Erdős Kardinal - Erdős cardinal

In der Mathematik ist ein Erdős-Kardinal , auch Teilkardinal genannt, eine bestimmte Art großer Kardinalzahlen, die von Paul Erdős und András Hajnal  ( 1958 ) eingeführt wurden.

Der Erdős-Kardinal κ ( α ) ist definiert als der kleinste Kardinal, so dass für jede Funktion f  : κ < ω → {0, 1} eine Menge vom Ordnungstyp α existiert , die für f homogen ist (falls ein solcher Kardinal existiert ). In der Notation des Partitionskalküls ist die Erdős-Kardinalzahl κ ( α ) die kleinste Kardinalzahl, so dass     

κ ( α ) → ( α ) < ω

Die Existenz von Null scharf impliziert, dass das konstruierbare Universum L erfüllt "für jede abzählbare Ordinalzahl α gibt es eine α- Erdős-Kardinalzahl". Tatsächlich erfüllt L κ für jedes nicht unterscheidbare "für jede Ordinalzahl α gibt es einen α -Erdős-Kardinal in Coll( ω , α ) (der Levy-Kollaps , um α abzählbar zu machen )".

Die Existenz eines ω 1 -Erdős-Kardinals impliziert jedoch die Existenz von Null scharf . Wenn f die Erfüllungsrelation für L ist (unter Verwendung von Ordinalparametern ), dann ist die Existenz von Null- Scheren äquivalent dazu, dass es eine ω 1 -Erdős-Ordinalzahl bezüglich f gibt . Und dies wiederum impliziert die Unrichtigkeit des Axioms der Konstruierbarkeit von Kurt Gödel .     

Wenn κ α -Erdős ist, dann ist es α -Erdős in jedem transitiven Modell , das " α ist abzählbar" erfüllt .

Siehe auch


Verweise

  • Baumgartner, James E. ; Galvin, Fred (1978). "Verallgemeinerte Erdős Kardinäle und 0 # " . Annalen der mathematischen Logik . 15 (3): 289–313. doi : 10.1016/0003-4843(78)90012-8 . ISSN  0003-4843 . MR  0.528.659 .
  • Drake, FR (1974). Mengenlehre: Eine Einführung in die großen Kardinäle (Studien in Logik und Grundlagen der Mathematik; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
  • Erdős, Paul; Hajnal, András (1958). "Über die Struktur von Set-Mappings" . Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 9 (1–2): 111–131. doi : 10.1007/BF02023868 . ISSN  0001-5954 . MR  0.095.124 . S2CID  18976050 .
  • Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Große Kardinäle in der Mengenlehre von ihren Anfängen (2. Aufl.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.


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