Heston-Modell - Heston model

Im Finanzbereich ist das nach Steven L. Heston benannte Heston-Modell ein mathematisches Modell , das die Entwicklung der Volatilität eines Basiswerts beschreibt . Es handelt sich um ein stochastisches Volatilitätsmodell : Ein solches Modell geht davon aus, dass die Volatilität des Vermögenswerts nicht konstant oder gar deterministisch ist, sondern einem zufälligen Prozess folgt .

Grundmodell von Heston

Das grundlegende Heston-Modell geht davon aus, dass S _t , der Preis des Vermögenswerts, durch einen stochastischen Prozess bestimmt wird,

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu_{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}$

wobei , die momentane Varianz, durch einen Feller-Quadratwurzel- oder CIR-Prozess gegeben ist , ${\displaystyle \nu_{t}}$

${\displaystyle d\nu_{t}=\kappa (\theta -\nu_{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu_{t}}}\,dW_{t}^{\ naja },}$

und sind Wiener-Prozesse (dh kontinuierliche Random Walks) mit Korrelation ρ. ${\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu}}$

Das Modell hat fünf Parameter:

• ${\displaystyle \nu _{0}}$, die anfängliche Volatilität.
• ${\displaystyle\theta}$, die lange Varianz oder die langfristige durchschnittliche Varianz des Preises; da t gegen unendlich geht, tendiert der Erwartungswert von ν _t gegen θ.
• ${\displaystyle \rho}$, die Korrelation der beiden Wiener Prozesse .
• ${\displaystyle \kappa}$, die Rate, mit der ν _t zu θ zurückkehrt.
• ${\displaystyle \xi}$, die Volatilität der Volatilität oder „vol of vol“, die die Varianz von ν _{t bestimmt} .

Wenn die Parameter die folgende Bedingung (bekannt als Feller-Bedingung) erfüllen, ist der Prozess streng positiv ${\displaystyle \nu_{t}}$

${\displaystyle 2\kappa\theta >\xi^{2}.}$

Risikoneutrale Maßnahme

Den vollständigen Artikel finden Sie unter Risikoneutrale Maßnahme

Ein grundlegendes Konzept bei der Preisgestaltung von Derivaten ist das risikoneutrale Maß ; dies wird im obigen Artikel näher erläutert. Für unsere Zwecke reicht es aus, folgendes zu beachten:

1. Um ein Derivat zu bewerten, dessen Auszahlung von einem oder mehreren Basiswerten abhängt, bewerten wir den erwarteten Wert seiner abgezinsten Auszahlung im Rahmen einer risikoneutralen Messgröße.
2. Ein risikoneutrales Maß, auch als gleichwertiges Martingal-Maß bekannt, ist ein Maß, das dem realen Maß entspricht und Arbitrage-frei ist: Bei einem solchen Maß ist der diskontierte Preis jedes der zugrunde liegenden Vermögenswerte ein Martingal . Siehe den Satz von Girsanov .
3. In den Black-Scholes- und Heston-Frameworks (wo Filtrationen allein aus einem linear unabhängigen Satz von Wiener-Prozessen erzeugt werden) kann jedes äquivalente Maß in einem sehr weiten Sinne beschrieben werden, indem jedem der Wiener-Prozesse eine Drift hinzugefügt wird.
4. Durch die Wahl bestimmter Werte für die oben beschriebenen Driften können wir ein äquivalentes Maß erhalten, das die Bedingung der Arbitragefreiheit erfüllt.

Betrachten Sie eine allgemeine Situation, in der wir über zugrunde liegende Vermögenswerte und einen linear unabhängigen Satz von Wiener-Prozessen verfügen . Die Menge der äquivalenten Maße ist isomorph zu R ^m , dem Raum möglicher Drifts. Betrachten Sie die Menge der äquivalenten Martingalmaße als isomorph zu einer Mannigfaltigkeit, die in R ^m eingebettet ist ; Betrachten wir zunächst die Situation, in der wir keine Vermögenswerte haben und isomorph zu R ^{m sind} . ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Betrachten Sie nun jeden der zugrunde liegenden Vermögenswerte als eine Einschränkung für den Satz gleichwertiger Messgrößen, da sein erwarteter Diskontierungsprozess einer Konstanten (nämlich seinem Anfangswert) entsprechen muss. Indem wir jeweils ein Asset hinzufügen, können wir jede zusätzliche Einschränkung als Verringerung der Dimension von um eine Dimension betrachten. Daher können wir sehen, dass in der oben beschriebenen allgemeinen Situation die Dimension der Menge äquivalenter Martingalmaße ist . ${\displaystyle M}$${\displaystyle mn}$

Im Black-Scholes-Modell haben wir einen Asset- und einen Wiener-Prozess. Die Dimension der Menge äquivalenter Martingalmaße ist null; somit kann gezeigt werden, dass es einen einzigen Wert für die Drift und damit ein einziges risikoneutrales Maß gibt, bei dem der diskontierte Vermögenswert ein Martingal ist. ${\displaystyle e^{-\rho t}S_{t}}$

Im Heston-Modell haben wir immer noch einen Vermögenswert (die Volatilität wird nicht als direkt beobachtbar oder handelbar am Markt angesehen), aber wir haben jetzt zwei Wiener-Prozesse - den ersten in der stochastischen Differentialgleichung (SDE) für den Vermögenswert und den zweiten in der SDE für die stochastische Volatilität. Hier ist die Dimension der Menge äquivalenter Martingalmaße eins; es gibt keine eindeutige risikofreie Maßnahme.

Dies ist natürlich problematisch; theoretisch kann zwar jede der risikofreien Kennzahlen zur Preisbildung eines Derivats verwendet werden, es ist jedoch wahrscheinlich, dass jede von ihnen einen anderen Preis ergibt. Theoretisch wäre jedoch nur eine dieser risikofreien Maßnahmen mit den Marktpreisen von volatilitätsabhängigen Optionen (zum Beispiel European Calls oder genauer gesagt Variance Swaps ) kompatibel . Daher könnten wir einen volatilitätsabhängigen Vermögenswert hinzufügen; dadurch fügen wir eine zusätzliche Einschränkung hinzu und wählen somit eine einzige risikofreie Maßnahme, die mit dem Markt kompatibel ist. Dieses Maß kann für die Preisgestaltung verwendet werden.

Implementierung

• Die Verwendung der Fourier-Transformation in Value-Optionen wurde von Carr und Madan gezeigt.

• Eine Diskussion über die Implementierung des Heston-Modells wurde von Kahl und Jäckel gegeben.

• Eine Ableitung geschlossener Optionspreise für das zeitabhängige Heston-Modell wurde von Benhamou et al.

• Eine Herleitung geschlossener Optionspreise für das Doppel-Heston-Modell wurde von Christoffersen et al. und von Gauthier und Possamai.

• Eine Erweiterung des Heston-Modells mit stochastischen Zinssätzen wurde von Grzelak und Oosterlee gegeben.

• Ein sowohl numerisch stetiger als auch hinsichtlich der Parameter leicht differenzierbarer Ausdruck der charakteristischen Funktion des Heston-Modells wurde von Cui et al.

• Die Verwendung des Modells in einem lokalen stochastischen Volatilitätskontext wurde von Van Der Weijst angegeben.

• Eine explizite Lösung der Heston-Preisgleichung hinsichtlich der Volatilität wurde von Koritzin entwickelt. Dies kann mit bekannten schwachen Lösungen für die Volatilitätsgleichung und dem Satz von Girsanov kombiniert werden, um explizite schwache Lösungen des Heston-Modells zu erhalten. Solche Lösungen sind für eine effiziente Simulation nützlich.

• Hochpräzise Referenzpreise finden Sie in einem Blogbeitrag von Alan Lewis.

• Es sind nur wenige Parametrisierungen der Volatilitätsoberfläche nach dem Heston-Modell (Schonbusher, SVI und gSVI) bekannt.

Kalibrierung

Die Kalibrierung des Heston-Modells wird oft als Problem der kleinsten Quadrate formuliert , wobei die Zielfunktion die quadrierte Differenz zwischen den am Markt beobachteten und den aus dem Modell berechneten Preisen minimiert.

Die Preise sind typischerweise die von Vanilla-Optionen. Manchmal wird das Modell auch auf die Varianz-Swap-Termstruktur kalibriert, wie bei Guillaume und Schoutens. Ein weiterer Ansatz besteht darin, Vorwärtsstartoptionen oder auch Barriereoptionen einzubeziehen, um das Vorwärtslächeln einzufangen.

Nach dem Heston-Modell wird der Preis von Vanilla-Optionen analytisch angegeben, erfordert jedoch eine numerische Methode zur Berechnung des Integrals. Le Floc'h fasste die verschiedenen angewandten Quadraturen zusammen und schlug eine effiziente adaptive Filon-Quadratur vor.

Die Kalibrierung erfordert normalerweise die Steigung der Zielfunktion in Bezug auf die Modellparameter. Dieser wurde normalerweise mit einer Finite-Differenzen-Approximation berechnet, obwohl er weniger genau, weniger effizient und weniger elegant ist als ein analytischer Gradient, da ein aufschlussreicher Ausdruck des letzteren erst verfügbar wurde, als Cui et al. im Jahr 2017. Eine andere Möglichkeit ist die automatische Differenzierung . Zum Beispiel kann der Tangentialmodus der algorithmischen Differenzierung unter Verwendung von Dualzahlen auf einfache Weise angewendet werden.

Siehe auch

• Stochastische Volatilität
• Risikoneutrales Maß (andere Bezeichnung für das äquivalente Martingalmaß)
• Satz von Girsanovnov
• Martingale (Wahrscheinlichkeitstheorie)
• SABR-Volatilitätsmodell
• MATLAB-Code zur Implementierung von Kahl, Jäckel und Lord

Verweise

• Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andreas (2013). "Entarbitraging mit einem schwachen Lächeln: Anwendung auf das Risiko verzerren". Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi : 10.1002/wilm.10201 .