Goldene Spirale - Golden spiral

Goldene Spiralen sind selbstähnlich . Die Form wird bei Vergrößerung unendlich wiederholt.

In Geometrie , eine goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale Faktor dessen Wachstums $φ$ , das goldene Verhältnis . Das heißt, eine goldene Spirale wird für jede Vierteldrehung, die sie macht, um den Faktor $φ$ breiter (oder weiter von ihrem Ursprung entfernt) .

Annäherungen an die goldene Spirale

Ungefähre und echte goldene Spiralen: Die grüne Spirale besteht aus Viertelkreisen, die das Innere jedes Quadrats tangieren, während die rote Spirale eine goldene Spirale ist, eine besondere Art der logarithmischen Spirale . Überlappende Teile erscheinen gelb . Die Seitenlänge eines größeren Quadrats zum nächst kleineren Quadrat entspricht dem Goldenen Schnitt . Bei einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist das nächst kleinere Quadrat 1/φ breit. Die nächste Breite ist 1/φ² , dann 1/φ³ und so weiter.

Es gibt mehrere vergleichbare Spiralen, die sich einer goldenen Spirale annähern, aber nicht genau gleich sind.

Zum Beispiel kann man eine goldene Spirale annähern, indem man zuerst mit einem Rechteck beginnt, dessen Verhältnis zwischen Länge und Breite der goldene Schnitt ist. Dieses Rechteck kann dann in ein Quadrat und ein ähnliches Rechteck unterteilt werden und dieses Rechteck kann dann auf die gleiche Weise geteilt werden. Nach Fortsetzung dieses Prozesses für eine beliebige Anzahl von Schritten wird das Ergebnis eine fast vollständige Aufteilung des Rechtecks in Quadrate sein. Die Ecken dieser Quadrate können durch Viertelkreise verbunden werden. Das Ergebnis, obwohl keine echte logarithmische Spirale, kommt einer goldenen Spirale sehr nahe.

Eine weitere Näherung ist eine Fibonacci-Spirale , die etwas anders aufgebaut ist. Eine Fibonacci-Spirale beginnt mit einem Rechteck, das in 2 Quadrate unterteilt ist. In jedem Schritt wird dem Rechteck ein Quadrat von der Länge der längsten Seite des Rechtecks hinzugefügt. Da sich das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähert, wenn sich die Fibonacci-Zahlen der Unendlichkeit nähern, wird auch diese Spirale der vorherigen Näherung ähnlicher, je mehr Quadrate hinzugefügt werden, wie im Bild veranschaulicht.

Spiralen in der Natur

Annähernd logarithmische Spiralen können in der Natur vorkommen, zum Beispiel in den Armen von Spiralgalaxien - goldene Spiralen sind ein Sonderfall dieser logarithmischen Spiralen, obwohl es keine Hinweise auf eine allgemeine Tendenz zu diesem Fall gibt. Phyllotaxis ist mit dem Goldenen Schnitt verbunden, weil aufeinanderfolgende Blätter oder Blütenblätter durch den goldenen Winkel getrennt sind ; es führt auch zur Entstehung von Spiralen, obwohl keine von ihnen (notwendigerweise) goldene Spiralen sind. Es wird manchmal behauptet, dass Spiralgalaxien und Nautilusschalen im Muster einer goldenen Spirale breiter werden und daher sowohl mit $φ$ als auch mit der Fibonacci-Reihe verwandt sind. In Wahrheit zeigen Spiralgalaxien und Nautilusschalen (und viele Weichtierschalen ) ein logarithmisches Spiralwachstum, jedoch in einer Vielzahl von Winkeln, die sich normalerweise deutlich von denen der goldenen Spirale unterscheiden. Dieses Muster ermöglicht dem Organismus zu wachsen, ohne seine Form zu ändern.

Mathematik

Eine Fibonacci-Spirale nähert sich der goldenen Spirale unter Verwendung von Viertelkreisbögen an, die in Quadrate eingeschrieben sind, die aus der Fibonacci-Folge abgeleitet wurden .

Eine goldene Spirale mit Anfangsradius 1 ist der Ort der Punkte von Polarkoordinaten, die $(r,\theta)$

r=\varphi^{2\theta /\pi}

Die Polargleichung für eine goldene Spirale ist dieselbe wie für andere logarithmische Spiralen , jedoch mit einem besonderen Wert des Wachstumsfaktors $b$ :

r=ae^{b\theta}

oder

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),

wobei

e

die Basis des natürlichen Logarithmus ist ,

a

der Anfangsradius der Spirale ist und

b

so ist, dass wenn

θ

ein rechter Winkel ist (eine Vierteldrehung in beide Richtungen):

e^{b\theta_{\textrm {rechts}}}=\varphi .

Daher ist $b$ gegeben durch

b={\ln {\varphi} \over \theta_{\mathrm {rechts}}}.

Die Lucas- Spirale nähert sich der goldenen Spirale an, wenn ihre Terme groß sind, aber nicht, wenn sie klein sind. 10 Begriffe, von 2 bis 76, sind enthalten.

Der Zahlenwert von $b$ hängt davon ab, ob der rechte Winkel als 90 Grad oder als Bogenmaß gemessen wird ; und da der Winkel in beide Richtungen gehen kann, ist es am einfachsten, die Formel für den Absolutwert von zu schreiben (d. h., $b$ kann auch das Negative dieses Wertes sein): $\textstyle {\frac {\pi}{2}}$ $b$

|b|={\ln {\varphi} \over 90}\doteq 0.0053468

für

θ

in Grad, oder

|b|={\ln {\varphi} \over\pi/2}\doteq 0.3063489

für

θ

im Bogenmaß.

Eine alternative Formel für eine logarithmische und goldene Spirale lautet:

r=ac^{\theta}

wobei die Konstante

c

gegeben ist durch:

c=e^{b}

was für die goldene Spirale

c-

Werte von:

c=\varphi^{\frac {1}{90}}\doteq 1,0053611

wenn

θ

in Grad gemessen wird und

c=\varphi^{\frac {2}{\pi}}\doteq 1.358456

wenn

θ

im Bogenmaß gemessen wird.

Gegenüber logarithmischen Spiralen hat die goldene Spirale die unterscheidende Eigenschaft, dass für vier kollineare Spiralpunkte A, B, C, D, die zu den Argumenten $θ$ , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π gehören,$ der Punkt C die projektive harmonische Konjugierte von ist B bezüglich A, D, dh das Kreuzverhältnis (A,D;B,C) hat den Singulärwert –1. Die goldene Spirale ist die einzige logarithmische Spirale mit (A,D;B,C) = (A,D;C,B).

Polarhang

Definition von Böschungswinkel und Sektor

In der Polargleichung für eine logarithmische Spirale :

r=ae^{b\theta}

der Parameter

b

bezieht sich auf den polaren Neigungswinkel :

{\displaystyle\alpha}

\tan\alpha =b.

In einer goldenen Spirale, die konstant und gleich ist (für $θ$ im Bogenmaß, wie oben definiert), ist der Neigungswinkel : $b$ $|b|={\ln {\varphi} \over\pi/2}$ ${\displaystyle\alpha}$