Selbstähnlichkeit - Self-similarity

Eine Koch-Kurve hat eine sich unendlich wiederholende Selbstähnlichkeit, wenn sie vergrößert wird.

Standardmäßige (triviale) Selbstähnlichkeit.

In der Mathematik ist ein selbstähnliches Objekt einem Teil von sich selbst genau oder annähernd ähnlich (dh das Ganze hat die gleiche Form wie eines oder mehrere der Teile). Viele Objekte in der realen Welt, wie zum Beispiel Küstenlinien , sind statistisch selbstähnlich: Teile von ihnen zeigen auf vielen Skalen dieselben statistischen Eigenschaften. Selbstähnlichkeit ist eine typische Eigenschaft von Fraktalen . Die Skaleninvarianz ist eine exakte Form der Selbstähnlichkeit, bei der es bei jeder Vergrößerung ein kleineres Stück des Objekts gibt , das dem Ganzen ähnlich ist . Zum Beispiel ist eine Seite der Koch-Schneeflocke sowohl symmetrisch als auch skaleninvariant; es kann kontinuierlich 3-fach vergrößert werden, ohne die Form zu ändern. Die nicht-triviale Ähnlichkeit in Fraktalen zeichnet sich durch ihre feine Struktur oder Details auf beliebig kleinen Skalen aus. Als Gegenbeispiel , während jeder Teil einer geraden Linie dem Ganzen ähneln kann, werden weitere Details nicht offenbart.

Von einem sich zeitlich entwickelnden Phänomen wird gesagt, dass es Selbstähnlichkeit zeigt, wenn der numerische Wert einer bestimmten beobachtbaren Größe, die zu verschiedenen Zeiten gemessen wird, unterschiedlich ist, aber die entsprechende dimensionslose Größe bei einem gegebenen Wert unveränderlich bleibt. Dies geschieht, wenn die Menge eine dynamische Skalierung aufweist . Die Idee ist nur eine Erweiterung der Idee der Ähnlichkeit zweier Dreiecke. Beachten Sie, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn die Zahlenwerte ihrer Seiten unterschiedlich sind, jedoch die entsprechenden dimensionslosen Größen, wie z. B. ihre Winkel, übereinstimmen. ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x/t^{z}}$${\displaystyle f(x,t)}$

Peitgenet al. Erkläre das Konzept als solches:

Wenn Teile einer Figur kleine Nachbildungen des Ganzen sind, dann heißt die Figur selbstähnlich .... Eine Figur ist streng selbstähnlich, wenn die Figur in Teile zerlegt werden kann, die exakte Nachbildungen des Ganzen sind. Jeder beliebige Teil enthält eine exakte Nachbildung der gesamten Figur.

Da ein Fraktal mathematisch bei unbegrenzter Vergrößerung Selbstähnlichkeit zeigen kann, ist es unmöglich, dies physikalisch nachzubilden. Peitgenet al. schlagen vor, die Selbstähnlichkeit mit Näherungen zu untersuchen:

Um der Eigenschaft der Selbstähnlichkeit eine operationale Bedeutung zu geben, beschränken wir uns notwendigerweise auf endliche Näherungen der Grenzzahl. Dies geschieht mit der Methode, die wir als Box-Selbstähnlichkeit bezeichnen, bei der Messungen auf endlichen Stufen der Figur unter Verwendung von Gittern unterschiedlicher Größe durchgeführt werden.

Dieses Vokabular wurde 1964 von Benoit Mandelbrot eingeführt .

Selbstbezogenheit

Ein selbstaffines Fraktal mit der Hausdorff-Dimension = 1,8272.

In der Mathematik ist Selbstaffinität ein Merkmal eines Fraktals, dessen Teile in x- und y-Richtung unterschiedlich skaliert sind . Dies bedeutet, dass diese fraktalen Objekte, um die Selbstähnlichkeit dieser fraktalen Objekte zu erkennen, mit einer anisotropen affinen Transformation neu skaliert werden müssen .

Definition

Ein kompakter topologischen Raum X ist selbstähnlich , wenn es ein gibt endlichen Satz S Indexieren eine Reihe von nicht - surjektiv homeomorphisms , für die ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup_{s\in S}f_{s}(X)}$

Wenn , nennen wir X selbstähnlich, wenn es die einzige nichtleere Teilmenge von Y ist, so dass die obige Gleichung für gilt . Wir nennen ${\displaystyle X\Teilmenge Y}$ ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak{L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

eine selbstähnliche Struktur . Die Homöomorphismen können iteriert werden , was zu einem iterierten Funktionssystem führt . Die Zusammensetzung der Funktionen erzeugt die algebraische Struktur eines Monoids . Wenn die Menge S nur zwei Elemente hat, wird das Monoid als dyadisches Monoid bezeichnet . Das dyadische Monoid kann als unendlicher Binärbaum visualisiert werden ; wenn der Satz allgemein S hat p Elemente, dann ist die monoid kann als dargestellt werden , p-adic Baum.

Die Automorphismen des dyadischen Monoids sind die modulare Gruppe ; die Automorphismen können als hyperbolische Drehungen des Binärbaums dargestellt werden.

Ein allgemeinerer Begriff als Selbstähnlichkeit ist Selbstaffinität .

Beispiele

Selbstähnlichkeit in der Mandelbrot-Menge, gezeigt durch Vergrößern des Feigenbaum-Punktes bei (−1.401155189..., 0)

Ein Bild des Barnsley-Farns, das eine affine Selbstähnlichkeit aufweist

Die Mandelbrot-Menge ist auch um Misiurewicz-Punkte selbstähnlich .

Selbstähnlichkeit hat wichtige Konsequenzen für das Design von Computernetzwerken, da typischer Netzwerkverkehr selbstähnliche Eigenschaften hat. Zum Beispiel in Fernmeldetechnik , paketvermittelten Datenverkehrsmuster scheinen statistisch selbstähnlich zu sein. Diese Eigenschaft bedeutet, dass einfache Modelle, die eine Poisson-Verteilung verwenden, ungenau sind und Netzwerke, die ohne Berücksichtigung der Selbstähnlichkeit entworfen wurden, wahrscheinlich auf unerwartete Weise funktionieren.

Ebenso Aktienmarkt werden als Anzeigen Bewegungen beschrieben Selbst Affinität , dh sie erscheinen selbstähnlich , wenn über eine entsprechende transformierten affine Transformation für den Detaillierungsgrad dargestellt ist. Andrew Lo beschreibt die Selbstähnlichkeit der Börsenlogikrendite in der Ökonometrie .

Finite Unterteilungsregeln sind eine leistungsfähige Technik zum Bauen selbstähnlicher Mengen, einschließlich der Cantor-Menge und des Sierpinski-Dreiecks .

Ein Dreieck, das wiederholt durch baryzentrische Unterteilung unterteilt wird . Die Ergänzung der großen Kreise wird zu einem Sierpinski-Teppich

In der Kybernetik

Das lebensfähige Systemmodell von Stafford Beer ist ein Organisationsmodell mit einer affinen selbstähnlichen Hierarchie, bei dem ein gegebenes lebensfähiges System ein Element des Systems Eins eines lebensfähigen Systems eine rekursive Ebene höher ist und für wen die Elemente seines System Eins sind tragfähige Systeme eine rekursive Ebene tiefer.

In der Natur

Nahaufnahme eines Romanesco-Brokkoli .

Selbstähnlichkeit findet sich auch in der Natur. Rechts ist ein mathematisch generiertes, vollkommen selbstähnliches Bild eines Farns zu sehen , das eine deutliche Ähnlichkeit mit natürlichen Farnen aufweist. Andere Pflanzen wie Romanesco Brokkoli weisen eine starke Selbstähnlichkeit auf.

In Musik

• Strenge Kanons zeigen verschiedene Arten und Ausmaße von Selbstähnlichkeit, ebenso wie Abschnitte von Fugen .
• Ein Shepard-Ton ist im Frequenz- oder Wellenlängenbereich selbstähnlich.
• Der dänische Komponist Per Nørgård hat in einem Großteil seiner Musik eine selbstähnliche Ganzzahlfolge namens „Unendlichkeitsreihe“ verwendet.
• Selbstähnlichkeit bezieht sich im Forschungsgebiet des Music Information Retrieval häufig darauf, dass Musik oft aus Teilen besteht, die sich zeitlich wiederholen. Mit anderen Worten, Musik ist eher selbstähnlich unter zeitlicher Übersetzung als (oder zusätzlich zu) unter Skalierung.

Siehe auch

Verweise

Externe Links

• "Copperplate Chevrons" — ein selbstähnlicher fraktaler Zoomfilm
• "Selbstähnlichkeit" — Neue Artikel über Selbstähnlichkeit. Walzer-Algorithmus

Selbstbezogenheit

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). "Selbstaffinität und fraktale Dimension" (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Bibcode : 1985PhyS...32..257M . doi : 10.1088/0031-8949/32.4/001 .
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (Mai 1996). "Selbstaffinität in geflochtenen Flüssen" (PDF) . Wasserressourcenforschung . 32 (5): 1429–1439. doi : 10.1029/96wr00490 . Archiviert (PDF) des Originals am 30. Juli 2018 . Abgerufen am 30. Juli 2018 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gaußsche Selbstaffinität und Fraktale: Globalität, Erde, 1/F-Rauschen und R/S . ISBN 978-0387989938.