Lelong-Nummer - Lelong number

In der Mathematik ist die Lelong-Zahl eine Invariante eines Punktes einer komplexen analytischen Varietät , die in gewissem Sinne die lokale Dichte an diesem Punkt misst. Es wurde von Lelong  ( 1957 ) eingeführt. Allgemeiner gesagt hat ein geschlossener positiver ( p , p ) Strom u auf einer komplexen Mannigfaltigkeit eine Lelong-Zahl n ( u , x ) für jeden Punkt x der Mannigfaltigkeit. In ähnlicher Weise hat auch eine plurisubharmonische Funktion an einem Punkt eine Lelong-Zahl.

Definitionen

Die Lelong-Zahl einer plurisubharmonischen Funktion φ an einem Punkt x von C ⁿ ist

${\displaystyle \liminf_{z\rightarrow x}{\frac {\phi(z)}{\log |zx|}}.}$

Für einen Punkt x einer analytischen Teilmenge A der reinen Dimension k ist die Lelong-Zahl ν( A , x ) die Grenze des Verhältnisses der Flächen von A  ∩  B ( r , x ) und einer Kugel mit Radius r in C ^k da der Radius gegen Null geht. (Hier ist B ( r , x ) eine Kugel mit Radius r, die bei x zentriert ist .) Mit anderen Worten, die Lelong-Zahl ist eine Art Maß für die lokale Dichte von A in der Nähe von x . Wenn x nicht in der Untervarietät A ist, ist die Lelong-Zahl 0, und wenn x ein regulärer Punkt ist, ist die Lelong-Zahl 1. Es kann bewiesen werden, dass die Lelong-Zahl ν( A , x ) immer eine ganze Zahl ist.

Verweise

• Lelong, Pierre (1957), "Integration sur un ensemble analytique complexe" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 239–262, ISSN  0037-9484 , MR  0095967
• Lelong, Pierre (1968), Fonctions plurisousharmoniques et formes différentielles positives , Paris: Gordon & Breach, MR  0243112
• Varolin, Dror (2010), „Drei Variationen über ein Thema in der komplexen analytischen Geometrie“ , in McNeal, Jeffery; Mustaţă, Mircea (Hrsg.), Analytische und algebraische Geometrie , IAS/Park City Math. Ser., 17 , Providence, RI: American Mathematical Society , S. 183–294, ISBN 978-0-8218-4908-8, MR  2743817