Jacobi koordiniert - Jacobi coordinates

Jacobi-Koordinaten für das Zweikörperproblem ; Jacobi Koordinaten sind und mit .${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ frac {m_ {1}} {M}} {\ boldsymbol {x}} _ {1} + {\ frac {m_ {2}} {M}} { \ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {x}} _ {1} - {\ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}$

Ein möglicher Satz von Jacobi-Koordinaten für das Vier-Körper-Problem; die Jacobi - Koordinaten sind R ₁ , R ₂ , R ₃ und der Massenmittelpunkt R . Siehe Cornille.

In der Theorie der Vielteilchensysteme werden häufig Jacobi-Koordinaten verwendet, um die mathematische Formulierung zu vereinfachen. Diese Koordinaten sind besonders häufig bei der Behandlung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen sowie in der Himmelsmechanik . Ein Algorithmus zum Erzeugen der Jacobi-Koordinaten für N Körper kann auf Binärbäumen basieren . In Worten wird der Algorithmus wie folgt beschrieben:

Sei m _j und m _k die Masse zweier Körper, die durch einen neuen Körper der virtuellen Masse M = m _j + m _{k ersetzt werden} . Die Positions - Koordinaten x _j und x _k werden durch ihre relative Position ersetzt r _jk = x _j  -  x _k und die durch den Vektor zu ihrem Massenmittelpunkt R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k ) / ( m _j + m _k ). Der Knoten im Binärbaum, der dem virtuellen Körper entspricht, hat m _j als rechtes Kind und m _k als linkes Kind. Die Reihenfolge der Kinder gibt die relativen Koordinatenpunkte von x _k bis x _{j an} . Wiederholen Sie den obigen Schritt für N  - 1 Körper, dh die N  - 2 Originalkörper plus den neuen virtuellen Körper.

Für das N- Körper-Problem ist das Ergebnis:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {j} = {\ frac {1} {m_ {0j}}} \ sum _ {k = 1} ^ {j} m_ {k} {\ boldsymbol {x} } _ {k} \ - \ {\ boldsymbol {x}} _ {j + 1} \, \ quad j \ in \ {1,2, \ dots, N-1 \}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {N} = {\ frac {1} {m_ {0N}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ boldsymbol {x} } _ {k} \,}$

mit

${\ displaystyle m_ {0j} = \ sum _ {k = 1} ^ {j} \ m_ {k} \.}$

Der Vektor ist der Schwerpunkt aller Körper: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {N}}$

Das Ergebnis, das übrig bleibt, ist somit ein System von N -1 translatorisch invarianten Koordinaten und eine Schwerpunktkoordinate aus der iterativen Reduzierung von Zweikörpersystemen innerhalb des Vielkörpersystems. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1}, \ dots, {\ boldsymbol {r}} _ {N-1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {N}}$

Diese Änderung der Koordinaten hat Jacobian gleich zugeordnet . ${\ displaystyle 1}$

Wenn man daran interessiert ist, einen freien Energieoperator in diesen Koordinaten zu bewerten, erhält man

${\ displaystyle H_ {0} = - \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2m_ {j}}} \, \ partielle _ {{\ boldsymbol {x}} _ {j }} ^ {2} = - {\ frac {1} {2m_ {0N}}} \, \ teilweise _ {{\ boldsymbol {r}} _ {N}} ^ {2} \! - {\ frac { 1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {N-1} \! \ Left ({\ frac {1} {m_ {j + 1}}} + {\ frac {1} {m_ { 0j}}} \ right) \ teilweise _ {{\ boldsymbol {r}} _ {j}} ^ {2}}$

In den Berechnungen kann die folgende Identität nützlich sein

${\ displaystyle \ sum _ {k = j + 1} ^ {N} {\ frac {m_ {k}} {m_ {0k} m_ {0k-1}}} = {\ frac {1} {m_ {0j }}} - {\ frac {1} {m_ {0N}}}}$.

Verweise