ die vier Geschwindigkeit des Objekts, das sich entlang der Geodät bewegt .

Man kann auch einen Abweichungsvektor definieren , der die Verschiebung von zwei Objekten ist, die sich entlang zweier infinitesimal getrennter Geodäten bewegen:

${\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {\ partielle x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partielle s}}.}$

Die relative Beschleunigung A ^μ der beiden Objekte wird grob als die zweite Ableitung des Trennungsvektors X ^{μ definiert,} wenn die Objekte entlang ihrer jeweiligen Geodäten voranschreiten. Insbesondere wird A ^μ gefunden, indem die gerichtete kovariante Ableitung von X zweimal entlang T genommen wird:

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} \ left (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu} \ right).}$

Die geodätische Abweichungsgleichung bezieht sich auf A ^μ , T ^μ , X ^μ und den Riemann-Tensor R ^μ _νρσ :

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

Eine alternative Notation für die gerichtete kovariante Ableitung ist , so dass die geodätische Abweichungsgleichung auch wie folgt geschrieben werden kann ${\ displaystyle T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha}}$${\ displaystyle D / d \ tau}$

${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ { \ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

Die geodätische Abweichungsgleichung kann aus der zweiten Variation des Punktteilchens Lagrange entlang der Geodäten oder aus der ersten Variation eines kombinierten Lagrange abgeleitet werden. Der Lagrange-Ansatz hat zwei Vorteile. Erstens können verschiedene formale Quantisierungsansätze auf das geodätische Abweichungssystem angewendet werden. Zweitens können Abweichungen für viel allgemeinere Objekte als für Geodäten formuliert werden (jedes dynamische System mit einem indizierten Impuls mit einer Raumzeit scheint eine entsprechende Verallgemeinerung der geodätischen Abweichungen zu haben).

Schwache Feldgrenze

Der Zusammenhang zwischen geodätischer Abweichung und Gezeitenbeschleunigung kann deutlicher gesehen werden, indem die geodätische Abweichung in der Schwachfeldgrenze untersucht wird , wo die Metrik ungefähr Minkowski ist und angenommen wird, dass die Geschwindigkeiten der Testpartikel viel geringer als c sind . Dann ist der Tangentenvektor T ^μ ungefähr (1, 0, 0, 0); dh nur die zeitliche Komponente ist ungleich Null.

Die räumlichen Komponenten der relativen Beschleunigung sind dann gegeben durch

${\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}$

wobei i und j nur über die Raumindizes 1, 2 und 3 laufen.

Im speziellen Fall einer Metrik, die dem Newtonschen Potential Φ ( x , y , z ) eines massiven Objekts bei x = y = z = 0 entspricht, haben wir

${\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ partielle ^ {2} \ Phi} {\ partielle x ^ {i} \ partielle x ^ {j}}},}$

Das ist der Gezeitentensor des Newtonschen Potentials.

Siehe auch

• Bernhard Riemann
• Krümmung
• Glossar der Riemannschen und metrischen Geometrie

Verweise

• Stephani, Hans (1982), Allgemeine Relativitätstheorie - eine Einführung in die Theorie des Gravitationsfeldes , Cambridge University Press, ISBN   0-521-37066-3 .
• Wald, Robert M. (1984), Allgemeine Relativitätstheorie , ISBN   978-0-226-87033-5 .

Externe Links

• Allgemeine Relativitätstheorie und Quantenkosmologie
• Tensoren und Relativitätstheorie: Geodätische Abweichung