Isentropische Düsenströmung - Isentropic nozzle flow

Die isentrope Düsenströmung beschreibt die Bewegung eines Gases oder einer Flüssigkeit durch eine sich verengende Öffnung ohne Zunahme oder Abnahme der Entropie .

Überblick

Immer wenn ein Gas durch ein Rohr gedrückt wird, werden die gasförmigen Moleküle von den Wänden des Rohrs abgelenkt. Wenn die Geschwindigkeit des Gases viel geringer als die Schallgeschwindigkeit ist , bleibt die Gasdichte konstant und die Strömungsgeschwindigkeit nimmt zu. Wenn sich die Strömungsgeschwindigkeit jedoch der Schallgeschwindigkeit nähert, sind Kompressibilitätseffekte auf das Gas zu berücksichtigen. Die Dichte des Gases wird positionsabhängig. Unter Berücksichtigung der Strömung durch ein Rohr werden die Strömungsbedingungen wiederhergestellt, wenn die Strömung sehr allmählich komprimiert wird (dh die Fläche nimmt ab) und dann allmählich erweitert wird (dh die Fläche zunimmt) (dh in ihre Ausgangsposition zurückkehren). Ein solcher Prozess ist also ein reversibler Prozess. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bleibt der konstante Entropiewert erhalten, wenn ein reversibler und adiabatischer Fluss vorliegt. Ingenieure klassifizieren diese Art der Strömung als isentropische Strömung von Flüssigkeiten. Isentropisch ist die Kombination des griechischen Wortes "iso" (was "gleich" bedeutet) und Entropie.

Wenn die Änderung der Strömungsvariablen gering und allmählich ist, treten isentropische Strömungen auf. Die Erzeugung von Schallwellen ist ein isentropischer Prozess. Eine Überschallströmung , die gedreht wird, während die Strömungsfläche vergrößert wird, ist ebenfalls isentrop. Da die Fläche zunimmt, nennen wir dies eine isentrope Expansion . Wenn eine Überschallströmung abrupt gedreht wird und die Strömungsfläche abnimmt, ist die Strömung aufgrund der Erzeugung von Stoßwellen irreversibel . Die isentropischen Beziehungen sind nicht mehr gültig und der Fluss wird durch die schrägen oder normalen Schockrelationen bestimmt .

Stagnationseigenschaften

Enthalpie-Entropie-Diagramm des Stagnationszustands

In der Fluiddynamik ist ein Stagnationspunkt ein Punkt in einem Strömungsfeld, an dem die lokale Geschwindigkeit des Fluids Null ist. Der isentropische Stagnationszustand ist der Zustand, den ein strömendes Fluid erreichen würde, wenn es eine reversible adiabatische Verzögerung auf die Geschwindigkeit Null erfahren würde. Es gibt sowohl tatsächliche als auch isentrope Stagnationszustände für ein typisches Gas oder einen typischen Dampf. Manchmal ist es vorteilhaft, zwischen dem tatsächlichen und dem isentropischen Stagnationszustand zu unterscheiden. Der tatsächliche Stagnationszustand ist der Zustand, der nach einer tatsächlichen Verzögerung auf die Geschwindigkeit Null erreicht wird (wie an der Nase eines Körpers, der sich in einem Flüssigkeitsstrom befindet), und mit dem Verzögerungsprozess kann eine Irreversibilität verbunden sein. Daher ist der Begriff "Stagnationseigenschaft" manchmal für die dem tatsächlichen Zustand zugeordneten Eigenschaften reserviert, und der Begriff Gesamteigenschaft wird für den isentropischen Stagnationszustand verwendet. Die Enthalpie ist sowohl für den tatsächlichen als auch für den isentropischen Stagnationszustand gleich (vorausgesetzt, der tatsächliche Prozess ist adiabatisch). Daher ist für ein ideales Gas die tatsächliche Stagnationstemperatur dieselbe wie die isentrope Stagnationstemperatur. Der tatsächliche Stagnationsdruck kann jedoch geringer sein als der isentrope Stagnationsdruck. Aus diesem Grund hat der Begriff "Gesamtdruck" (isentropischer Stagnationsdruck) im Vergleich zum tatsächlichen Stagnationsdruck eine besondere Bedeutung.

Durchflussanalyse

Die isentrope Effizienz ist . Die Variation der Fluiddichte für kompressible Strömungen erfordert die Berücksichtigung der Dichte und anderer Fluideigenschaftsbeziehungen. Die Fluidzustandsgleichung , die oft unwichtig für inkompressible fließt, ist von entscheidender Bedeutung bei der Analyse von kompressiblen Strömungen. Auch Temperaturschwankungen für kompressible Strömungen sind normalerweise signifikant und daher ist die Energiegleichung wichtig. Bei kompressiblen Strömungen können merkwürdige Phänomene auftreten. ${\ displaystyle {\ frac {h_ {1} -h_ {2a}} {h_ {1} -h_ {2}}}}$

• Der Einfachheit halber wird angenommen, dass das Gas ein ideales Gas ist.
• Der Gasstrom ist isentrop.
• Der Gasfluss ist konstant.
• Der Gasstrom verläuft entlang einer geraden Linie vom Gaseinlass zum Abgasaustritt.
• Das Gasströmungsverhalten ist komprimierbar.

Es gibt zahlreiche Anwendungen, bei denen eine stetige, gleichmäßige isentrope Strömung eine gute Annäherung an die Strömung in Leitungen darstellt. Dazu gehört die Strömung durch ein Strahltriebwerk , durch die Düse einer Rakete, aus einer unterbrochenen Gasleitung und an den Schaufeln einer Turbine vorbei.

Mach number = M                                    Velocity = V
Universal gas constant = R                         Pressure = p
Specific heat ratio = k                            Temperature = T
* = Sonic conditions                               Density = ${\displaystyle \rho }$
Area = A

Energiegleichung für den stetigen Fluss:

${\displaystyle q_{net}+h+{\frac {{\vec {V}}^{2}}{2}}=w_{net}+h_{o}+{\frac {{\vec {V}}_{o}^{2}}{2}}}$

Um solche Situationen zu modellieren, betrachten Sie das Kontrollvolumen in dem sich ändernden Bereich der Leitung von Fig. 1. Die Kontinuitätsgleichung zwischen zwei Abschnitten ist ein infinitesimaler Abstand dx voneinander

${\displaystyle \rho AV=(\rho +d\rho )(A+dA)(V+dV)}$

Wenn nur die Terme erster Ordnung in einer Differenzmenge beibehalten werden, nimmt die Kontinuität die Form an

${\displaystyle {\frac {dV}{V}}+{\frac {dA}{A}}+{\frac {d\rho }{\rho }}=0}$

Die Energiegleichung lautet:

${\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}={\frac {\left(V+dV\right)^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p+dp}{\rho +d\rho }}}$

Gleichmäßiger, gleichmäßiger isentropischer Fluss durch eine Leitung

Dies vereinfacht sich unter Vernachlässigung von Begriffen höherer Ordnung:

                           ${\displaystyle VdV+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {\rho dp-pd\rho }{\rho ^{2}}}=0}$

Unter der Annahme eines isentropischen Flusses lautet die Energiegleichung:

                           ${\displaystyle VdV+{\frac {k\cdot p}{\rho ^{2}}}\cdot d\rho =0}$

Ersetzen Sie aus der Kontinuitätsgleichung, um zu erhalten

                                 ${\displaystyle {\frac {dV}{V}}\cdot \left({\frac {\rho V^{2}}{kp}}-1\right)={\frac {dA}{A}}}$

oder in Bezug auf die Machzahl :

                                        ${\displaystyle {\frac {dV}{V}}\cdot \left(M^{2}-1\right)={\frac {dA}{A}}}$

Diese Gleichung gilt für einen stetigen, gleichmäßigen isentropischen Fluss. Es gibt mehrere Beobachtungen, die aus einer Analyse von Gl. (9,26). Sie sind:

• Bei einer Unterschallströmung in einer expandierenden Leitung (M <1 und dA> 0) verlangsamt sich die Strömung (dV <0).
• Bei einer Unterschallströmung in einer konvergierenden Leitung (M <1 und dA <0) beschleunigt sich die Strömung (dV> 0).
• Bei einer Überschallströmung in einer expandierenden Leitung (M> 1 und dA> 0) beschleunigt sich die Strömung (dV> 0).
• Bei einer Überschallströmung in einer konvergierenden Leitung (M> 1 und dA <0) verlangsamt sich die Strömung (dV <0).
• An einem Hals mit dA = 0 ist entweder M = 1 oder dV = 0 (der Fluss könnte durch M = 1 beschleunigen oder eine Geschwindigkeit erreichen, so dass dV = 0 ist).

Überschallströmung

Abb: Eine Überschalldüse

Eine Düse für eine Überschallströmung muss in Strömungsrichtung flächenmäßig vergrößert werden, und ein Diffusor muss gegenüber einer Düse und einem Diffusor für eine Unterschallströmung flächenmäßig kleiner werden. Damit sich eine Überschallströmung aus einem Reservoir mit einer Geschwindigkeit von Null entwickelt, muss die Unterschallströmung zuerst durch einen konvergierenden Bereich zu einem Hals beschleunigt werden, gefolgt von einer fortgesetzten Beschleunigung durch einen sich vergrößernden Bereich.

Die Düsen einer Rakete, mit der Satelliten in die Umlaufbahn gebracht werden sollen, sind unter Verwendung einer solchen konvergierend-divergierenden Geometrie konstruiert. Die Energie- und Kontinuitätsgleichungen können besonders hilfreiche Formen für den stetigen, gleichmäßigen isentropischen Fluss durch die Düse annehmen. Wenden Sie die Energiegleichung mit Q_W_S 0 zwischen dem Reservoir und einer Stelle in der Düse an, um zu erhalten

                                               ${\displaystyle c_{p}\cdot T_{o}={\frac {V^{2}}{2}}+c_{p}\cdot T}$

Jede Größe mit einem Index von Null bezieht sich auf einen Stagnationspunkt, an dem die Geschwindigkeit Null ist, z. B. im Reservoir. Unter Verwendung mehrerer thermodynamischer Beziehungen können Gleichungen in die folgenden Formen gebracht werden:

${\displaystyle {\frac {T_{o}}{T}}=1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}}$
${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p}}=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\left({\frac {k}{k-1}}\right)}}$
${\displaystyle {\frac {\rho _{o}}{\rho }}=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\left({\frac {1}{k-1}}\right)}}$

Wenn die obigen Gleichungen am Hals angewendet werden (der kritische Bereich, der durch einen hochgestellten Stern (*) gekennzeichnet ist, wobei M = 1 ist), nimmt die Energiegleichung die Formen an

${\displaystyle {\frac {T^{*}}{T_{o}}}={\frac {2}{k+1}}}$ 
${\displaystyle {\frac {p^{*}}{p_{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\left({\frac {k}{k-1}}\right)}}$
${\displaystyle {\frac {\rho ^{*}}{\rho _{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\left({\frac {1}{k-1}}\right)}}$

Der kritische Bereich wird häufig referenziert, obwohl kein Hals vorhanden ist. Für Luft mit k = 1,4 gelten die obigen Gleichungen

   T* = 0.833333·To
   p* = 0.528282·po
   ρ* = 0.633938·ρo

Der Massenfluss durch die Düse ist von Interesse und wird gegeben durch:

     ${\displaystyle {\dot {m}}=\rho AV={\frac {p}{RT}}\cdot A\cdot M{\sqrt {kRT}}=p{\sqrt {k \over RT}}AM}$

Mit der Verwendung von Gl. (9.28) kann der Massenfluss nach Anwendung einer Algebra ausgedrückt werden als

                 ${\displaystyle {\dot {m}}=p_{o}MA{\sqrt {\frac {k}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}}$
                                        

Wenn der kritische Bereich mit M = 1 ausgewählt ist, hat dies die Form

                       ${\displaystyle {\dot {m}}=p_{o}A^{*}{\sqrt {\frac {k}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}}$ 

was in Kombination mit früheren bietet:

${\ displaystyle {\ frac {A} {A ^ {*}}} = {\ frac {1} {M}} \ left ({\ frac {2+ (k-1) \ cdot M ^ {2}} {k + 1}} \ right) ^ {\ frac {k + 1} {2 (k-1)}}}$

Konvergierende Düse

Abb: Eine konvergierende Düse

Stellen Sie sich eine konvergierende Düse vor, die ein Reservoir mit einem Empfänger verbindet. Wenn der Reservoirdruck konstant gehalten und der Empfängerdruck verringert wird, steigt die Machzahl am Ausgang der Düse an, bis Me = 1 erreicht ist, was durch die linke Kurve in Abbildung 2 angezeigt wird. Nachdem Me = 1 am Düsenausgang erreicht ist denn der Zustand der gedrosselten Strömung tritt auf und die Geschwindigkeit durch die Düse kann sich nicht ändern, wenn sie weiter abnimmt . Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass Druckänderungen stromabwärts des Ausgangs nicht stromaufwärts wandern können, um Änderungen der Strömungsbedingungen zu verursachen. Die rechte Kurve von Abb. 2. stellt den Fall dar, in dem der Reservoirdruck erhöht und der Empfängerdruck konstant gehalten wird. Wenn der Zustand des gedrosselten Flusses ebenfalls auftritt; aber Gl. zeigt an, dass der Massenfluss weiter zunimmt, wenn er zunimmt. Dies ist der Fall, wenn eine Gasleitung reißt. ${\ displaystyle p_ {r} = 0.5283p_ {0}}$${\ displaystyle p_ {r}}$${\ displaystyle M_ {e} = 1}$${\ displaystyle p_ {0}}$

Abb2: Die Druckschwankung in der Düse.

Es ist interessant, dass der Ausgangsdruck größer sein kann als der Empfängerdruck . Die Natur ermöglicht dies, indem sie den Stromlinien eines Gases die Möglichkeit gibt, am Ausgang eine plötzliche Richtungsänderung vorzunehmen und sich auf einen viel größeren Bereich auszudehnen, was zu einer Verringerung des Drucks von bis führt . Der Fall einer konvergierend-divergierenden Düse ermöglicht das Auftreten eines Überschallstroms, vorausgesetzt, der Empfängerdruck ist ausreichend niedrig. Dies ist in Abb. 9.6 dargestellt, wenn ein konstanter Reservoirdruck mit abnehmendem Empfängerdruck angenommen wird. Wenn der Empfängerdruck gleich dem Reservoirdruck ist, tritt kein Durchfluss auf, dargestellt durch die Kurve . Wenn pr etwas kleiner als p_0 ist, ist die Strömung durchgehend Unterschall mit einem minimalen Druck am Hals, dargestellt durch Kurve B. Wenn der Druck noch weiter verringert wird, wird ein Druck erreicht, der zu M = 1 am Hals mit Unterschall führt durch den Rest der Düse fließen. Es gibt einen anderen Empfängerdruck, der wesentlich unter dem der Kurve C liegt, was ebenfalls zu einer isentropischen Strömung durch die Düse führt, dargestellt durch die Kurve D; Nach dem Hals ist der Fluss Überschall. Drücke im Empfänger zwischen denen der Kurve C und der Kurve D führen zu einer nicht isentropischen Strömung (eine Strömungswelle tritt in der Strömung auf) und werden im nächsten Abschnitt berücksichtigt. Wenn pr unter dem der Kurve D liegt, ist der Ausgangsdruck pe größer als pr. Wiederum bleibt bei Empfängerdrücken unter dem der Kurve C der Massenfluss konstant, da die Bedingungen am Hals unverändert bleiben. Es mag den Anschein haben, dass sich der Überschallstrom dazu neigt, sich von der Düse zu trennen, aber genau das Gegenteil ist der Fall. Eine Überschallströmung kann sehr scharfe Winkel drehen, da die Natur Expansionsventilatoren bereitstellt, die in Unterschallströmungen nicht vorhanden sind. Um eine Trennung in Unterschalldüsen zu vermeiden, sollte der Expansionswinkel 10 ° nicht überschreiten. Bei größeren Winkeln werden Flügel verwendet, damit der Winkel zwischen den Flügeln 10 ° nicht überschreitet. ${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle p_ {r}}$${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle p_ {r}}$${\ displaystyle A}$

Abbildung: Eine konvergierend-divergierende Düse mit festem Vorratsdruck.

Siehe auch

• de Laval Düse
• Fanno fließen
• Überschallgastrennung

Verweise

• Colbert, Elton J. Isentropische Strömung durch Düsen . Universität von Nevada, Reno . 3. Mai 2001. Zugriff am 15. Juli 2014.
• Benson, Tom. " Isentropic Flow ". NASA.gov . Nationale Luft- und Raumfahrtbehörde. 21. Juni 2014. Zugriff am 15. Juli 2014.
• Bar-Meir, Genick. " Isenotroper Fluss ". Potto.org . Potto-Projekt. 21. November 2007. Zugriff am 15. Juli 2014.