Stochastische Volatilität - Stochastic volatility

In der Statistik sind stochastische Volatilitätsmodelle solche, bei denen die Varianz eines stochastischen Prozesses selbst zufällig verteilt ist. Sie werden im Bereich der mathematischen Finanzierung zur Bewertung von derivativen Wertpapieren wie Optionen verwendet . Der Name leitet sich aus der Behandlung der Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers durch die Modelle als zufälliger Prozess ab , der von staatlichen Variablen wie dem Preisniveau des zugrunde liegenden Wertpapiers, der Tendenz der Volatilität, zu einem langfristigen Mittelwert zurückzukehren, und der Varianz von bestimmt wird unter anderem der Volatilitätsprozess selbst.

Stochastische Volatilitätsmodelle sind ein Ansatz, um einen Mangel des Black-Scholes- Modells zu beheben . Insbesondere auf Black-Scholes-Modellen basierende Modelle gehen davon aus, dass die zugrunde liegende Volatilität über die Laufzeit des Derivats konstant ist und von den Änderungen des Preisniveaus des zugrunde liegenden Wertpapiers nicht beeinflusst wird. Diese Modelle können jedoch nicht lange beobachtete Merkmale der impliziten Volatilitätsoberfläche wie Volatilitätslächeln und -versatz erklären , die darauf hinweisen, dass die implizite Volatilität in Bezug auf den Ausübungspreis und das Verfallsdatum tendenziell variiert . Durch die Annahme, dass die Volatilität des zugrunde liegenden Preises eher ein stochastischer Prozess als eine Konstante ist, wird es möglich, Derivate genauer zu modellieren.

Grundmodell

Ausgehend von einem Ansatz mit konstanter Volatilität wird angenommen, dass der zugrunde liegende Vermögenspreis des Derivats einem Standardmodell für die geometrische Brownsche Bewegung folgt :

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t} \,}

wobei die konstante Drift (dh erwartete Ertrag) des Wertpapierkurses , ist die Konstante Flüchtigkeit und ist ein Standard - Wiener - Prozess mit Null - Mittelwert und Einheitsrate der Varianz . Die explizite Lösung dieser stochastischen Differentialgleichung lautet ${\ displaystyle \ mu \,}$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ ${\ displaystyle \ sigma \,}$ ${\ displaystyle dW_ {t} \,}$

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {(\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}) t + \ sigma W_ {t}}.}

Der Maximum-Likelihood-Schätzer zur Schätzung der konstanten Volatilität für bestimmte Aktienkurse zu unterschiedlichen Zeiten ist ${\ displaystyle \ sigma \,}$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ ${\ displaystyle t_ {i} \,}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} & = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln S_ {t_ {i}} - \ ln S_ {t_ {i-1}}) ^ {2}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} \ right) - {\ frac {1} {n}} {\ frac {(\ ln S_ {t_ {n}} - \ ln S_ {t_ {0}}) ^ {2}} {t_ {n} -t_ {0}}} \\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (t_ {i} -t_ {i-1}) \ left ({\ frac {\ ln {\ frac {S_ {t_ {i}}} {S_ {t_ {i-1}}}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} - {\ frac {\ ln {\ frac {S_ { t_ {n}}} {S_ {t_ {0}}}} {t_ {n} -t_ {0}}} \ right) ^ {2}; \ end {align}}}

sein erwarteter Wert ist ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ widehat {\ sigma}} ^ {2} \ right] = {\ frac {n-1} {n}} \ sigma ^ {2}.}$

Dieses Grundmodell mit konstanter Volatilität ist der Ausgangspunkt für nicht stochastische Volatilitätsmodelle wie das Black-Scholes-Modell und das Cox-Ross-Rubinstein-Modell . ${\ displaystyle \ sigma \,}$

Ersetzen Sie für ein stochastisches Volatilitätsmodell die konstante Volatilität durch eine Funktion , die die Varianz von modelliert . Diese Varianzfunktion wird auch als Brownsche Bewegung modelliert, und die Form hängt von dem jeweiligen untersuchten SV-Modell ab. ${\ displaystyle \ sigma \,}$ ${\ displaystyle \ nu _ {t} \,}$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ ${\ displaystyle \ nu _ {t} \,}$

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + {\ sqrt {\ nu _ {t}}} S_ {t} \, dW_ {t} \,}

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ alpha _ {\ nu, t} \, dt + \ beta _ {\ nu, t} \, dB_ {t} \,}

wo und sind einige Funktionen von und ist ein weiterer Standard-Gauß-Wert, der mit einem konstanten Korrelationsfaktor korreliert . ${\ displaystyle \ alpha _ {\ nu, t} \,}$ ${\ displaystyle \ beta _ {\ nu, t} \,}$ ${\ displaystyle \ nu \,}$ ${\ displaystyle dB_ {t} \,}$ ${\ displaystyle dW_ {t} \,}$ ${\ displaystyle \ rho \,}$

Heston Modell

Das beliebte Heston-Modell ist ein häufig verwendetes SV-Modell, bei dem die Zufälligkeit des Varianzprozesses als Quadratwurzel der Varianz variiert. In diesem Fall hat die Differentialgleichung für die Varianz die Form:

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ theta (\ omega - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi {\ sqrt {\ nu _ {t}}} \, dB_ {t} \,}

Wo ist die mittlere Langzeitvarianz, ist die Rate, mit der die Varianz zu ihrem Langzeitmittelwert zurückkehrt, ist die Volatilität des Varianzprozesses und ist wie ein Gaußscher Wert mit dem Mittelwert Null und der Varianz. Jedoch , und werden mit dem konstanten korrelierten Korrelationswert . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle dB_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dt}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dB_ {t}}$ ${\ displaystyle \ rho}$

Mit anderen Worten, das Heston SV-Modell geht davon aus, dass die Varianz ein zufälliger Prozess ist, der

zeigt eine Tendenz zur Rückkehr zu einem langfristigen Mittelwert mit einer Rate , ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ theta}$
zeigt eine Volatilität proportional zur Quadratwurzel seines Niveaus
und deren Zufallsquelle (mit Korrelation ) mit der Zufälligkeit der Preisprozesse des Basiswerts korreliert . ${\ displaystyle \ rho}$

Einige Parametrisierungen der Volatilitätsoberfläche, wie z. B. 'SVI', basieren auf dem Heston-Modell.

CEV-Modell

Das CEV- Modell beschreibt die Beziehung zwischen Volatilität und Preis und führt stochastische Volatilität ein:

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} ^ {\, \ gamma} \, dW_ {t}}

Konzeptionell steigt in einigen Märkten die Volatilität, wenn die Preise steigen (z. B. Rohstoffe) . In anderen Märkten steigt die Volatilität tendenziell, wenn die Preise fallen, modelliert mit . ${\ displaystyle \ gamma> 1}$ ${\ displaystyle \ gamma <1}$

Einige argumentieren, dass das CEV-Modell, da es keinen eigenen stochastischen Prozess für die Volatilität enthält, kein wirklich stochastisches Volatilitätsmodell ist. Stattdessen nennen sie es ein lokales Volatilitätsmodell .

SABR-Volatilitätsmodell

Das SABR Modell (Stochastic Alpha, Beta, Rho), eingeführt von Hagan et al. beschreibt einen einzelnen Terminkontrakt (bezogen auf einen Vermögenswert, z. B. einen Index, einen Zinssatz, eine Anleihe, eine Währung oder ein Eigenkapital) unter stochastischer Volatilität : ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle dF_ {t} = \ sigma _ {t} F_ {t} ^ {\ beta} \, dW_ {t},}

{\ displaystyle d \ sigma _ {t} = \ alpha \ sigma _ {t} \, dZ_ {t},}

Die Anfangswerte und sind der aktuelle Terminkurs und die Volatilität, während und zwei korrelierte Wiener-Prozesse (dh Brownsche Bewegungen) mit Korrelationskoeffizienten sind . Die konstanten Parameter sind so, dass . ${\ displaystyle F_ {0}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ ${\ displaystyle Z_ {t}}$ ${\ displaystyle -1 <\ rho <1}$ ${\ displaystyle \ beta, \; \ alpha}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ beta \ leq 1, \; \ alpha \ geq 0}$

Das Hauptmerkmal des SABR-Modells besteht darin, den Lächelneffekt des Volatilitätslächelns reproduzieren zu können .

GARCH-Modell

Das GARCH- Modell (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ) ist ein weiteres beliebtes Modell zur Schätzung der stochastischen Volatilität. Es wird angenommen, dass die Zufälligkeit des Varianzprozesses mit der Varianz variiert, im Gegensatz zur Quadratwurzel der Varianz wie im Heston-Modell. Das Standardmodell GARCH (1,1) hat die folgende Form für das Varianzdifferential:

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ theta (\ omega - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi \ nu _ {t} \, dB_ {t} \,}

Das GARCH-Modell wurde über zahlreiche Varianten erweitert, einschließlich NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH usw. Streng genommen sind die bedingten Volatilitäten von GARCH-Modellen jedoch nicht stochastisch, da zum Zeitpunkt t die Volatilität vollständig vorbestimmt ist -bestimmte (deterministische) gegebene vorherige Werte.

3/2 Modell

Das 3/2 Modell ähnelt dem Heston-Modell, geht jedoch davon aus, dass die Zufälligkeit des Varianzprozesses mit variiert . Die Form des Varianzdifferentials ist: ${\ displaystyle \ nu _ {t} ^ {3/2}}$

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ nu _ {t} (\ omega - \ theta \ nu _ {t}) \, dt + \ xi \ nu _ {t} ^ {3/2} \, dB_ {t}. \,}

Die Bedeutung der Parameter unterscheidet sich jedoch vom Heston-Modell. In diesem Modell sind sowohl die mittlere Umkehrung als auch die Volatilität der Varianzparameter stochastische Größen, die durch bzw. gegeben sind. ${\ displaystyle \ theta \ nu _ {t}}$ ${\ displaystyle \ xi \ nu _ {t}}$

Kalibrierung und Schätzung

Sobald ein bestimmtes SV-Modell ausgewählt wurde, muss es anhand der vorhandenen Marktdaten kalibriert werden. Bei der Kalibrierung wird der Satz von Modellparametern identifiziert, die angesichts der beobachteten Daten am wahrscheinlichsten sind. Eine beliebte Technik ist die Verwendung der Maximum Likelihood Estimation (MLE). Beispielsweise kann im Heston-Modell der Satz von Modellparametern unter Verwendung eines MLE-Algorithmus wie der Powell Directed Set- Methode [1] zur Beobachtung historischer zugrunde liegender Wertpapierpreise geschätzt werden . ${\ displaystyle \ Psi _ {0} = \ {\ omega, \ theta, \ xi, \ rho \} \,}$

In diesem Fall beginnen Sie mit einer Schätzung für , berechnen die verbleibenden Fehler, wenn Sie die historischen Preisdaten auf das resultierende Modell anwenden, und passen sie dann an, um zu versuchen, diese Fehler zu minimieren. Sobald die Kalibrierung durchgeführt wurde, ist es üblich, das Modell regelmäßig neu zu kalibrieren. ${\ displaystyle \ Psi _ {0} \,}$ ${\ displaystyle \ Psi \,}$

Eine Alternative zur Kalibrierung ist die statistische Schätzung, wodurch die Parameterunsicherheit berücksichtigt wird. Viele frequentistische und Bayes'sche Methoden wurden vorgeschlagen und implementiert, typischerweise für eine Teilmenge der oben genannten Modelle. Die folgende Liste enthält Erweiterungspakete für die Open-Source-Statistiksoftware R , die speziell für die Schätzung der Heteroskedastizität entwickelt wurden. Die ersten drei sind für Modelle vom Typ GARCH mit deterministischen Volatilitäten vorgesehen. Der vierte befasst sich mit der Schätzung der stochastischen Volatilität.

Rugarch : ARFIMA, mittlere externe Regressoren und verschiedene GARCH-Geschmacksrichtungen mit Methoden für Anpassung, Vorhersage, Simulation, Inferenz und Plotten.
fGarch : Teil der Rmetrics-Umgebung für den Unterricht in "Financial Engineering and Computational Finance".
bayesGARCH : Bayesianische Schätzung des GARCH (1,1) -Modells mit t-Innovationen von Student.
stochvol : Effiziente Algorithmen zur vollständigen Bayes'schen Schätzung stochastischer Volatilitätsmodelle (SV) mithilfe von Markov-Ketten-Monte-Carlo- Methoden (MCMC).

Viele numerische Methoden wurden im Laufe der Zeit entwickelt und haben die Preisgestaltung von finanziellen Vermögenswerten wie Optionen mit stochastischen Volatilitätsmodellen gelöst. Eine kürzlich entwickelte Anwendung ist das lokale stochastische Volatilitätsmodell. Dieses lokale stochastische Volatilitätsmodell liefert bessere Ergebnisse bei der Bewertung neuer finanzieller Vermögenswerte wie Forex-Optionen.

Es gibt auch alternative statistische Schätzungsbibliotheken in anderen Sprachen wie Python:

PyFlux Beinhaltet Bayes'sche und klassische Inferenzunterstützung für GARCH- und Beta-t-EGARCH-Modelle.

Siehe auch

Verweise

Quellen

Analyse der stochastischen Volatilität und der mittleren Varianz , Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
Eine geschlossene Lösung für Optionen mit stochastischer Volatilität , SL Heston (1993).
Inside Volatility Arbitrage , Alireza Javaheri, (2005).
Beschleunigung der Kalibrierung stochastischer Volatilitätsmodelle , Kilin, Fiodar (2006).

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