Isotrope Position - Isotropic position

In den Bereichen maschinelles Lernen , Berechnungstheorie und Zufallsmatrixtheorie wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Vektoren als isotrop bezeichnet, wenn ihre Kovarianzmatrix gleich der Identitätsmatrix ist .

Formale Definitionen

Sei eine Verteilung über Vektoren im Vektorraum . Befindet sich dann in isotroper Position, wenn für einen aus der Verteilung abgetasteten Vektor${\ textstyle D}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ textstyle D}$${\ textstyle v}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} \, vv ^ {T} = \ mathrm {Id}.}$

Ein Satz von Vektoren wird als isotrop bezeichnet, wenn sich die gleichmäßige Verteilung über diesen Satz in isotroper Position befindet. Insbesondere ist jeder orthonormale Satz von Vektoren isotrop.

Als verwandte Definition wird ein konvexer Körper in als isotrop bezeichnet, wenn er ein Volumen und einen Massenschwerpunkt am Ursprung hat und es eine solche Konstante gibt , dass ${\ textstyle K}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ textstyle | K | = 1}$${\ textstyle \ alpha> 0}$

${\ displaystyle \ int _ {K} \ langle x, y \ rangle ^ {2} dx = \ alpha ^ {2} | y | ^ {2},}$

für alle Vektoren in ; hier steht für die euklidische Standardnorm. ${\ textstyle y}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ textstyle | \ cdot |}$

Siehe auch

• Bleaching-Transformation

Verweise

• Rudelson, M. (1999). "Zufallsvektoren in isotroper Position". Zeitschrift für Funktionsanalyse . 164 (1): 60–72. arXiv : math / 9608208 . doi : 10.1006 / jfan.1998.3384 .