Unsichtbares - Indiscernibles

In der mathematischen Logik sind Ununterscheidbare Objekte, die nicht durch eine durch eine Formel definierte Eigenschaft oder Beziehung unterschieden werden können . In der Regel werden nur Formeln erster Ordnung berücksichtigt.

Beispiele

Wenn a , b und c sind verschieden und { a , b , c } ein Satz von Ununterscheidbaren , dann beispielsweise, für jede binäre Formel , müssen wir haben ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle [\beta (a,b)\land \beta (b,a)\land \beta (a,c)\land \beta (c,a)\land \beta (b,c)\land\ beta (c,b)]\lor [\lnicht \beta (a,b)\land \lnicht \beta (b,a)\land \lnicht \beta (a,c)\land \lnicht \beta (c, a)\land \nicht \beta (b,c)\land \nicht \beta (c,b)]\,.}$

Historisch gesehen war die Identität des Ununterscheidbaren eines der Denkgesetze von Gottfried Leibniz .

Verallgemeinerungen

In manchen Zusammenhängen betrachtet man den allgemeineren Begriff der Ordnungs-Ununterscheidbaren , und der Begriff Folge von Ununterscheidbaren bezieht sich oft implizit auf diesen schwächeren Begriff. In unserem Beispiel binärer Formeln bedeutet die Aussage, dass das Tripel ( a , b , c ) verschiedener Elemente eine Folge von Ununterscheidbaren ist,

${\displaystyle ([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi ( a,c)\land \nicht \varphi (b,c)])\land ([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [ \lnicht \varphi (b,a)\land \lnicht \varphi (c,a)\land \lnicht \varphi (c,b)])\,.}$

Anwendungen

In der Theorie der Ramsey-Kardinäle , der Erdős-Kardinäle und der Null-Schärfe spielen Ordnungs-Ununterscheidbare eine herausragende Rolle .

Siehe auch

• Identität von Ununterscheidbaren
• Grobes Set

Verweise

• Jech, Thomas (2003). Set-Theorie . Springer Monographien in Mathematik (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002 .