Komplexe Mannigfaltigkeit - Complex manifold

In der Differentialgeometrie und komplexe Geometrie , ein komplexer Verteiler ist ein Verteiler mit einem Atlas von Diagrammen zur offenen Einheitsscheibe in , so dass die Übergangskarten sind holomorphe . ${\displaystyle \mathbb{C} ^{n}}$

Der Begriff komplexe Mannigfaltigkeit wird unterschiedlich verwendet, um eine komplexe Mannigfaltigkeit im obigen Sinne (die als integrierbare komplexe Mannigfaltigkeit spezifiziert werden kann ) und eine fast komplexe Mannigfaltigkeit zu bezeichnen .

Auswirkungen komplexer Struktur

Da holomorphe Funktionen viel starrer sind als glatte Funktionen , haben die Theorien von glatten und komplexen Mannigfaltigkeiten sehr unterschiedliche Geschmacksrichtungen: kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten sind viel näher an algebraischen Varietäten als an differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Zum Beispiel sagt uns das Whitney-Einbettungstheorem , dass jede glatte n- dimensionale Mannigfaltigkeit als glatte Untermannigfaltigkeit von R ^{2 n} eingebettet werden kann , während eine komplexe Mannigfaltigkeit "selten" eine holomorphe Einbettung in C ^{n aufweist} . Betrachten wir zum Beispiel jede kompakte zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit M : jede holomorphe Funktion darauf ist nach dem Satz von Liouville konstant . Hätten wir nun eine holomorphe Einbettung von M in C ⁿ , dann würden sich die Koordinatenfunktionen von C ⁿ auf nichtkonstante holomorphe Funktionen auf M beschränken , was der Kompaktheit widerspricht, außer für den Fall, dass M nur ein Punkt ist. Komplexe Mannigfaltigkeiten, die in C ⁿ eingebettet werden können, werden Stein-Mannigfaltigkeiten genannt und bilden eine ganz besondere Klasse von Mannigfaltigkeiten, zu denen beispielsweise glatte komplexe affine algebraische Varietäten gehören.

Die Klassifikation komplexer Mannigfaltigkeiten ist viel subtiler als die der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Während beispielsweise in anderen Dimensionen als vier eine gegebene topologische Mannigfaltigkeit höchstens endlich viele glatte Strukturen hat , kann eine topologische Mannigfaltigkeit, die eine komplexe Struktur unterstützt, unzählige komplexe Strukturen tragen und tut dies oft auch. Riemann-Flächen , zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit komplexer Struktur, die topologisch nach der Gattung klassifiziert werden , sind ein wichtiges Beispiel für dieses Phänomen. Die Menge komplexer Strukturen auf einer gegebenen orientierbaren Oberfläche, modulo biholomorphe Äquivalenz, bildet selbst eine komplexe algebraische Varietät, die als Modulraum bezeichnet wird und deren Struktur ein Bereich aktiver Forschung bleibt.

Da die Übergangskarten zwischen Karten biholomorph sind, sind komplexe Mannigfaltigkeiten insbesondere glatt und kanonisch orientiert (nicht nur orientierbar : eine biholomorphe Karte zu (einer Teilmenge von) C ⁿ gibt eine Orientierung, da biholomorphe Karten orientierungserhaltend sind).

Beispiele für komplexe Mannigfaltigkeiten

• Riemann-Oberflächen .
• Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten .
• Das kartesische Produkt zweier komplexer Mannigfaltigkeiten.
• Das inverse Abbild eines nicht kritischen Wertes einer holomorphen Karte.

Glatte komplexe algebraische Sorten

Glatte komplexe algebraische Varietäten sind komplexe Mannigfaltigkeiten, einschließlich:

• Komplexe Vektorräume.
• Komplexe projektive Räume , P ⁿ ( C ).
• Komplexe Grassmannianer .
• Komplexe Lie-Gruppen wie GL( n , C ) oder Sp( n , C ).

Auch die quaternionischen Analoga dieser sind komplexe Mannigfaltigkeiten.

Einfach verbunden

Die einfach zusammenhängenden 1-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten sind isomorph zu entweder:

• Δ, die Einheitsscheibe in C
• C , die komplexe Ebene
• Ĉ , die Riemann-Kugel

Beachten Sie, dass es Einschlüsse zwischen diesen gibt als Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , aber dass es nach dem Satz von Liouville keine nichtkonstante Abbildungen in die andere Richtung gibt .

Disc vs. Space vs. Polydisc

Die folgenden Räume unterscheiden sich als komplexe Mannigfaltigkeiten, was den starreren geometrischen Charakter komplexer Mannigfaltigkeiten (im Vergleich zu glatten Mannigfaltigkeiten) demonstriert:

• komplexer Raum .${\displaystyle \mathbb{C} ^{n}}$
• die Einheitsscheibe oder offene Kugel

${\displaystyle \left\{z\in\mathbb{C}^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• die polydisk

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j= 1,\dots,n\rechts\}.}$

Fast komplexe Strukturen

Eine fast komplexe Struktur auf einer reellen 2n-Mannigfaltigkeit ist eine GL( n , C )-Struktur (im Sinne von G-Strukturen ) – das heißt, das Tangentenbündel ist mit einer linearen komplexen Struktur ausgestattet .

Konkret ist dies ein Endomorphismus des Tangentenbündels, dessen Quadrat − I ist ; dieser Endomorphismus ist analog zur Multiplikation mit der imaginären Zahl i und wird mit J bezeichnet (um eine Verwechslung mit der Identitätsmatrix I zu vermeiden ). Eine fast komplexe Mannigfaltigkeit ist notwendigerweise geradedimensional.

Eine fast komplexe Struktur ist schwächer als eine komplexe Struktur: Jede komplexe Mannigfaltigkeit hat eine fast komplexe Struktur, aber nicht jede fast komplexe Struktur stammt aus einer komplexen Struktur. Beachten Sie, dass jede geradzahlige reelle Mannigfaltigkeit eine fast komplexe Struktur hat, die lokal aus dem lokalen Koordinatendiagramm definiert ist. Die Frage ist, ob diese komplexe Struktur global definiert werden kann. Eine fast komplexe Struktur, die aus einer komplexen Struktur hervorgeht, wird als integrierbar bezeichnet , und wenn man eine komplexe Struktur im Gegensatz zu einer fast komplexen Struktur spezifizieren möchte, spricht man von einer integrierbaren komplexen Struktur. Bei integrierbaren komplexen Strukturen verschwindet der sogenannte Nijenhuis-Tensor . Dieser Tensor ist auf Paaren von Vektorfeldern definiert, X , Y durch

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

Zum Beispiel hat die 6-dimensionale Kugel S ⁶ eine natürliche fast komplexe Struktur, die sich aus der Tatsache ergibt, dass sie das orthogonale Komplement von i in der Einheitskugel der Oktonionen ist , aber dies ist keine komplexe Struktur. (Die Frage, ob es eine komplexe Struktur hat, ist als Hopf-Problem bekannt, nach Heinz Hopf .) Mit einer fast komplexen Struktur können wir holomorphe Abbildungen verstehen und nach der Existenz holomorpher Koordinaten auf der Mannigfaltigkeit fragen. Die Existenz holomorpher Koordinaten entspricht der Aussage, dass die Mannigfaltigkeit komplex ist (was die Kartendefinition sagt).

Durch Tensorieren des Tangentialbündels mit den komplexen Zahlen erhält man das komplexifizierte Tangentialbündel, bei dem die Multiplikation mit komplexen Zahlen sinnvoll ist (auch wenn wir von einer reellen Mannigfaltigkeit ausgegangen sind). Die Eigenwerte einer fast komplexen Struktur sind ± i und die Eigenräume bilden Unterbündel, die mit T ^0,1 M und T ^1,0 M bezeichnet werden . Das Newlander-Nirenberg-Theorem zeigt, dass eine fast komplexe Struktur genau dann eine komplexe Struktur ist, wenn diese Unterbündel involutiv sind , dh unter der Lie-Klammer von Vektorfeldern geschlossen sind, und eine solche fast komplexe Struktur heißt integrierbar .

Kähler- und Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten

Man kann ein Analogon einer Riemannschen Metrik für komplexe Mannigfaltigkeiten definieren, die Hermitesche Metrik genannt wird . Wie eine Riemannsche Metrik besteht eine Hermitesche Metrik aus einem glatt veränderlichen, positiv bestimmten inneren Produkt auf dem Tangentialbündel, das in jedem Punkt hermitesch in Bezug auf die komplexe Struktur auf dem Tangentialraum ist. Wie im Riemannschen Fall existieren solche Metriken immer im Überfluss auf jeder komplexen Mannigfaltigkeit. Ist der schiefsymmetrische Teil einer solchen Metrik symplektisch , dh abgeschlossen und nicht entartet, dann heißt die Metrik Kähler . Kähler-Strukturen sind viel schwieriger zu bekommen und viel steifer.

Beispiele für Kähler-Mannigfaltigkeiten umfassen glatte projektive Varietäten und allgemeiner jede komplexe Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit. Die Hopf-Mannigfaltigkeiten sind Beispiele für komplexe Mannigfaltigkeiten, die nicht Kähler sind. Um einen zu konstruieren, nehmen Sie einen komplexen Vektorraum abzüglich des Ursprungs und betrachten die Wirkung der Gruppe ganzer Zahlen auf diesen Raum durch Multiplikation mit exp( n ). Der Quotient ist eine komplexe Mannigfaltigkeit, deren erste Betti-Zahl eins ist, also kann er nach der Hodge-Theorie nicht Kähler sein.

Eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit kann als kompakte Ricci-flache Kähler-Mannigfaltigkeit oder äquivalent definiert werden, deren erste Chern-Klasse verschwindet.

Siehe auch

• Komplexe Dimension
• Komplexe analytische Vielfalt
• Quaternionische Mannigfaltigkeit
• Realkomplexer Verteiler

Fußnoten

Verweise

• Kodaira, Kunihiko (17. November 2004). Komplexe Mannigfaltigkeiten und Verformung komplexer Strukturen . Klassiker der Mathematik. Springer. ISBN 3-540-22614-1.